课时提升作业（二十五） 3.2.1

圆学子梦想 铸金字品牌

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课时提升作业(二十五)

空间向量与平行关系

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)

【解析】选D.若l∥α,则a〃n=0.而选项A中a〃n=-2.选项B中a〃n=1+5=6.选项C中a〃n=-1,选项D中a〃n=-3+3=0.

【变式训练】已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )

A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 【解析】选C.因为

=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故

∥平面yOz.又

A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz内,所以AB∥平面yOz.

2.(2014·郑州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别

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为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )

A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定

【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a, 所以MN所以

=

.

. ,

又C1(0,0,0),D1(0,a,0), 所以所以所以因为

=(0,a,0). 〃⊥

=0. .

是平面BB1C1C的一个法向量,且MN?平面BB1C1C,

所以MN∥平面BB1C1C. 【一题多解】选B.

=

+

+

=

+

+

, ①

. ②

因为A1M=AN=a, 所以

=

,

=

.

- 2 -

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①×2+②得3而

=

=2

=

+, +

.

,所以

故MN∥平面BB1C1C.

3.(2014·泰安高二检测)以下四组向量: ①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1); ②a=(8,4,0),b=(2,1,0); ③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3); ④a=

,b=(4,-3,3).

其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( ) A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选D.因为①a=(1,-2,1)=-b=-(-1,2,-1), 所以a∥b;

②a=(8,4,0)=4b,所以a∥b; ③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3),a=-b, 所以a∥b;④a=

,b=(4,-3,3),a=-b,所以a∥b,因此选D.

4.(2014·长沙高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若

|a|=

,a分别与,垂直,则向量a为( )

A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1)

C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)

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【解析】选C.由题意=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

令z=1得x=1,y=1,令z=-1得

设向量a=(x,y,z),则有x=-1,y=-1,故选C.

5.a,b是两个非零向量,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) A.a∥b的必要条件是a,b是共面向量 B.a,b是共面向量,则a∥b C.a∥α,b∥β,则α∥β

D.a∥α,bβ,则a,b不是共面向量

【解析】选A.对于A若a∥b,则a,b是共线向量,即为共面向量.所以a∥b的必要条件是a,b是共面向量.反之a,b是共面向量则a与b不一定共线.对于C可举反例如用翻开的课本,则也满足条件a∥α,b∥β,此时平面α,β不平行.对于D由于α,β两平面的位置关系不确定,故也不正确.

6.对于任意空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),给出下列三个命题: ①a∥b?==;

②若a1=a2=a3=1,则a为单位向量; ③a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0. 其中真命题的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.若b1,b2,b3的值只要有一个为0,则①式无意义;a=(1,1,1)不是单位向量,其长度|a|=

;③正确.

二、填空题(每小题4分,共12分) 7.(2014·平顶山高二检测)若A

,B

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,C是平面α内三点,

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设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= . 【解析】由已知得=即

所以x∶y∶z=y∶y∶答案:2∶3∶(-4) 8.若

=λ

+u

(λ,u∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是 . =λ

+u

,

=

,

=0,a〃

=0,

,由于a是平面α的一个法向量,所以a〃

解得

y=2∶3∶(-4).

【解析】因为所以

与

,

共面,

所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE. 答案:AB∥平面CDE或AB?平面CDE

9.(2014·广州高二检测)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),线段AB上是否存在一点C,使AC=AB,若存在,则C点的坐标为 .

【解题指南】先假设存在,因为点C在AB上且AC=AB,可转化为用向量表示即=

,从而设出C点的坐标求出答案.

=(x-4,y-1,z-3),又=

,

=(-2,-6,-2),因为点C在AB

【解析】设C(x,y,z),则上且AC=AB,则可转化为

即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2), 得x=,y=-1,z=,故C答案:

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.

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三、解答题(每小题10分,共20分)

10.三条不同直线a,b,c,若a∥b,a∥c,求证b∥c. 【证明】设a,b,c的方向向量分别为e1,e2,e3, 因为a∥b,所以存在k∈R,使e2=ke1, 因为a∥c,所以存在实数m,使e1=me3, 所以e2=(km)e3,

所以e2∥e3,因为b与c不重合,所以b∥c.

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CB1D1.

【证明】如图,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1, 则

A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D1(0,1,1),

=(-1,1,0),,

∥

.

=(1,0,-1),

=(1,0,-1).

∥

=(-1,1,0),所以

所以A1B∥D1C,B1D1∥BD.

又因为D1C?平面B1D1C,A1B?平面CB1D1, 所以A1B∥平面CB1D1, 同理BD∥平面CB1D1.

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又因为A1B∩BD=B, 所以平面A1BD∥平面CB1D1.

【变式训练】已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点. 求证:(1)FC1∥平面ADE. (2)平面ADE∥平面B1C1F.

【解题指南】(1)先求出平面ADE的法向量,再证明直线FC1的方向向量与平面ADE的法向量垂直.

(2)求出平面ADE与平面B1C1F的法向量,证明它们的法向量共线. 【证明】建立如图所示空间直角坐标系,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2), C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),所以

=(0,2,1),=(0,2,1),

=(-2,0,0), =(2,0,0),

设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面ADE与平面B1C1F的法向量, 则

即

(1)因为n1〃所以n1⊥

,

令y1=1得n1=(0,1,-2),同理可得n2=(0,1,-2). =(0,1,-2)〃(0,2,1)=0,

又FC1?平面ADE, 所以FC1∥平面ADE.

(2)因为n1=(0,1,-2),n2=(0,1,-2),

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所以n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a与b分别为直线l1与l2的方向向量且a∥b,则( )

A.x=1,y=1 B.x=,y=- C.x=,y=- D.x=-,y= 【解析】选C.因为a=λb(λ∈R), 所以(2x,1,3)=(λ,-2yλ,9λ)(λ∈R). 由9λ=3,得λ=. 所以2x=.所以x=, 又1=-y,所以y=-. 2.(2014·广州高二检测)已知法向量为( ) A.C.

B. D.

=(2,2,1),

=(4,5,3),则平面ABC的一个单位

【解题指南】求单位法向量时可先求出一个法向量再求法向量方向上的单位法向量.

【解析】选B.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有则y=-2,z=2.

所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,

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取x=1,

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所以平面ABC的一个单位法向量可以是.

3.(2014·济南高二检测)已知空间三点A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3),则下列向量中是平面ABC的法向量的是( ) A.(-1,-2,5) B.(1,3,2) C.(1,1,1) D.(-1,1,-1) 【解题指南】由A,B,C的坐标算出

=(0,-1,-1),

=(-2,-1,1).设n=(x,y,z)

是平面ABC的一个法向量,利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x,y,z的方程组,再取y=1即可得到向量n的坐标,从而可得答案. 【解析】选D.因为A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3), 所以

=(0,-1,-1),

=(-2,-1,1).

设向量n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量, 则

取y=1,得x=-1,z=-1,

所以n=(-1,1,-1)是平面ABC的一个法向量, 因此可得:只有D选项的向量是平面ABC的法向量.

4.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论: ①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1; ④A1M∥平面D1PQB1.

这四个结论中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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【解析】选C.因为所以

∥

=+=+,=+=+,

,从而A1M∥D1P,可得①③④正确.又B1Q与D1P不平行,即B1Q与

A1M不平行,故②不正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2014·黄山高二检测)已知l∥α,且l的方向向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),则y= .

【解析】因为l∥α,所以l的方向向量(2,-8,1)与平面α的法向量(1,y,2)垂直,所以2×1-8×y+2=0,所以y=. 答案:

6.(2014·滨州高二检测)已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点,则点P的坐标满足的条件为 . 【解题指南】先求出向量

的坐标,再利用平面α与直线OA垂直这一条件建立

与点P的坐标有关的等量关系,最后可求出点P的坐标满足的关系式. 【解析】由题意知,OA⊥α,直线OA的方向向量⊥

=(1,1,1),因为P∈α,所以

,所以(1,1,1)〃(x-1,y-1,z-1)=0,所以x+y+z=3.

答案:x+y+z=3

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点. 证明:直线MN∥平面OCD.

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【证明】作AP⊥CD于点P,如图,

分别以AB,AP,AO所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),PDN所以=

=

.

,O(0,0,2),M(0,0,1), .

,

=

, ,

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z), 则n〃即取z=因为

,解得n=(0,4,〃n==0,n〃

=0,

).

〃(0,4,

)=0,即

⊥n,又MN?平面OCD,所以MN

∥平面OCD.

【拓展延伸】证明线面平行的关键

(1)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系.

(2)要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法,在把向量关系转化为几何关系时,注

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意其等价性.

【变式训练】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.

证明:EF∥平面SAD.

【证明】如图,建立如图所示的空间直角坐标系.

设A(a,0,0),S(0,0,b), 则B(a,a,0),C(0,a,0),E取SD的中点G则

=

.因为

,连接AG, =

,所以EF∥AG,

,F

.

=

.

又AG?平面SAD,EF?平面SAD,所以EF∥平面SAD.

8.如图,在正方体AC1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点.当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

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【解析】如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2则 O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2). 再设Q(0,2,c), 所以

=(1,-1,0),

=(-1,-1,1),

=(-2,0,c),

=(-2,-2,2).

设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z), 则

?

令x=1,则y=1,z=2.

所以平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).

若平面D1BQ∥平面PAO,那么n1也是平面D1BQ的一个法向量. 所以n1〃这时n1〃

=0,即-2+2c=0,所以c=1, =-2-2+4=0,

故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 【拓展延伸】探索性问题的解决思路

是否存在某种条件满足某个结论这类问题,通常称为探索性问题,此类问题的解决思路通常是先大胆猜测满足的条件,然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立,或者利用题目条件用变量设出条件,再结合结论逆向推

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导出变量的取值.

逆推法:利用结论探求条件;如果是存在型问题则先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/orjt.html