初中数学竞赛选拔试卷一（适宜重点中学招生）

命题者：前进工作室——2015年最新专业制作，适宜重点中学招生

初 中 数 学 竞 赛 选 拔 试 卷 一

2015.11

（检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容）

一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分）

1、设二次函数y1=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1,0)，若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点，则( ). A．a(x1-x2)=d B．a(x2-x1)=d C．a(x1-x2)2=d D．a(x1+x2)2=d 2、如图，ΔABC、ΔEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当ΔEFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是( ). A．2?3 B．3?1 C．2 第2题 D．3?1

3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A．72° B．108° C．144° D．以上选项均不正确 4、方程x2?xy?y2?3?x?y?的整数解有( ).

A、3组 B、4组 C、5组 D、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分）

5、如图，在矩形ABCD中，AB=46，AD=10，连接BD，?DBC的角平分线BE交DC于点E，现把?BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的?BCE为?BC'E'，当射线BE'和射线BC'都与线段AD相交时，设交点分别为F，G，若?BFD为等腰三角形，则线段DG长为 . 6、如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，且M是AB的中点.以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C、D两点，交直线AB于点E(位于点M右下方)，

OK连结DE交OM于点K.设tan?OBA?x(0

7、如图，梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，?OCD的面积为11cm2，则阴影部分的面积为______cm2． E'GAD

F第6题 C' E

C B第5题 第7题

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命题者：前进工作室——2015年最新专业制作，适宜重点中学招生 8、如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点

A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．若

3AE⊙O的半径为，AB=2+1，则的值为 ．

2ED9、已知一个正三角形的三个顶点在一个正方形的边上移动.如果这个内接三角形的最大面积是3.则该正方形第8题 的边长为 . 10、在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4，DA=5，

它的对角线AC=y，其中x，y都是整数，∠BAC=∠DAC，那么x= ． 11、如果满足 ||x2-6x-16|-10| = a的实数x恰有6个，第10题

那么实数a的值等于 ． 12、一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v千米/小时．两列货车实

?v?在运行中的间隔不小于??千米，这这批救灾物资全部运到目的地最

?25?快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到.

13、已知0≤a-b≤1，1≤a+b≤4，那么当a-2b达到最大值时，8a+2015b的值等

于 .

14、在边长为l的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在

边AB、BC、CD、DA上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是 . 15、如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，

∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=______________. 第15题 16、从1,2,…,2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数

中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和为 ． 17、已知直角三角形ABC中，斜边AB长为2，∠ACB=90°，三角形内一个

动点到三个顶点的距离之和的最小值为7，则这个直角三角形的两个锐角大小分别为 ， ． 18、若实数x、y满足：x?3x?1? x1

3y?2?y，则若设p=x+y，则x2

x3

pmax= ，pmin= ． x6 x xx5 74 19、已知平面上有4个圆叠在一起形成

x8 x9

10个区域，其中在外区域的三个圆每个圆有5个区域，在内区域的圆x10 有7个区域．现将数字0,1,…,9分别放入10个区域，且使每个圆都有

第19题

相同的数字和，则数字和S的取值范围为 ．

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命题者：前进工作室——2015年最新专业制作，适宜重点中学招生 20、已知∠BAC=90°，四边形ADEF是正方形B 第20题 111E 且边长为1，则 的最大值D ??ABBCCA为 ，简述理由(可列式)： A C

F .

三、分析解答题（本大题分5小题，分值依次为8分、10分、8分、14分、

10分，共50分）

21、(8分)牛顿和莱布尼茨于17世纪分别独立地创立了积分学.其中有一个

重要的概念：定积分.我们规定把函数f?x?中区间?a，b?(包括a,b)与x轴围成的面积记作：?f?x?dx.

ab(1).试证：?bakf?x?dx?k?f?x?dx；

acbb(2)．对于任意实数a，b，c其中(a＜c＜b),是否都有：

?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx.如没有请举出反例；如有，请证明之.

ac

22、(10分)在正方形ABCD的AB、AD边各取点K、N，使得AK·AN=2BK·DN，

线段CK、CN交对角线BD于点L、M，试证：∠BLK=∠DNC=∠BAM.

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命题者：前进工作室——2015年最新专业制作，适宜重点中学招生 23、(8分)设AB，CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长

线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E，F两点，连AE，AF分别与CD交于G，H两点(如图)，求证：OG=OH.

第23题

24、(14分)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，

以AQ为边作Rt?ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作?ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD

3⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，

2以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x． (1)用关于x的代数式表示BQ，DF．

(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． (3)在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．

第24题

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命题者：前进工作室——2015年最新专业制作，适宜重点中学招生 25、(10分)有A、B、C三个村庄，各村分别有适龄儿童a、b、c人.今要建

立一所小学，使各村学生到校总里程最短.试问：若三村人数不一定相等时学校应建在哪里？

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