同济大学数理方程试卷A

2006-2007学年第一学期《课名》期终考试试卷--1

同济大学课程考核试卷（A卷）

2007—2008学年第二学期

命题教师签名： 审核教师签名：

课号： 课名：数学物理方程 考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试(? )、重考( )试卷

5. 由数学模型

?????u???2u?2u?,???x???,t?0?t2?x2?u1?0,?,???x???t?0t?02?t1?x确定的弦振动位移在特征线

x?t?0上的位移值为 ( )

A. 0.5arctan2t; B. arctan2t; C.

?4; D. 0.

t?1??]? ( ) ?变换为F[f(t)]?F(?) 则F[f? 6. 已知f(t)的Fourier年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 （注意：本试卷共六大题，3大张，满分100分．考试时间为120 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）

2??参考公式: J??1(x)?J??1(x)?xJJ(?1)nx2n???(x),J??1(x)???1(x)?2J??(x),J?(x)?n??022n??n!?(??n?1)

L[f(t??)]?F(s)e?s?at1,L[e]?s?a,L[tm]??(m?1)?1?sm?1,???2????.

一. 选择题.(本题共七小题,共计28分)

1. 偏微分方程?u?t?rx?u?x??2?2u2?x2?ru?0,(r,??0均为常数)是

( )

A. 线性抛物方程; B. 双曲方程; C. 拟线性方程; D. 非线性方程. 2.

固有值问题??X????X?0,0?x???X?(0)?0,X?(?)?0 的固有函数系为 ( )

A. ?cosnx???n?0; B. ?sinnx?n?1; C. ?1,sinnx,cosnx???n?1; D. ?1,sinn?x,cosn?x?n?1. 3. 设???(x)为Dirac函数,则?x?1)2???(x)e?(dx?有 ( )

A. 1; B. e?1; C. 0; D. e.

???u?00?x?a,0?y?b4. 矩形域上Laplace方程Neumann问题 ?u(0,y)?y,ux(a,y)?0,0?y?b?x?uy(x,0)?0,uy(x,b)?x2,0?x?a

当a与b满足什么关系时才可有解. ( )

A. 3b2?2a3; B. 3b2?2a3; C. a?b; D. a?b.

?2? A. F(?)e?0.5i?; B. 2F(?)e?i?; C. F(2?)e?i?; D.2F(2?)e?i?.

7. 函数f(x)按固有函数系?X?n(x)?n?1展开为广义Fourier级数的理论基础是 ( A. Sturm-Liouville固有值理论; B. 波动方程行波解理论;

C. Fourier积分变换理论; D. Besseel函数J?(x)与Y?(x)线性无关理论.

二. (本题14分)

求出线性方程 4uxx?5uxy?uyy?ux?uy?2 的特征线和通解.

)

2006-2007学年第一学期《课名》期终考试试卷--2

三. (本题12分)

设有端点自由的弦振动模型

2??2u2?u??t2?a?x2?0,x?0,t?0??u1?u?0,?,x?0?t?0t?0?t1?x ?

??ut?0x?0?0,???x

已知函数v(x,t)?sinxcost满足上述模型中的波动方程,求弦位移函数u(x,t).

四. (本题 18分)

考虑一个具有绝缘側表面的均匀杆冷却问题.假定这个杆的长度为1,初始温度分布情况为u(x,0)?(u0?1?x)x,它的一端热绝缘,另一端保持为常量u0. 1. 试列出温度分布函数u(x,t)所满足的数学模型(不必写出推导过程); 2. 求出该模型的温度分布函数u(x,t)的表达式.

2006-2007学年第一学期《课名》期终考试试卷--3

五. (本题12分)

将Bessel函数J1(x),J?1(x)用初等函数表示,并求出函数f(x)?J3(x)?J?3(x)

2222在x?

?2的的值.

六. (本题 16分)

利用适当的积分变换求解下列定解问题

?2?xu?cu?e,x?0,t?0ttxx???ut?0?0,utt?0?f0,x?0 ? 其中f0是常数. u?0,limux(x,t)?0,t?0?x???x?0

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