高中数学课本典例改编之必修四、五：专题一 三角函数 含解析

专题一 三角函数

一、题之源：课本基础知识 1．角的有关概念

(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角．

(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β＝2kπ＋α,k∈Z． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零．

?180?

?°(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝?． π??180

π

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r,扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．

223．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 1

1

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 定义 y叫做α的正弦,记作x叫做α的余弦,记作sin α 三角函数有向线段MP为正弦线 线 4．同角三角函数的基本关系

线 线 有向线段OM为余弦有向线段AT为正切cos α yx叫做α的正切,记作tan α (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：tan α＝．

cos α5．六组诱导公式 组数 一 α＋2kπ 角 (k∈Z) 正弦 余弦 正切 sin α cos α tan α 函数名不变 口诀 符号看象限 6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 y＝sin x y＝cos x y＝tan x {x|x∈R且x≠kπ＋定义域 R R π2值域 周期性 奇偶性 －1,1] 2π 奇函数 －1,1] 2π 偶函数 ,k∈Z} 象限 函数名改变符号看－sin_α －cos α tan α －sin α cos_α －tan α sin α －cos α －tan_α π＋α －α π－α 二 三 四 五 π2六 π2sin α

－α ＋α cos_α sin α cos α －sin_α R π 奇函数 π2kπ－,2kπ＋2π2单调性 ](k∈Z)为增；2kπ2kπ,2kπ＋π](k∈Z)π为减；2kπ－π,2kπ](k∈Z)为增 ππ???kπ－，kπ＋?22??(k∈Z)为增 ＋,2kπ＋23π](k∈Z)为减 2对称中心 (kπ,0)(k∈Z) π(kπ＋,0) (k∈Z) 2x＝kπ(k∈Z) πkπ(,0)(k∈Z) 2无 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) 27．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0),x∈0,＋∞)表示一个振动量时 8.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示： x φ－ω 0 φ－ω 2ωπ2 ππ－φω π φ－ 2ωω3π 23π2π－φω 2π A 2πT＝ω ωf＝＝ T2π1ωx＋φ φ 振幅 周期 频率 相位 初相 ωx＋φ y＝Asin(ωx0 ＋φ) A 0 －A 0

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