2009-2010学年高三数学140分突破一轮复习必备精品8

第八章解三角形

考纲导读

（一）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (二) 应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 知识网络

正弦定理 正弦定理的变形形式 解三角形 余弦定理 余弦定理的变形形式 解三角形 应用举例 测量实习

高考导航 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时 三角形中的有关问题

基础过关 1．正弦定理：

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；

⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；

⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题 例1. 在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C及边c． 解 A1＝60° C1＝75° c1＝

6?2 2A2＝120° C2＝15° c2＝

6?2 2变式训练1：(1)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? （ ） A．

1322 B． C． D． 4443解：B 提示：利用余弦定理

（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A.b?20,A?450,C?800 C.a?14,b?16,A?450

B.a?30,c?28,B?600 D. a?12,c?15,A?1200

解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解

53，sinB?，则cosC的值为（ ） 1351656165616A B C 或 D ?

6565656565解：A 提示:在△ABC中，由sinA?sinB?A?B 知角B为锐角

（4）若钝角三角形三边长为a?1、a?2、a?3，则a的取值范围是 ．

（3）在△ABC中，已知cosA?解：0?a?2 提示：由??(a?1)?(a?2)?a?3?(a?1)?(a?2)?(a?3)0222可得

（5）在△ABC中，?A?60,b?1,S?ABC?3,则a?b?c= ．

sinA?sinB?sinC解：239提示：由面积公式可求得c?4，由余弦定理可求得a?13 3例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解：sinA＝2sinBcosC ?sin(B＋C)＝2sinBcosC ?sin(B－C)＝0?B＝C

sin2A＝sin2B＋sin2C?a2＝b2＋c2

?∠A＝90°

∴ △ABC是等腰直角三角形。

sinB?sinC，判断这个三角形的形状.

cosB?cosC解：应用正弦定理、余弦定理，可得

b?ca=2，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=22222c?a?ba?b?c?2ca2ab（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.

变式训练2：在△ABC中，sinA=

例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sinA－cosA)＝0

∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝＋cos2C＝0得sinB＋cos2(?－B)＝0 cos＝(

3???－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B 222125??，C＝

12334?3从而B＋C＝?，由sinB44得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝∴A＝

?5? B＝ C＝? 4123变式训练3：已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2. （1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

解：（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得 22（

a24R2－

c24R22

）=（a－b）

2

2

b. 2R2

2

2

a2?b2?c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.

2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.

（2）S=

311absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）

222=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =

3333sin2A－cos2A+=3sin（2A－30°）+.

222233. 2例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段

∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=

MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝?(

?3???2?)． 3(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为?的函数； (2)求y＝

11的最大值与最小值． ?2S12S2解 (1) AG＝

?3，∠MAG?

6336sin(??由正弦定理得GM??6，GN?)36sin(???6

)S1?sin?12sin(???6，S2?)sin?12sin(???6

)A N C 11y???72(3?cot2?) (2)22S1S22??2∵???∴当??或???时ymax?240 3333?（ M B G ?D 当??时2?ymin?216

变式训练4：在在△ABC中，?A,?B,?C所对的边分别为a,b,c，，且cosA?（1）求sin?21 3?B?C???cos2A的值； 2??（2）若a?3，求bc的最大值； 解：（1）因为cosA?112?B?C??[1?cos(B?C)]?(2cos，故sin??cos2A?322??2A?1)

?11121(1?cosA)?(2cos2A?1)?(1?)?(?1)?? 22399b2?c2?a212?cosA??bc?b2?c2?a2?2bc?a2 （2）?2bc33 又a?3,?bc? 故bc的最大值是

939，当且仅当b?c?时，bc? 4249 4 小结归纳 1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．

2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．

3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题

第2课时 应用性问题

基础过关 1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； ２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； ３．实际问题中有关术语、名称．

（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰

角；在水平视线下方的角叫俯角

（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 典型例题 例1．(1)某人朝正东方走xkm后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好

3km，那么x等于 （ ）

（A）3 （B）23 （C）3或 23 （D）3 解：C 提示：利用余弦定理

（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

0300，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）

A 203m,403m B 103m,203m 3153203m,m 23C 10(3?2)m,203m D

解：A

（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为18，汽球向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为82，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B

（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东25方向，B向西偏北20方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的

00003，过三小时后，A、B的距离是 ． 5解：90.8 nmi

(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角?NBC?140，A处有灯塔， 其方位角?NBA?110，在C处观测灯塔A的 方位角?MCA?35，由B到C需航行半小时， 则C到灯塔A的距离是

0000 解：10(6?2)km 提示：由题意知 ?BCA?75，利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C

?

处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ 北 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.

A ∵

20 B

?3sin?ACBsin120??, ∴sin∠ACB=,

20710710 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ?C ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南

?(cos??2)方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北45?的方向移动，10台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？

解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ?10t?60 由余弦定理知OQ2?PQ2?PO2?2PQ?POcos?OPQ 由于PO=300,PQ=20t

cos?OPQ?cos??45????4 522222故OQ?20t?300?9600t??10t?60? 2即t?36t?288?0 解得 12?t?24

答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．

变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东30方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东45方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC中，BC=30，B?30，?ACB?135 所以 A?15，由正弦定理可知： ?00000BCAC? sinAsinB30AC0?AC?60cos15 所以， 00sin15sin30于是A到BC所在直线的距离为

ACsin450?60cos150sin450?40.98?38

所以船继续向南航行无触礁危险。

例3. 如图所示，公园内有一块边长2a的等边△ABC形状的三角地，

现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上

（1）设AD?x(x?a)，ED?y，求用x表示y的函数关系式； （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置 应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又在哪里？请给予证明 解：（1）在△ABC中，D在AB上，?a?x?2a

111?S△ADE=S△ABC ?x?AEsin600?AB2?sin600

2242a2?AE? ，在△ADE中，由余弦定理得：

x4a44a42222y?x?2?2a ?y?x?2?2a2(a?x?2a)

xx 4a4（2）令 x?t，则a?t?4a 则y?t??2a2 t4a4?2a2,t?[a2,4a2]， 令 f(t)?t?t4a4t2?4a4(t?2a2)(t?2a2)?则f?(t)?1?2?

tt2t2?当t?(a2,2a2) 时,f?(t)?0；当t?(2a2,4a2) 时,f?(t)?0 又 f(a2)?3a2,f(2a2)?2a2,f(4a2)?3a2

222?当 t?2a2,即 x?2a 时,y有最小值2a，此时DE∥BC，且AD?2a

当 t?a2 或 4a2, 即 x?a 或 2a 时,y有最大值3a，此时DE为△ABC 的边AB或AC的中线上

变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角?应该是多少？

h2h,AB?a?， sin?tan?12hSh)?h?a?? 所以 S?(a?a?

2tan?htan?设两腰与下底之和为l，

Sh2hS2?cos?????h 则l?a?2CB??htan?sin?hsin?????2??2?21?2sin3sin?cos???S?S2?h??22?h ???????????h?2sinh??scos2sinco?22??22?????S?3?1?SS?3?1???2tan??h??3?h ???tan??h???h?222tan??hh?222tan????2??2??解：设 CD?a，则CD?a,则CB?当且仅当

?33?1 时，上式取等号，即当tan?时，上式取等号 tan?23222tan?2??2?300,即??600，所以下角??600时，梯形两腰及下底之和达到最小．

例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 解：设?AOB??，在△AOB中，由余弦定理得：

2?OA?cOoBs? AB?OA?OB?22222 AOB ?1?2?2?1?2?cos??5?4cos? 于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC?13OA?OBsin??AB2 24 ?13?2?1?sin??(5?4cos?) 24533co?s??42s?in?(3，?? ?sin???53?) 4因为0????，所以当??四边形OACB面积最大．

?3??25?5?，即?AOB?时， 660变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=x，则 则BC=4x，由已知得?BAE?30,?EAC?150 在△AEC中，由正弦定理得：

000ECAEAE?sin?EAC5sin15001??sinC???

sin?EACsinCEC5x2x在△ABC中，由正弦定理得：

BCABBC?sinC??AB??sin1200sinCsin120022204x?12x?43 332在△ABE中，由余弦定理得：BE?AB?AE?2AB?AE?cos30

?25?164333131 ?2?5???,故BE?3323331BE 所以船速v??3?93 答：该船的速度为93 km/h

1t3解三角形章节测试题

一、选择题

??1．在?ABC中，a?6，B?30，C?120，则?ABC的面积是（ ）

A．9 B．18 C．93 D．183 2．在?ABC中，若

?sinAcosB?，则B的值为（ ） ab???A．30 B．45 C．60 D．90

3．在?ABC中，若b?2asinB，则这个三角形中角A的值是（ ）

A．30或60 B．45或60 C．60或120 D．30或150? 4．在?ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）

???A．b?10，A?45，C?70 B．a?60，c?48，B?60

?????????C．a?7，b?5，A?80 D．a?14，b?16，A?45

25．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x?3x?2?0的根，则第三边长是（ ）

A．20 B．21 C．22 D．61 6．在?ABC中，如果(a?b?c)(b?c?a)?3bc，那么角A等于（ ） A．30 B．60 C．120 D．150

?7．在?ABC中，若A?60，b?16，此三角形面积S?2203，则a的值是（ ）

????A．206 B．75 C．51 D．49 8．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（ ）

A．

33233 B． C． D．33

2229．在?ABC中，若b?c?2?1，C?45?，B?30?，则（ ）

A．b?1,c? C．b?2 B．b?2,c?1

2222 D．b?1? ,c?1?,c?2222?10．如果满足?ABC?60，AC?12，BC?k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围

是（ ）

A．k?83 B．0?k?12 C．k?12 D．0?k?12或k?83

二、填空题

11．在?ABC中，若a:b:c?1:2:6，则最大角的余弦值等于_________________．

??12．在?ABC中，a?5，B?105，C?15，则此三角形的最大边的长为

____________________．

?13．在?ABC中，已知b?3，c?33，B?30，则a?__________________． ??14．在?ABC中，a?b?12，A?60，B?45，则a?_______________，

b?_______________．

三、解答题

15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．

16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．

17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？

18．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离． 北 122o o 152 B

北

32 o

C

19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）．

1545

ABD

C 图1 图2

20．如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s.

（1）设A到P的距离为x km，用x表示B,C到P 的距离，并求x值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）

A

解三角形章节测试参考答案

1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B7.D. 8.B 9 A 10.D 11．?156?152 12、 13、6或3 14、b?126?24 46 A 15．在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝3． 在△ACD中，AD2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o＝7，∴AC＝7． ∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝

13×1×3×sin60o＝3． 24B 2 D 1 C 16．∵ bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，

即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA．∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sinA．而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0， ∴2cosBcosC＝0．∵ 0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝17、解：过点B作BD⊥AE交AE于D 由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60° 在Rt△ABD中， AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在Rt△CBD中， CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分 ∴BD???或C＝，即△ABC是直角三角形． 228?4?3.8 00tan75?tan60∴该军舰没有触礁的危险。

18．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o

353535，∴AC＝sin30o＝． 22435答：船与灯塔间的距离为n mile．

4

19. 解：如图 ∵?A?150 ?DBC?450∴?ACB?300，

－60o＝90o，BC＝

AB= 180km（千米）/h（小时）?420s（秒） = 21000(m ) ∴在?ABC中

ABDCBCAB? sinAsin?ACB21000∴BC??sin150?10500(6?2)

12∵CD?AD，

∴

∴CD?BCsin?CBD?BC?sin45 ＝10500(6?2)?02 2 ＝10500(1.7?1) (3?1)＝10500 ＝7350

山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米) 20．解：(1)依题意，PA－PB=1. 5 × 8=12 (km)，PC－PB=1.5×20=30（km ）． 因此 PB＝（x一12）km，PC=（18＋x）km. 在△PAB中，AB= 20 km，

PA2?AB2?PB2x2?202?(x?12)23x?32cos?PAB???

2PA?AB2x?205x同理，在△PAC中，cos?PAC?由于cos?PAB?cos?PAC

72?x 3x3x?3272?x132? 解得x?（km）． 5x3x7 (2)作PD?a,垂足为D. 在Rt△PDA中，

1323??323x?327PD =PAcos∠APD=PAcos∠PAB = x? ?5x5?17.7（1km）．

即

答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17. 71 km.

五年高考荟萃 2009年高考题

?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?21.(2009年广东卷文)已知?ABC中，

o且?A?75，则b?

( )

A.2 B．4＋23 C．4—23 D．6?2 答案 A

解析 sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?由a?c?6?2可知,?C?75,所以?B?30,sinB?0000000002?6 41 2由正弦定理得b?a?sinB?sinA2?61??2,故选A

2?624

( )

2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，cotA??12，则cosA? 5125512A． B. C. ? D. ?

13131313答案 D

12知A为钝角，cosA<0排 5cosA1212??,和sin2A?cos2A?1求得cosA??. 除A和B，再由cotA?sinA513123.(2009全国卷Ⅱ理）已知?ABC中，cotA??， 则cosA? ( )

5125512A. B. C.? D. ?

13131313解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=?答案 D

解析 已知?ABC中，cotA??12?，?A?(,?). 52cosA??11?tan2A??11?(?52)12??12 故选D. 13AC的值等于 ， cosA4.（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则

AC的取值范围为 .

答案 2(2,3)

解析 设?A??,?B?2?.由正弦定理得

ACBCACAC?,??1??2.

sin2?sin?2cos?cos?由锐角?ABC得0?2??90?0???45，

??????又0?180?3??90?30???60，故30???45??????23?cos??， 22?AC?2cos??(2,3).

b、5.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，c，

22且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

22sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现

在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.

解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2

①

22222又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC

sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC

由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA c ②

由①，②解得b?4.

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

6.（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满

?????A25???足cos?，AB?AC?3．

25（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．

????????34A252A?cosA?2cos?1?,sinA?，解 （1）因为cos?，又由AB?AC?3

25525得bccosA?3,?bc?5，?S?ABC?1bcsinA?2 2（2）对于bc?5，又b?c?6，?b?5,c?1或b?1,c?5，由余弦定理得

a2?b2?c2?2bccosA?20，?a?25

7.（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满

?????A25???足cos?，AB?AC?3．

25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos2A2523?1?2?()?1? 2552又A?(0,?)，sinA?1?cosA?以bc?5，所以?ABC的面积为：

43，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所55114bcsinA??5??2 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?b2?c2?2bccosA?25?1?2?3?25

8.（2009北京理） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B??3，

4cosA?,b?3。

5（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求?ABC的面积.

【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B?∴C??3,cosA?4， 52?3?A,sinA?， 35∴sinC?sin?313?43?2??. ?A??cosA?sinA?32210??33?43,sinC?， 510 （Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA? 又∵B?,b?3，∴在△ABC中，由正弦定理，得

3bsinA6?. ∴a?sinB5∴△ABC的面积S??1163?4336?93absinC???3??. 22510509.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+

(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=解 （1）f(x)=cos(2x+

?2)+sinx. 31c1，f()??，且C为锐角，求sinA. 324???1?cos2x132)+sinx.=cos2xcos?sin2xsin???sin2x 3332221?3,最小正周期?. 2

所以函数f(x)的最大值为

（2）f()=

c21133, 因为C为锐角, 所以?sinC=－, 所以sinC?4222C??3,

又因为在?ABC 中, cosB=

123, 所以 , 所以 sinB?33sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2211322?3. 2????32326?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.

（1）求?.的值;

（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?求角C.

解 （1）f(x)?2sinx?2,f(A)?3, 21?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为

0????,所以??（2）因为f(A)??2.所以f(x)?sin(x??2)?cosx

?33,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因

622为a?1,b?2,所以由正弦定理,得

ab?,也就是sinAsinBsinB?bsinA12, ?2??a223?.

44???7?3??3???. 当B?时,C?????;当B?时,C????4641246412因为b?a,所以B??或B?【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c，cos(A?C)?cosB?32,b?ac，求B. 2解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=解：由 cos（A?C）+cosB=

3?(负值舍掉)，从而求出B=。 2333及B=π?（A+C）得 cos（A?C）?cos（A+C）=， 223 cosAcosC+sinAsinC?（cosAcosC?sinAsinC）=,

23 sinAsinC=.

4又由b=ac及正弦定理得

2sin2B?sinAsinC,

故 sinB?23， 4sinB?于是 B=

33 或 sinB??（舍去）， 22π2π 或 B=. 332又由 b?ac知b?a或b?c

所以 B=

π。 311.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=

（I）求sinA的值；

(II)设AC=6，求?ABC的面积. 解：（Ⅰ）由C?A?1. 3??B，且C?A???B，∴A??，∴242?B2BBsinA?sin(?)?(cos?sin)，

422221132∴sinA?(1?sinB)?，又sinA?0，∴sinA?

233C

ACBC?（Ⅱ）如图，由正弦定理得 sinBsinAA B

∴BC?ACsinA?sinB6?1333?32，又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

?322616???? 33333116AC?BC?sinC??6?32??32 223∴S?ABC?12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在

（I）求sinA的值；(II)设AC=

，求

ABC中，C-A=ABC的面积

， sinB=。

【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sinA的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S?. 解（1）∵c?A?∴sinA?sin(?2且c?A???B∴A??4?B 2?4?B2BB)?(cos?sin) 22221BB11∴sin2A?(cos?sin)2?(1?sinB)?

22223又sinA?0 ∴cosA?3 3（2）如图，由正弦定理得BC?AC?sinAACBC?∴BC??sinBsinBsinA6?1333?32 又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosA?sinB?32216????3333

∴S?ABC?116AC?BC?sinC??6?32??32. 22313.（2009江西卷文）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A??6，

(1?3)c?2b．

（1）求C；

????????（2）若CB?CA?1?3，求a,b，c．

解：（1）由(1?3)c?2b 得

b13sinB ???c22sinCsin(?? 则有

?6sinC?C)?sin5?5?cosC?cossinC131366=cotC? ??2222sinC 得cotC?1 即C??4.

?????????（2） 由CB?CA?1?3 推出 abcosC?1?3 ；而C?,

4即得

2ab?1?3, 2?2ab?1?3??a?22???? 则有 ?(1?3)c?2b 解得 ?b?1?3

?c?2?ac????sinAsinC??14.（2009江西卷理）△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，

tanC?sinA?sinB,sin(B?A)?cosC.

cosA?cosB（1）求A,C；

（2）若S?ABC?3?3,求a,c.

解：(1) 因为tanC?sinA?sinBsinCsinA?sinB?，即，

cosA?cosBcosCcosA?cosB所以sinCcosA?sinCcosB?cosCsinA?cosCsinB， 即 sinCcosA?cosCsinA?cosCsinB?sinCcosB，

得 sin(C?A)?sin(B?C). 所以C?A?B?C,或C?A???(B?C)(不成立).

即 2C?A?B, 得C??3，所以.B?A?2? 3又因为sin(B?A)?cosC?得A?1?5?，则B?A?，或B?A?（舍去） 266?4,B?5? 12(2)S?ABC?16?2acsinB?ac?3?3， 28 又

acac??, 即 ， sinAsinC2322得a?22,c?23.

15.（2009天津卷文）在?ABC中，BC?5,AC?3,sinC?2sinA

（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A??4)的值。

ABBC?，于是sinCsinA（1）解：在?ABC 中，根据正弦定理，

AB?sinCBC?2BC?25 sinAAB2?AC2?BC2（2）解：在?ABC 中，根据余弦定理，得cosA?

2AB?AC于是sinA?1?cos2A=

5， 543,cos2A?cos2A?sin2A? 55从而sin2A?2sinAcosA????2sin(2A?)?sin2Acos?cos2Asin?

44410【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力

16.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

510 ,sinB?510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310 ,cosB?1?sin2B?510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4

（II）由（I）知C? 由

3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?2?1

∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 ∴ a?2,c?5 17.（2009全国卷Ⅱ理）设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，

32，b?ac，求B 23分析：由cos(A?C)?cosB?，易想到先将B???(A?C)代入

2cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cosB?33得cos(A?C)?cos(A?C)?然后利用两角和与差的余弦22。

公式展开得sinAsinC?32；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得4sin2B?sinAsinC，进而得sinB?了检验，事实上，当B??2?3.故B?或。大部分考生做到这里忽略

3322?1时，由cosB??cos(A?C)??，进而得323cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，应舍去。

22?2也可利用若b?ac则b?a或b?c从而舍去B?。不过这种方法学生不易想到。

3评析：本小题考生得分易，但得满分难

18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平

面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，

0002?1.414，6?2.449）

解：在?ACD中，?DAC＝30°，?ADC＝60°－?DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0.1

又?BCD＝180°－60°－60°＝60°，

故CB是?CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 在?ABC中，

ABAC?，

sin?BCAsin?ABC即AB＝

ACsin60?32?6 ?sin15?2032?6?0.33km

20因此，BD?故B、D的距离约为0.33km。 12分

19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的

两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两

000点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，sin?BCA?sin?ABC,

ACsin60?32?6?,?即AB=sin15 20ABAC因此，BD=

32?6?0.33km。 20故B，D的距离约为0.33km。

20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水

平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤

?1,?1解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，

N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM?dsin?2 ；

sin(?1??2)第二步：计算AN . 由正弦定理AN?dsin?2 ；

sin(?2??1)AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??1) . 第三步：计算MN. 由余弦定理MN?方案二：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角?1，?1；B点到M，N点的府角?2，?2；A，B的距离 d （如图所示）.

②第一步：计算BM . 由正弦定理BM?dsin?1 ；

sin(?1??2)第二步：计算BN . 由正弦定理BN?dsin?1 ；

sin(?2??1)BM2?BN2?2BM?BNcos(?2??2) 第三步：计算MN . 由余弦定理MN?21.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

510,sinB? 510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4

（II）由（I）知C?由

3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC

5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?2?1

∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 ∴ a?2,c?5 22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a?2csinA

(Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

332,求a＋b的值。

解（1）由3a?2csinA及正弦定理得，

a2sinAsinA?? csinC3QsinA?0,?sinC?3 2Q?ABC是锐角三角形，?C?（2）解法1：Qc??3

7,C??3.由面积公式得

1?33absin?,即ab?6　　　　　　　　① 232由余弦定理得

a2?b2?2abcos?32?7,即a2?b2?ab?7　　　　②

由②变形得（a+b)?25,故a?b?5 解法2：前同解法1，联立①、②得

?a2?b2?ab?7?a2?b2＝１３ 　????ab?6?ab?6消去b并整理得a?13a?36?0解得a?4或a?9

4222?a?2?a?3所以?故a?b?5 或??b?3?b?223.（2009宁夏海南卷文） 如图，为了解某海域海底构造，

在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB?50m，

BC?120m，于A处测得水深AD?80m，于B处测得水深 BE?200m，于C处测得水深CF?110m，求∠DEF的余弦值。

解：作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF?MF2?DM2?302?1702?10198， DE?DN2?EN2?502?1202?130，

EF?(BE?FC)2?BC2?902?1202?150．

在?DEF中，由余弦定理，

DE2?EF2?DF21302?1502?102cos?DEF??298162DE?EF?2?130?150?65.

24.(2009湖南卷理). 在?ABC，已知

2???AB?????AC??3???AB?????AC??3BC2，求角A，B，C的大小.

解 设BC?a,AC?b,AB?c

由2???AB?????AC??3???AB?????AC?得2bccosA?3bc，所以cosA?32 又A?(0,?),因此A??6

由3???AB?????AC??3BC2得bc?3a2，于是sinC?sinB?3sin2A?34

所以sinC?sin(5?6?C)?34，sinC?(12cosC?32sinC)?34，因此 2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C??3)?0

由A=?6知0?C?5???4?6，所以?3，2C?3?3，从而

2C??3?0,或2C??3??,，既C??6,或C?2?3,故

A??6,B?2?3,C??6,或A??6,B??6,C?2?3。

25..（2009天津卷理）（在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA

(I) 求AB的值：

(II) 求sin?2A??????的值 4?ABBC ?sinCsinA（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=

sinCBC?2BC?25 sinAAB2?AC2?BD225（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= ?2AB?AC5于是 sinA=1?cos2A? 从而sin2A=2sinAcosA=

所以 sin(2A-

5 54322

,cos2A=cosA-sinA= 55???2)=sin2Acos-cos2Asin= 4441026.（2009四川卷理）在?ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且

310 cos2A?,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a,b,c的值。

103102，?cosB?1?sinb? 1010解：（Ⅰ）?A、B为锐角，sinB?又cos2A?1?2sinA?23， 5?sinA?5252，cosA?1?sinA?， 55253105102???? 5105102?cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB??0?A?B??

?A?B??4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C? 由正弦定理

3?2,?sinC?. 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b，c?5b

Qa?b?2?1，

?2b?b?2?1，?b?1

?a?2,c?5

??27.（2009上海卷文） 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， ? n?(siBn??，,sAip?(b?2,a?2) .

???（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

?????（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .

3uvv证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,

即a?ab?b?，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b 2R2R??ABC为等腰三角形

uvuv解 （2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0

?a?b?ab

由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab

222即(ab)2?3ab?4?0 ?ab?4(舍去ab??1)

?S?11?absinC??4?sin?3 223

2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a+c-b)tanB=3ac,

2

2

2

则角B的值为 A.

B.

C.

D.

（ ）

? 6

? 3?5?或

66?2?或

33

答案 D

2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A.

5 18 B.

33 C. 42 D.

7 8答案 D

△ABC的内角A、3.（2008陕西）B、C的对边分别为a、b、c，若c?2，b?6，B?120则a等于 A．6 答案 D

??4.（2007重庆）在△ABC中，AB?3，A?45，C?75，则BC?

?，

（ ）

B．2

C．3 D．2 （ ）

Ａ．3?3 答案 Ａ

Ｂ．2

Ｃ．2

Ｄ．3?3 5.(2007山东)在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）

????2????????A.AC?AC?AB ????2????????C.AB?AC?CD

答案 C

????2???????? B.BC?BA?BC

????????????????????2(AC?AB)?(BA?BC)D.CD? ????2AB?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列， 6.（2006年全卷I）

且c=2a，则cosB= A．

( )

1322 B． C． D． 4443答案 B 二、填空题

7.（2005福建）在△ABC中，∠A=90°，AB?(k,1),AC?(2,3),则k的值是 . 答案 ?3 28.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若则cosA?_________.

?3b?c?cosA?acosC，

答案

3 39.(2008湖北)在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,则

bccosA?cacosB?abcosC的值为 .

答案

61 210.（2007北京）在△ABC中，若tanA?1?，C?150，BC?1，则AB? . 3答案

10

211.（2007湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，则B? ．

答案

5? 612.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ .

答案 3 三、解答题

14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东

?45?+?(其中sin?=

26??，0???90)且与点A相距1013海里的位置C. 26（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=402，AC=1013，?BAC??,sin??26. 26由于0???90,所以cos?=1?(由余弦定理得BC=

??262526)?. 2626AB2?AC2?2AB?ACcos??105.

所以船的行驶速度为105?155（海里/小时）. 23（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐 标系，

设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1= 2AB=40, 2x2=ACcos?CAD?1013cos(45???)?30, y2=ACsin?CAD?1013sin(45???)?20. 所以过点B、C的直线l的斜率k=

20?2,直线l的方程为y=2x-40. 10又点E（0，-55）到直线l的距离d=|0?55?40|?35?7.

1?4所以船会进入警戒水域.

解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得，

AB2?BC2?AC2cos?ABC?

2AB?BC402?2?102?5?102?13310==.

102?402?105从而sin?ABC?1?cos?ABC?1?在?ABQ中，由正弦定理得，

2910?. 101010ABsin?ABC10?40. ?AQ=

sin(45???ABC)2210?210402?由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP?BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt?QPE中，PE=QE·sin?PQE?QE?sin?AQC?QE?sin(45??ABC)

?=15?5?35?7. 5所以船会进入警戒水域.

14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，

可以选与塔底B在同一水平面内

的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s， 并在点C测得塔顶A 的仰角为?，求塔高AB． 解 在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得所以BC?BCCD?．

sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??．

sin?CBDsin(???)s·tan?sin?．

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?15．（2007福建）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

13，tanB?． 45（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 解 （Ⅰ）?C?π?(A?B)，

13?45??1．又?0?C?π，?C?3π． ?tanC??tan(A?B)??1341??453（Ⅱ）?C??，?AB边最大，即AB?17．

4又∵tanA＜tanB，A、B??0,?????角A最小，BC边为最小边． ?2?sinA1??，?tanA??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC=AB·

sinCsinCsinA1716．（2007浙江）已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC． （I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

1sinC，求角C的度数． 6解 （I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，BC?AC?2AB， 两式相减，得AB?1． （II）由△ABC的面积

111BC?AC?sinC?sinC,，得BC?AC?， 263AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC=

2AC?BC

(AC?BC)2?2AC?BC?AB21?， =

2AC?BC2所以C?60．

17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处 时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲 船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=102， A1A2=302????20?102，∴A1A2=A2B2， 60又∠A1A2B2=180°-120°=60° ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2=A1A2=102.

由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理，

2121=B1B2+B1B2-B1B2·A1B2·cos45° B1B2=20+(102)-2×20×102×

2

2

2=200. 2∴B1B2=102.

因此，乙船的速度的大小为

102×60=302（海里/小时）. 20答 乙船每小时航行302海里.

19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6222（Ⅱ）根据余弦定理，得b?a?c?2accosB?27?25?45?7．

所以，b?7 ?，边BC?23．设内角B?x，周长?20.（2007全国Ⅱ）在△ABC中，已知内角A?为y．

（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?应用正弦定理，知

?2?，B?0，C?0得0?B?． ??AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???因为y?AB?BC?AC，

所以y?4sinx?4sin?2???2????x??23?0?x??，

3????????1cosx?sinx?（2）因为y?4?sinx????23 ?2?????5??????43sin?x???23??x???，

????????所以，当x???????，即x??时，y取得最大值63

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/or63.html