《电磁场与电磁波》第4版（谢处方 编）课后习题答案 高等教育出

《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波

7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波可写成

E?Emej(?en?r??t)。

解 Em为常矢量。在直角坐标中

en?excos??eycos??ezcos?r?exx?eyy?ezz故

?xcos??ycos??zcos?

en?r?(excos??eycos??ezcos?)?(exx?eyy?ezz)则

E?Eme2j(?en?r??t)2

?Eme2j[?(xcos??ycos??zcos?)??t]?E?ex?Ex?ey?Ey?ez?Ez?Em(j?)e2j[?(xcos??ycos??zcos?)??t]2?(j?)E2而

?E?t22

??22?t{Emej[?(xcos??ycos??zcos?)??t]}???E2故

?E???2

2?E?t22?(j?)E????E?(j?2??)2E????E?02

满足波动方程

?E?t22可见，已知的

E?Emej(?en?r??t)?E???2?0故E表示沿en方向传播的平面波。

7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为

E?(exEx?eyjEy)e?j?z?E1?E2式中取

E1?E2?1212

?j?z[ex(Ex?Ey)?eyj(Ex?Ey)]e[ex(Ex?Ey)?eyj(Ex?Ey)]e?j?z

显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。

7.3 在自由空间中，已知电场

H(z,t)E(z,t)?ey10sin?(t??z)V/m3，试求磁场强度

。

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式

E(z,t)?ey10cos(?t??z?3?2)V/m

?这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为?90。与之相伴的磁场为

H(z,t)?1?0ez?E(z,t)?103???3ez?ey10cos??t??z???02??1??ex???cos??t??z????ex2?65sin(?t??z)A/m120?2??

17.4 均匀平面波的磁场强度H

的振幅为3??eA/m，以相位常数30rad/m在空气中沿?ez方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为y，试写出E和H的表示式，并求出波的频

率和波长。

解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式

H??ey13?cos(?t??z)A/m与之相伴的电场为

E??0[H?(?ez)]?120?[?ey?ex40cos(?t??z)V/m

13?cos(?t??z)?(?ez)]

由????rad/m得波长?和频率f分别为

2????0.21m?f?vp??c??3?100.218Hz?1.43?10Hz999??2?f?2??1.43?10rad/s?9?10rad/s

则磁场和电场分别为

H??ey13?cos(9?10t?30z)A/m99E?ex40cos(9?10t?30z)V/m

7.5 一个在空气中沿

?ey方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为

cos(10πt??y?z?H?ez4?10?6π4)A/m

π30（1）求?和在t?3ms时，

H?07的位置；（2）写出E的瞬时表示式。

13?108???解（1）

在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求

10??3?107?3?0?0?10π?rad/m?rad/m?0.105rad/m

??30y??4??2?n?,n?0,1,2,?若取n=0，解得y=899992.m。

??2?

考虑到波长

??60m，故

?2?0.75?y?29999??2?29999??2?22.5因此，t=3ms时，Hz=0的位置为

y?22.5?n?2m（2）电场的瞬时表示式为

E?(H?ey)?0

????67?ez4?10cos(10?t??y?)?ey?120???4????ex1.508?10?3cos(10?t?0.105y?7?4)V/m

7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设?r?1，试求理想介质的相对介电常数?r以及在该介质中的波速。

vp0?c?3?10m/s88解 在自由空间，波的相速

f?vp0，故波的频率为

?0?3?100.2Hz=1.5?10Hz9

98在理想介质中，波长?而

vp??0.09m，故波的相速为

vp?f??1.5?10?0.09?1.35?10m/s11c??2??0?r?0??r2故

8?c??3?10??r???4.94???8??v?1.35?10???p?

7.7 海水的电导率??4S/m，相对介电常数r。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、

10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

解 先判定海水在各频率下的属性

???f?10Hz7??81??2?f?r?0?42?f?81?0?8.8?10f8

?可见，当

时，满足????????1，海水可视为良导体。此时

?f?0??f?0?3?c?(1?j)f=10kHz时

????2?2?0.126? ?7??10?10?4??10???4?0.126??0.396Np/m?15.87m3?7?c?(1?j)??10?10?4??104??0.099(1?j)?f=100kHz时

??????100?10?4??102?3?7?4?1.26?Np/m??2?1.26??5m3?7?c?(1?j)??100?10?4??1046?7?0.314(1?j)?f=1MHz时

??????10?4??102??4?3.96Np/m2?3.96?

???1.587m6?7?c?(1?j)??10?4??1046?7?0.99(1?j)?f=10MHz时

??????10?10?4??102??4?12.6Np/m2?12.6

???0.5m6?7?c?(1?j)???10?10?4??104??1?3.14(1?j)?

当f=100MHz以上时，????2?f不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时， ?0?r?0?2?)?1??1?(2?f??r0???2??2?f?0?r?0?2??21?()?1??2?f??r0???0??0(?r?0)1?j?(2?f?r?0)f=100MHz时

??37.57Np/m??42.1rad/m???c?2?

??0.149m42j41.8???14.05e?1?j8.9f=1GHz时

??69.12Np/m??203.58rad/m???0?2???0.03m42j20.8???36.5e?1?j0.89

7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。 证明 在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时

?????f???2???故场量的衰减因子为

e??z ?e?2??e??z?e?即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。

?E(z)?????2?20lg?m?20lge?(?2?)?20lge??55dB??20lgeE(0)?m?

?0.002

7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数?0电介质后，其相位常数变为??1.81rad/m。设

的传播速度。

解 自由空间的相位常数

?0?????0.524rad/m，当该平面波进入到理想

?r?1，求理想电介质的?r和波在电介质中

?0?0?0，故

88?0?0?0.524?3?10?1.572?10rad/s

????0?r?0?1.81rad/s在理想电介质中，相位常数

?r?1.8122，故

??0?01?11.93电介质中的波速则为

vp?

1?c?3?108????0?r?0?rm/s?0.87?10m/s811.93

7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的|E|?50V/m，|H|?0.1A/m。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的?r、

?r。

vp?c?3?10m/s3?1012?1098?28解 自由空间中，波的相速

f?vp0，故波的频率为

9?0?c?0??2.5?10Hz在无损耗媒质中，波的相速为

vp?f??2.5?10?8?10?28

?2?10m/s故

① ② x ?1 入射波 反射波 ?2 入射波 反射波 ?3 透射波 z d 题7.16图

解 天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为?2，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为?1和?3。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。

设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为

H1??1?1ez?E1?ey?Em1??1e?j?1(z?d)而媒质1中的反射波电场为

E1?exEm1e??j?1(z?d)

与之相伴的磁场为

H1??

Em1?1?1?(?ex?E1)??ey??1?ej?1(z?d)故媒质1中的总电场和总磁场分别为

E1?E1?E1?exEm1e????j?1(z?d)

j?1(z?d)??exEm1e?eyH1?H1?H1?ey??Em1?1?e?j?1(z?d)Em1?1??j?(z?d)?e1?? （1）

同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场

E2?E2?E2?exEm2e????j?2z?exEm1e?ey?j?2?H2?H2?H2?ey??Em2?2e?j?2zEm2?2??j?z?e2?? （2）

媒质3中只有透射波

E3?exEm3eH3?eyEm3???j?3z?3???j?z?e3?? （3）

Em1?在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅，而、量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。

在分界面②处，即z=0处，应有

E2x?E3x,H2y?H3yEm2?Em2?、

Em2?和

Em3?为待求

。由式（2）和（3）得

Em2?Em2?Em31???2(Em2???1????Em2)?Em3??3? （4）

?由式（4）可得出分界面②上的反射系数

?2?Em2Em2????3??2?3??2 （5）

，

H1y?H2y?j?2d在分界面①处，即z=-d处，应有

Em1?Em1?Em2e1(Em1?Em1)??????j?2dE1x?E2x??j?2d。由式（1）和（2）得

?j?2d?Em2e??Em2(e??j?2d??2eEm2?)1?1?2?(Em2ej?2d?Em2e)??2(ej?2d???j?d???2e2)?? （6）

将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得

?ef?Em1?Em11???1Em1?Em1Em1?Em1?????1(Em1?Em1)?? （7）

eej?2dj?2d将式（6）代入式（7）得

?ef??2??2e??2e?j?2d?j?2d （8） 将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得

?ef??2?3?j?2tan?2d?2?j?3tan?2d?? （9）

再由式（7）得分界面①上的反射系数

?1?Em1Em1??ef??1?ef??1?ef （10）

?0显然，若分界面①上的等效波阻抗无反射。

等于媒质1的本征阻抗?1，则?1??3??0，即分界面①上

通常天线罩的内、外都是空气，即?1?0??2，由式（9）得

?0?j?2tan?2d?2?j?0tan?2d欲使上式成立，必须

?2d?n?,n?1,2,3?d?n?。故

?2?n?22频率f0=3GHz时

?0?3?103?1089?0.1m则

d?2

0.12?1.679?02.8?m?30mm当频率偏移到f1=3.1GHz时，

?2???2?2?2??3.1?10

2.8?0?0?108.6rad/m

故

tan?2d?tan(108.6?30?10?3)?0.117而

?2??2?2?

?02.8?0?225.3?故此时的等效波阻抗为

?ef?225.3377?j225.3?0.117225.3?j377?0.117368?j45.7?377368?j45.7?377

?370.87e?j7.08??368?j45.7?反射系数为

?1??ef??1?ef??1??0.06ej(180?82.37)??

即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%。

f?2.9GHz

同样的方法可计算出频率下偏到2时，反射将增加约5%。 [讨论]

（1）上述分析方法可推广到n层媒质的情况，通常是把坐标原点O选在最右侧的分界面上较为方便。

（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时

?1??3d?）。

4，则有

tan?2d?tan(2??2取

?2??24)??由式（9）得

?ef??22

?3

若取

?2??1?3，则

?ef??1此时，分界面①上的反射系数为

?1?

?0?ef??1?ef??1

d??24即电磁波从媒质1入射到分界面①时，不产生反射。可见，厚度本征阻抗

?2??1?3的介质板，当其

时，有消除反射的作用。

7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。

解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为

?1??1?1?d3??34x ① ② ⑴ ⑵ ⑶ ③ ⑷ ?0?0 区域（2）为良导体，其波阻抗为

d1 d2 题7.17图 O z ?2????22ej45?

区域（3）为理想介质，其波阻抗为

?3??3?2

，其波阻抗为

j45?区域（4）为理想导体

(?4??)?4???4?4e?0

利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为

2??3?4?j?3?tan(?)2?4?j?3tan?3d3?34?3?ef②??3??3????2??3?j?4tan?3d3?4?3?j?4tan(?3)?34

应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得

?ef③??2?ef②??2tanh?2d2?2??ef②tanh?2d2 （1）

???式中的?2是良导体中波的传播常数，tanh?2d2为双曲正切函数。将ef②代入式（1），得

?ef③??2tanh?2d2 （2）

?2d2??1由于良导体涂层很薄，满足

?ef③??2?2d2，故可取

tanh?2d2??2d2，则式（2）变为

（3） ?ef③??1?ef③??1分界面③上的反射系数为

?3?

可见，欲使区域（1）中无反射，必须使

?ef③??1??0

故由式（3）得

?2?2d2??0 （4）

?2?将良导体中的传播常数

d2???2?2e?1j45??2???2?ej45?和波阻抗

?2.65?10?3代入式（4），得

1?2?0?2?377?2

d2?2.65?10?32这样，只要取理想介质层的厚度，而良导体涂层的厚度，就可消除分界面③上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面

d3??34?（即分界面①上产生全反射，则在离该表面3处（即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。 7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。

解 自由空间的总电场为

E1?E1?E1?exEm1e????j?1z?4?exEm1e?j?1?exEm1(e??j?1z??ej?1z)式中

??Em1Em1??

是分界面上的反射系数。

驻波比的定义为

S?EmaxEmin?Em1?Em1Em1?Em1?????1?|?|1?|?|得

1?|?|1?|?|?2.7

据此求得

|?|?1.73.7

?0.459因介质平面上是驻波最小点，故应取

???0.459

反射系数

???2??0?2??0

??0.459得 则

?2??0139.792

?2?0.371?377?139.79??12?64.3?10?7.26?0

7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为?2，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为?1的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM波，试证明当

d?14?r1??r2且

??r1时，没有反射（?为自由空间的波长）。

x ?0 ?1 ?2 O1 O z d 题7.19图 解 媒质1中的波阻抗为 ??1?01?????1?01r1?0?r1 媒质2中的波阻抗为

??221????02?r2??10??0r2 当

?r1??r2时，由式（1）和（2）得

2?2?01????0?0??2?0r1??r2 而分界面O1处（即z??d处）的等效波阻抗为

???2?j?1tan?1def?1?1?j?2tan?1d

d?1?41当?d??r1、即

4时

2?1ef???2 分界面O1处的反射系数为

???ef??0?ef??0 将式（3）和（4）代入式（5），则得

??0

??r1??r2且d?1d??即

41?r1时，分界面O1上无反射。

4的介质层称为匹配层。7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为

E?e100?rsin?cos(?t??r)V/mE?e0.265?rsin?cos(?t??r)A/m试求穿过r=1 000m的半球壳的平均功率。

1）2）3）4）5） （

（

（

（

（

解 将电场、磁场写成复数形式

E?r??e?H?r??e?100rrsin?e?j?r0.265sin?e?j?r平均坡印廷矢量为

Sav???12121212

Re[E(r)?H*(r)]Re[e?er100rr2sin?e?j?r?e?0.265r2sin?ej?r]2100?0.265sin?W/m2?er13.25sin?r2W/m2故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为

Pav?

式中dS为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是

S??Sav?dSdS?erdSr?errsin?d?d?2故

Pav?1

??202??0er13.25sin?r1322?errsin?d?d??13.25??32??0sin?d?3?13.25?(?cos??cos?)0?13.25??43?55.5W

平面内的边长为30mm

x7.21 在自由空间中，

和15mm长方形面积的总功率。

解 将已知的电场写成复数形式

E?e150sin(?t??z)V/m。试求z?0E(z)?ex150e?j(?z?90)?

150377e?j(?z?90?)得与E(z)相伴的磁场

H(z)?1?0ez?E(z)?ey故平均坡印廷矢量为

Sav??1212Re[E(x)?H*(z)]Re[ex150e2

?j(?z?90)??ey150377ej(?z?90)?]?ez29.84W/m2

则穿过z=0平面上S?30?15mm的长方形面积的总功率为

?3Pav?Sav?ezS?29.84?30?10?15?10?3W?13.43?10?3W7.22 均匀平面波的电场强度为

（1）运用麦克斯韦方程求出H：（2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域内的E和H；（3）求理想导体上的电流密度。

解 （1）将已知的电场写成复数形式

E(z)?ex100e?j(?z?90)?E?ex100sin(?t??z)?ey200cos(?t??z)V/m?ey200e?j?z

由

??E??j??0H得

ey??yEyez?????z??0??

?ex?11??H(z)????E(z)??j??0j??0??x???Ex??1j??01j??0(?ex?Ey?z?ey?Ex?z)

?ey100(?j?)e?j(?z?90)???[?ex200(?j?)e?j?z?j?z?j(?z?90)?]

?ey100e]????01[?ex200e

?j?z??0[?ex200e?ey100e?j(?z?90)?]A/m写成瞬时值表示式

H(z,t)?Re[H(z)e?1j?t

]??01[?ex200cos(?t??z)?ey100cos(?t??z?90)][?ex200cos(?t??z)?ey100sin(?t??z)]A/m?

（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为

Ex??100eEy??200e??j(?z?90)j?z??0

?j(?z?90)?即z?0区域内的反射波电场为

E??exEx?eyEy??ex100e??ey200ej?z与之相伴的反射波磁场为

H?

j(?z?90)??1?0?(?ez?E)??1?0(?ex200ej?z?ey100e)

?至此，即可求出z?0区域内的总电场

Ex?Ex?Ex?100e?100e??j90??E和总磁场H。

?j(?z?90)??100ej(?z?90)0?(e?j?z?ej?z)??j200sin?zej?z?j90Ey?Ey?Ey?200e?j?z?200e??j400sin?z?故

E?exEx?eyEy??exj200sin?ze?j90

?eyj400sin?z同样

Hx?H?x?H?x??1?0200e?j?z?1?0200ej?z??1?0400cos?z

Hy?H1?y?H?y?[100e??j(?z?90)??100ej(?z?90)?]1?0??0200e?j90cos?z故

H?exHx

?eyH?1(?ex400cos?z?ey200e?j90?y?0cos?z)（3）理想导体平面上的电流密度为

Js?n?Hz?0

?j90???ez?(?ex400cos?z?ey200e?cos?z)1?0z?0

?ex0.53e?j90?ey1.06A/m

17.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平面前的自由空间中，合成波的驻波比为3，无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的6。试求介质的相对磁导率?r和相对介电常数?r。

解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为

S?EmaxEmin12

12。而反射系数为

?Em1?Em1Em1?Em1?????1?|?|1?|?|?3由此求出反射系数

|?|?

???设在介质平面上得到驻波最小点，故取

???2??1?2??1

式中的?1??0?120??，则得

?12??2??0?2??0求得

?2?1319 ?r?0?r?0?13?0即?0得

?r?r?

（1）

????2??又

?????0?r?r??????????r?r??06得

?r?r?36

（2）

?r?18联解式（1）和（2）得

?r?2,

7.24 均匀平面波的电场强度为

(?r?2.5,损耗角正切tan??E??ex10e?j6z，该波从空气垂直入射到有损耗媒质

?2??2?0.5)的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求

反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。

x 1：空气 入射波 反射波 2：损耗媒质 O z 题7.24图 解（1）根据已知条件求得如下参数。 在空气中（媒质1）

?1?6rad/m8 ???1c?6?3?10?1.8?10rad/s?1??1?1?2??2?9?0?0?377Ω在有损耗媒质中

tan???0.5

?2???2?2?292)?1?(??2??22??1??2?1.8?102.5?0?02[1?0.5?1]?2.31Np/m?2???2?2?29??221?()?1????2??2.5?0?021?j[1?0.5?1]?9.77rad/m2?1.8?10?2??2?2j13.3??2??2??02.5?01?j0.5?255e?218.96?j51.76??分界面上的反射系数为

???2??1?2??1?218.96?j51.76?377218.96?j51.76?377?0.278ej156.9

此时

式中取“?j2.91”，是考虑到避免z??时，场的振幅出现无穷大的情况。这是因为空气中的透射波电场的空间变化因子为

cos?t?1?sin?t?21?3.082??j2.91e?jk2ent?r?e?e?jk2(xsin?t?zcos?t)?j3.08k2x?e?j3.08k2xe?jk2(?j2.19)ze?k2(2.91z)由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为

20lge?k2(2.91?2)?2?

??158.8dB?20lge?2(2.91?2)

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