高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 26 正弦定理、余

更新时间:2024-07-06 03:47:02 阅读量: 综合文库 文档下载

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课时作业26 正弦定理、余弦定理应用举例

一、选择题

1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船

A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距

离是( )

A.35海里 C.353海里

B.352海里 D.70海里

解析:设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,EF=50+30-2×50×30cos120°=70. 答案:D

2.有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )

A.1 C.2cos10°

B.2sin10° D.cos20°

22CE2+CF2-2CE·CFcos120°=

解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°,∴∠ABD=160°.

在△ABD中,由正弦定理

=,

sin160°sin10°

ADABsin160°sin20°

∴AD=AB·==2cos10°.

sin10°sin10°答案:C

π

3.在△ABC中,∠ABC=,AB=2,BC=3,则sin∠BAC=( )

4A.C.10 10310

10

2

B.D.

10 55 5

解析:由余弦定理得AC=9+2-2×3×2×

2

=5,所以AC=5;再由正弦定理2

1

23×

2310ACBC=代入得sin∠BAC==. sin∠ABCsin∠BAC105

答案:C

4.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始__________h后,两车的距离最小.( )

A.C.69

4370 43

B.1 D.2

解析:如图所示,设过x h后两车距离为y,则BD=200-80x,BE=50x,

∴y=(200-80x)+(50x)-2×(200-80x)·50x·cos60° 整理得y=12 900x-42 000x+40 000(0≤x≤2.5) 702

∴当x=时y最小.

43答案:C

5.甲船在岛A的正南B处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( )

A.

150

分钟 7

B.15

分钟 7

2

2

2

2

2

C.21.5 分钟 D.2.15小时

解析:如图,设t小时后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t.∵∠BAC=120°,∴DC=AD+AC-2AD·AC·cos120°=(10-4t)+(6t)-2×(10-4t)×6t×cos120°=28t-20t+100.

2

2

2

2

2

2

551502

当t=时,DC最小,DC最小,此时它们所航行的时间为×60=分钟.

14147答案:A

2

6.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角),若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是( )

A.C.

30 543

9

B.D.30 1053

9

解析:

如图所示,过点P作PO⊥BC于点O,连接AO,则∠PAO=θ.设CO=x m,则OP=

3

x m.在3

4

Rt△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,所以BC=20 m,所以cos∠BCA=.所以AO=

5

3x3

42

625+x-2×25x×=

533406251-+2

33

x2-40x+625(m).所以tanθ=

x-40x+625

2

=xx3

353254125

.当=,即x=时,tanθ取得最大值,=.

x54392

?25-4?+9

5?x5?25

??

答案:D 二、填空题

7.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照整个广场,则光源的高度为________m.

15

解析:轴截面如图,则光源高度h==53(m).

tan60°

答案:53

3

8.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°4

<θ<45°)的C处,且cosθ=.已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为

5______________海里/小时.

43242

解析:因为cosθ=,0°<θ<45°,所以sinθ=,cos(45°-θ)=×+×

55252372722

=,在△ABC中,BC=800+100-2×202×10×=340,所以BC=285,该货船51010的船速为485海里/小时.

答案:485

9.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于__________;边长AC的取值范围

cosA为________.

ACBCAC1AC解析:由正弦定理得,=,∴=,

sinAsinBsinAsin2A∴

1ACAC=,∴=2. sinA2sinAcosAcosA在锐角△ABC中,

???π?π

?0

ππ??0

ππAC∴

10.如图,A,B是海平面上的两个小岛,为测量A,B两岛间的距离,测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行,在t1时刻航行到C处,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,1小时后,测量船到达D处,测得∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B两小岛间的距离.(注:

π0

2

A、B、C、D四点共面)

4

解:由已知得CD=15,∠ACD=120°,∠ADC=30°, ∴∠CAD=30°, 在△ACD中,由正弦定理得∴AD=153;

∵∠BDC=75°,∠BCD=45°,∴∠CBD=60°, 在△BCD中,由正弦定理得, 15BD=,∴BD=56;

sin60°sin45°

在△ABD中,∠ADB=45°,由余弦定理得

15AD=,

sin30°sin120°

AB=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB

=(153)+(56)-2·153·56cos45° =515

故两小岛间的距离为515海里.

11.某人在山顶P观察地面上相距2 500 m的A,B两个目标,测得A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求此山的高度.(设A,B与山底在同一平面上,计算结果精确到0.1 m)

解:画出示意图(如图所示).

2

2

设山高PQ=h,

则△APQ,△BPQ均为直角三角形,在图(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°, 1

∴AQ=PQ=3h,BQ=PQ=h.

tan30°

在图(2)中,∠AQB=57°+78°=135°,AB=2 500 m, 由余弦定理得AB=AQ+BQ-2AQ·BQcos∠AQB, 即2 500=(3h)+h-23h·hcos135°=(4+6)h, ∴h=2 5004+6

≈984.4(m),

2

2

2

2

2

2

2

即山高约为984.4 m.

5

1.在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )

A.2.7 m C.37.3 m

解析:依题意画出示意图,则

B.17.3 m D.373 m

CM+10

=,

tan30°tan45°

tan45°+tan30°∴CM=×10

tan45°-tan30°≈37.3(m).

CM-10

答案:C

2.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.

解析:连接OC,在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°.由余弦定理得OC=100+150-2×100×150×cos60°=17 500,解得OC=507.

答案:507

3.如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=30°,∠BDC=120°,CD=10米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高

2

2

2

AB=________米.

解析:在△BDC中,∠BCD=30°,∠BDC=120°,∴BC=2·53=103(m).

6

在Rt△ABC中,C=60°,∴AB=30(m). 答案:30

4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2(a2

-b2

)=2accosB+bc. (1)求A;

(2)D为边BC上一点,BD=3DC,∠DAB=π

2,求tanC.

解:(1)因为2accosB=a2

+c2

-b2

, 所以2(a2

-b2

)=a2

+c2

-b2+bc. 整理得a2

=b2

+c2

+bc, 所以cosA=-1

2,

即A=2π3

. (2)因为∠DAB=π

2

所以AD=BD·sinB,∠DAC=π

6.

在△ACD中,有

ADCDsinC=sin∠DAC, 又因为BD=3CD, 所以3sinB=2sinC,

由B=π333-C,得2cosC-32sinC=2sinC,

整理得tanC=337.

7

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/or4.html

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