高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 26 正弦定理、余

课时作业26 正弦定理、余弦定理应用举例

一、选择题

1．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船

A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距

离是( )

A．35海里 C．353海里

B．352海里 D．70海里

解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝50＋30－2×50×30cos120°＝70. 答案：D

2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )

A．1 C．2cos10°

B．2sin10° D．cos20°

22CE2＋CF2－2CE·CFcos120°＝

解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.

在△ABD中，由正弦定理

＝，

sin160°sin10°

ADABsin160°sin20°

∴AD＝AB·＝＝2cos10°.

sin10°sin10°答案：C

π

3．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )

4A.C.10 10310

10

2

B.D.

10 55 5

解析：由余弦定理得AC＝9＋2－2×3×2×

2

＝5，所以AC＝5；再由正弦定理2

1

23×

2310ACBC＝代入得sin∠BAC＝＝. sin∠ABCsin∠BAC105

答案：C

4．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．( )

A.C.69

4370 43

B．1 D．2

解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，

∴y＝(200－80x)＋(50x)－2×(200－80x)·50x·cos60° 整理得y＝12 900x－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5) 702

∴当x＝时y最小．

43答案：C

5．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )

A.

150

分钟 7

B.15

分钟 7

2

2

2

2

2

C．21.5 分钟 D．2.15小时

解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC＝AD＋AC－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)＋(6t)－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t－20t＋100.

2

2

2

2

2

2

551502

当t＝时，DC最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．

14147答案：A

2

6．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)，若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是( )

A.C.

30 543

9

B.D.30 1053

9

解析：

如图所示，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.设CO＝x m，则OP＝

3

x m．在3

4

Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，所以BC＝20 m，所以cos∠BCA＝.所以AO＝

5

3x3

42

625＋x－2×25x×＝

533406251－＋2

33

x2－40x＋625(m)．所以tanθ＝

x－40x＋625

2

＝

＝xx3

353254125

.当＝，即x＝时，tanθ取得最大值，＝.

x54392

?25－4?＋9

5?x5?25

??

答案：D 二、填空题

7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.

15

解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝53(m)．

tan60°

答案：53

3

8．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°4

<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为

5______________海里/小时．

43242

解析：因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×

55252372722

＝，在△ABC中，BC＝800＋100－2×202×10×＝340，所以BC＝285，该货船51010的船速为485海里/小时．

答案：485

9．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于__________；边长AC的取值范围

cosA为________．

ACBCAC1AC解析：由正弦定理得，＝，∴＝，

sinAsinBsinAsin2A∴

1ACAC＝，∴＝2. sinA2sinAcosAcosA在锐角△ABC中，

???π?π

?0

ππ??0

ππAC∴

10．如图，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行，在t1时刻航行到C处，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，1小时后，测量船到达D处，测得∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B两小岛间的距离．(注：

π0

2

A、B、C、D四点共面)

4

解：由已知得CD＝15，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°， ∴∠CAD＝30°， 在△ACD中，由正弦定理得∴AD＝153；

∵∠BDC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°， 在△BCD中，由正弦定理得， 15BD＝，∴BD＝56；

sin60°sin45°

在△ABD中，∠ADB＝45°，由余弦定理得

15AD＝，

sin30°sin120°

AB＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB

＝（153）＋（56）－2·153·56cos45° ＝515

故两小岛间的距离为515海里．

11．某人在山顶P观察地面上相距2 500 m的A，B两个目标，测得A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求此山的高度．(设A，B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)

解：画出示意图(如图所示)．

2

2

设山高PQ＝h，

则△APQ，△BPQ均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ＝30°，∠PBQ＝45°， 1

∴AQ＝PQ＝3h，BQ＝PQ＝h.

tan30°

在图(2)中，∠AQB＝57°＋78°＝135°，AB＝2 500 m， 由余弦定理得AB＝AQ＋BQ－2AQ·BQcos∠AQB， 即2 500＝(3h)＋h－23h·hcos135°＝(4＋6)h， ∴h＝2 5004＋6

≈984.4(m)，

2

2

2

2

2

2

2

即山高约为984.4 m.

5

1．在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )

A．2.7 m C．37.3 m

解析：依题意画出示意图，则

B．17.3 m D．373 m

CM＋10

＝，

tan30°tan45°

tan45°＋tan30°∴CM＝×10

tan45°－tan30°≈37.3(m)．

CM－10

答案：C

2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

解析：连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC＝100＋150－2×100×150×cos60°＝17 500，解得OC＝507.

答案：507

3．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高

2

2

2

AB＝________米．

解析：在△BDC中，∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，∴BC＝2·53＝103(m)．

6

在Rt△ABC中，C＝60°，∴AB＝30(m)． 答案：30

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2(a2

－b2

)＝2accosB＋bc. (1)求A；

(2)D为边BC上一点，BD＝3DC，∠DAB＝π

2，求tanC.

解：(1)因为2accosB＝a2

＋c2

－b2

， 所以2(a2

－b2

)＝a2

＋c2

－b2＋bc. 整理得a2

＝b2

＋c2

＋bc， 所以cosA＝－1

2，

即A＝2π3

. (2)因为∠DAB＝π

2

，

所以AD＝BD·sinB，∠DAC＝π

6.

在△ACD中，有

ADCDsinC＝sin∠DAC， 又因为BD＝3CD， 所以3sinB＝2sinC，

由B＝π333－C，得2cosC－32sinC＝2sinC，

整理得tanC＝337.

7

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