2019年中考数学黄金30题系列3

1

专题四 名校模拟精华30题

一、选择题

1．（2016届合肥十校联考）64的算术平方根是（ ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】D． 【解析】

试题分析：∵64=8，∴64的算术平方根是8．故选D． 考点：算术平方根．

2．（2016安徽省名校）下列计算正确的是（ ）

A．3a?2b?5ab B．(a)?a C．(?a)?(?a)??a D．3x?(?2x)??6x 【答案】D．

32532325

考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

3．（2016淅川县一模）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）

A．

【答案】D． 【解析】

B． C． D．

试题分析：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；

2

1

C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选D．

考点：中心对称图形；轴对称图形．

4．（2016淅川县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）

A．4 B．43 C．8 D．83 【答案】B． 【解析】

试题分析：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴∠A=30°．

∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=2+4=6，在△BCD中，由勾股定理得：CB=23，在△ABC中，由勾股定理得：AC=故选B．

AB2?BC2=43，

考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

5．（2016届合肥十校联考）由中国发起创立的“亚洲基础设施投资银行”的法定资本金为100 000 000 000美元，用科学记数法表示为（ ）

A．1.0×10美元 B．1.0×10美元 C．1.0×10美元 D．1.0×10美元 【答案】C． 【解析】

试题分析：100 000 000 000=1.0×10，故选C． 考点：科学记数法—表示较大的数．

6．（2016安徽省名校）近几年安徽省民生事业持续改善，2012年全省民生支出3163亿元，2014年全省民

2

11

9

10

11

12

1

生支出4349亿元，若平均每年民生支出的增长率相同，设这个增长率为x，则下列列出的方程中正确的是（ ）

A．3163(1?x)?4349 B．4349(1?x)?3163 C．3163(1?2x)?4349 D．4349(1?2x)?3163 【答案】A． 【解析】

试题分析：设这个增长率为x，由题意得：3163(1?x)?4349．故选A． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程；增长率问题．

7．（2016枣庄41中中考模拟）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y??(x?1)?3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）

A．y1?y2?y3 B．y1?y3?y2 C．y3?y2?y1 D．y3?y1?y2 【答案】A．

2222

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

8．（2016青云中学一模）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）

2

1

A．

510251 B． C． D．

51052【答案】B． 【解析】

试题分析：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC22中，CO=1?1=2；AC=12?32=10；则sinA=

5OC2==．故选B．

5AC10

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；网格型．

9．（2016青云中学一模）小贝家买了一辆小轿车，小贝记录了连续七天中每天行驶的路程：

第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 43 29 27 52 43 72 33 路程 （千米） 则小贝家轿车这七天行驶路程的众数和中位数分别是（ ）

A．33，52 B．43，52 C．43，43 D．52，43 【答案】C．

考点：众数；中位数．

10．（2016青云中学一模）已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，a+b中，值大于0的个数为（ ）

2

21

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B．

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．

11．（2016浮桥中学4月模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（ ）

A．42° B．48° C．52° D．58° 【答案】B． 【解析】

试题分析：连接OC，∵OB=OC，∠OBC=42°，∴∠OCB=∠OBC=42°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=96°，∴∠A=

1∠BOC=48°．故选B． 2

考点：圆周角定理．

12．（2016安徽省名校）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=

3，则⊙O的半径为（ ） 42

1

A．4 B．3 C．2 D．3 【答案】C． 【解析】

试题分析：作直径AD，连接CD，∴∠D=∠B，∴sinD=sinB=∴⊙O的半径为2．故选C．

3AD，在直角△ADC中，AC=3，∴AD==4，4sinD

考点：圆周角定理；解直角三角形．

13．（2016湖州一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下

535；③直线GH的函数关系式y??x?；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P3441与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有（ ）

4列结论：①AG=CH；②GH=

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】

2

1

试题分析：①∵四边形OABC是矩形，∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，∴∠HBE=∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH=OG，∴AG=CH．

④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS），∴∠CHO=∠AGB．

∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA． ∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE．

∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS），∴∠OHE=∠BGE． ∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA．

2

1

∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．

1?rPNGN1r3过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA，∴，设半径为r，则?，解得r=． ?14ABAG13故选D．

考点：圆的综合题． 二、填空题

14．（2016天门中考模拟）关于x的一元二次方程(k?1)x?2x?1?0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】k＜2且k≠1． 【解析】

试题分析：∵关于x的一元二次方程(k?1)x?2x?1?0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义．

15．（2016湖州一模）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长

22BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为 ．

【答案】4．

考点：翻折变换（折叠问题）．

16．（2016泗阳实验中学一模）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 ．

2

1

【答案】15π． 【解析】 试题分析：∵OB=15π．

考点：圆锥的计算．

17．（2016沛县校级一模）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是 米．

11BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．故答案为：22

【答案】53． 【解析】

试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，∴BC：AC=1：3，∵堤高BC=5米，∴坝底AC=53米．故答案为：53．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

18．（2016青云中学一模）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ．

2

1

【答案】21． 【解析】

试题分析：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x，则x﹣13=8，解得x=21，即第五个数为21，故答案为：21．

考点：规律型：数字的变化类；新定义．

19．（2016深圳龙华新区二模）如图所示，已知：点A（0，0），B（3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于 ．

【答案】32n．

考点：等边三角形的性质；解直角三角形；压轴题；规律型． 三、解答题

?1?20．（2016深圳联考）计算：???4sin45?1?2?2??1??0?8．

【答案】1．

2

1

【解析】

试题分析：首先根据负指数次幂、0次幂、锐角三角函数以及二次根式将各式进行计算，然后进行求和． 试题解析：原式＝2?4?考点：实数的计算．

2?1?22＝1． 21x2?2x?1)?21．（2016浮桥中学4月模拟）先化简，再求值：(1?，其中x?3?1． x?2x?2【答案】

3． 3

考点：分式的化简求值．

22．（2016天门中考模拟）将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．

（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？

（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？

（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．

2

1

【答案】（1）50，45；（2）C组，108；（3）【解析】

试题分析：（1）根据题意可得：这部分男生共有：5÷10%=50（人）；又由只有A组男人成绩不合格，可得：合格人数为：50﹣5=45（人）；

（2）由这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，可得：成绩的中位数落在C组；又由D组有15人，占15÷50=30%，即可求得：对应的圆心角为：360°×30%=108°；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少有1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．

试题解析：（1）∵A组占10%，有5人，∴这部分男生共有：5÷10%=50（人）； ∵只有A组男人成绩不合格，∴合格人数为：50﹣5=45（人）；

（2）∵C组占30%，共有人数：50×30%=15（人），B组有10人，D组有15人，∴这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，∴成绩的中位数落在C组；

∵D组有15人，占15÷50=30%，∴对应的圆心角为：360°×30%=108°；

（3）成绩优秀的男生在E组，含甲、乙两名男生，记其他三名男生为a，b，c，画树状图得：

7． 10

∵共有20种等可能的结果，他俩至少有1人被选中的有14种情况，∴他俩至少有1人被选中的概率为：14 202

1

=

7． 10考点：列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．

23．（2016大邑县模拟）如图，大楼AD和塔BC都垂直于地面AC，大楼AD高50米，和大楼AD相距90米的C处有一塔BC，某人在楼顶D处测得塔顶B的仰角∠BDE=30°，且∠BED=90°，求塔高BC．（结果保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

【答案】102．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

24．（2016深圳中考模拟）如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y?长AO交反比例函数图象于点C，连接OB． （1）求k和b的值；

（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=

k的图象相交于A（1，4），B两点，延x2S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由． 52

1

【答案】（1）b=5，k=4；（2）x＞4或0＜x＜1；（3）P（0，3）或P（0，﹣3）．

试题解析：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和y?kk，得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4； x1（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1；

（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函

441，由?x?5?，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴S?AOB?S四边形AMNB=(AM+BN)x2x1152215?MN=×（1+4）×3=，∵S?PAC?S?AOB，∴S?PAC??=3，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，

22552111设P（0，t），∴S△PAC=OP?CD=OP?AE=OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，

222数的表达式为：y?﹣3）．

2

1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

25．（2016深圳中考模拟）东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价

x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表：

x（元） y（件） 若每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数． （1）求y与x的函数关系式；

（2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？

（3）若东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该如何确定“童乐”牌玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围．

【答案】（1）y=﹣10x+1100；（2）当销售单价为70元时，每天可获得最大利润．最大利润是16000元；（3）50≤x≤60或80≤x≤90． 【解析】

试题分析：（1）设销售量y（件）与售价x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，列方程组求解即可； （2）根据销售利润=单件利润×销售量，列出函数表达式解答即可； （3）根据题意列不等式组求出x的取值范围即可．

… … 35 750 40 700 45 650 50 600 … …

?40k?b?700?k??10试题解析：（1）设函数解析式为y=kx+b，则：?，解得：?，所以函数解析式为：

45k?b?650b?1100??y=﹣10x+1100；

（2）根据题意可得：y=（x﹣30）（﹣10x+1100）=?10x?1400x?33000，当x=-2

2b=70时，最大值：2a

1

w=16000．故当销售单价为70元时，每天可获得最大利润．最大利润是16000元；

（3）根据题意可得：15000=?10x?1400x?33000，解得x=60或80；

根据题意可得：12000=?10x?1400x?33000，解得x=50或90，∴50≤x≤60或80≤x≤90． 考点：二次函数的应用．

26．（2016枣庄41中中考模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在

22AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；

（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为 ．

【答案】（1）证明见解析；（2）103，25（3）53?5＜r＜53?5． ?；6（3）求出圆心距OC=53，根据题意解答即可．

试题解析：（1）∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴CB=∴直线BF是⊙O的切线；

（2）连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD是等边三

1AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF=90°，260??5225?；角形，∴∠OAD=60°，又∵∠ABF=90°，AD=5，∴AB=10，∴BF=103；扇形DOE的面积==

3606（3）连接OC，则圆心距OC=53，由题意得，53?5＜r＜53?5，故答案为：53?5＜r＜53?5．

2

1

考点：切线的判定；扇形面积的计算． 27．（2016繁昌县一模）已知：正方形ABCD．

（1）如图①，E，F分别是边CD，AD上的一点，且AE⊥BF，求证：AE=BF．

（2）M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上，且MN=EF，那么MN⊥EF？请画图表示，并作简要说明： （3）如图④，将正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若已知该正方形边长为12，

MN的长为13，求CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）MN与EF不一定垂直；（3）7． 【解析】

试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，证出∠ABF=∠DAE，由ASA证明△BAF≌△ADE，得出对应边相等即可；

（2）过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q，由正方形的性质可得EG=MP，先利用“HL”证明Rt△EFG≌Rt△MNP，由全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG，再由角的关系推出∠EQM=∠MNP，由∠MNP+∠NMP=90°得出∠NMP+∠EQM=90°，得出∠MOQ=90°，由垂直的定义得出MN⊥EF，当E向D移动，F向B移动，同样使MN=EF，此时就不垂直； （3）连接AE时，则线段MN垂直平分AE，过点B作BF∥MN，则BF=MN，且AE⊥BF，由（1）知AE=BF=MN=13，由勾股定理求出DE，即可得出CE的长．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△BAF和△ADE中，∵∠ABF=∠DAE，AD=AB，∠ADE=∠BAF，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴AE=BF；

2

1

（3）如图3所示，连接AE，则线段MN垂直平分AE，过点B作BF∥MN，则四边形MNBF是平行四边形，∴BF=MN，且AE⊥BF，由（1）知AE=BF=MN=13，由勾股定理得：DE=﹣5=7．

AE2?AD2=132?122=5，∴CE=CD﹣DE=12

考点：四边形综合题．

28．（2016浮桥中学4月模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，BD?AD，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）直线ED与⊙O相切；（3）??3．

232

1

试题解析：（1）∵BD?AD，∴∠BAD=∠ACD，∵∠DCE=∠BAD，∴∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE； （2）直线ED与⊙O相切．理由如下：

连结OD，如图，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，而∠OCD=∠DCE，∴∠DCE=∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；

（3）作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD=EH，∵CE=1，AC=4，∴OC=OD=2，∴CH=HE﹣CE=2﹣1=1，在Rt△OHC中，∠HOC=30°，∴∠COD=60°，∴阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△OCD

60??22322??2=??3． =

36043

考点：切线的判定；扇形面积的计算．

29．（2016深圳联考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

2

1

（1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得

S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

【答案】（1）4.8；（2）t=【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理得出AB的长度，利用等面积法求出线段CD的长度；

（2）过点P⊥PH⊥AC，根据题意得出DP=t，CQ=t，则CP=4.8－t，根据△CHP∽△BCA得出PH的长度，然后求出△CPQ与t的函数关系式，然后根据三角形的面积之比得出答案； （3）本题分CQ=CP、PQ=PC以及QC=QP三种情况得出答案．

试题解析：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=

144249或t=3；（3）t=2.4秒或秒或秒． 5551111BC?AC=AB?CD，∴22CD=

BC?AC6?8==4.8，∴线段CD的长为4.8； AB10PHPC?ACAB（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°，∴∠CHP=∠ACB，∴△CHP∽△BCA，∴

．∴

PH4.8?t96411964248?t，∴S△CPQ=CQ?PH=t(?t) =?t2?t． ，∴PH=?2552810225552512248t）存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴（?t?：

25259224=9：100．整理得：5t?24t?27?0，即（5t﹣9）（t﹣3）=0，解得：t=或t=3．

59∵0≤t≤4．8，∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100；

52

1

综上所述：当t为2.4秒或

14424秒或秒时，△CPQ为等腰三角形． 5511考点：二次函数的应用；动点型；相似三角形的判定与性质；分类讨论．

30．（2016闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?2x?c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；

（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形

2CDAN是平行四边形；

（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．

2【答案】（1）y??x?2x?3，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）证明见解析；（3）P1（1，?4?26），

2

1

P2（1，?4?26）．

?a?2?c?0?a??1试题解析：（1）∵抛物线y?ax?2x?c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴?，∴?，

c?3c?3??2∴y??x?2x?3，即y??(x?1)?4，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；

22（2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3），∵直线y=kx+b经过C、M两点，∴??b?3，

?k?b?4∴??k?1，∴y=x+3，∵y=x+3与x轴交于点D，∴D（﹣3，0），∴AD=2=CN ?b?3又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形；

（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2， 则MP=4﹣a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=4?a4?a2222)?a2?4，，Rt△APE中，AP?AE?PE，即：(22解得：a??4?26，∴P1（1，?4?26），P2（1，?4?26）．

2

考点：二次函数综合题．2

1

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