2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第14讲 直线、圆的位置关系

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第14讲 直线、圆的位置关系

一．课标要求：

1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．命题走向

本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。

预测2013年对本讲的考察是：

（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；

（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；

（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。

三．要点精讲

1．直线l1与直线l2的的平行与垂直 （1）若l1，l2均存在斜率且不重合： ①l1//l2 k1=k2；②l1 l2 k1k2=－1。 （2）若l1:A1x B1y C1 0, 若A1、A2、B1、B2都不为零。

①l1//l2

A1A2

B1B2

C1C2

l2:A2x B2y C2 0

；

②l1 l2 A1A2+B1B2=0； ③l1与l2相交

A1A2A1A2

B1B2B1B2

C1C2

；

④l1与l2重合

；

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与 0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。 2． 距离

（1）两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB

(x2 x1) (y2 y1)

2

2

特别地：AB//x轴，则AB |x1 x2|、AB//y轴，则AB |y1 y2|。

（2）平行线间距离：若l1:Ax By C1 0,l2:Ax By C2 0，

则：d

C1 C2A B

2

2

。注意点：x，y对应项系数应相等。

（3）点到直线的距离：P(x ,y ),l:Ax By C 0，则P到l的距离为：Ax

d

By

2

C

2

A B

3．直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种

Aa Bb CA B

2

2

（1）若d ，d r 相离 0；

（2）d r 相切 0； （3）d r 相交 0。

Ax By C 0

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 2求解，通过解2

x y Dx Ey F 0

的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交； （2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

相切 d=r Δ＝0； 相交 d<r Δ>0； 相离 d>r Δ<0。 4．两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d。 d r1 r2 外离 4条公切线； d r1 r2 外切 3条公切线；

r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线

；

d r1 r2 内切 1条公切线； 0 d r1 r2 内含 无公切线；

外离 外切

相交 内切 内含

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

四．典例解析

题型1：直线间的位置关系

例1．（1）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab 0)共线，则, 于 。

（2）已知两条直线l1:ax 3y 3 0,l2:4x 6y 1 0.若l1//l2，则a ___ _。 解析：（1）答案：

12

1a 1b

的值等

；（2）2。

点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证kAB kAC；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。

例2．（1）已知两条直线y ax 2和y (a 2)x 1互相垂直，则a等于（ ） A．2 B．1 C．0 D． 1

（2）若曲线y x的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为（ ） A．4x y 3 0 B．x 4y 5 0 C．4x y 3 0 D．x 4y 3 0 解析：（1）答案为D；（2）与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0，即y x

3

4

4

4

在某一点的导数为4，而y 4x，所以y x在(1，1)处导数为4，此点的切线为

4x y 3 0，故选A。

点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和

不存在两种情况。

题型2：距离问题

例3．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A．x－y=0 B．x+y=0 C．|x|－y=0 D．|x|－|y|=0 解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y） ∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。答案：D

点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径

例4．已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为的距离为1．求直线PN的方程。

解析：设点P的坐标为（x，y），由题设有

2，点N到直线PM

|PM||PN|

2，

即

(x 1) y

22

2 (x 1) y。

22

整理得 x2+y2－6x+1=0 ①

因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2， 所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为33

，

直线PM的方程为y33

（x＋1） ②

将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。 解得x＝2＋3，x＝2－3。

代入②式得点P的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－－3）或（2－3，1－3）。

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1。

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型3：直线与圆的位置关系

例5．（1）直线x y 1与圆x y 2ay 0(a 0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）

A

．1) B

．1) C

．(1,1) D

．1) （2）圆(x 1)2 (y 3)2 1的切线方程中有一个是（ ）

2

2

3，－1＋3）；（2＋3，－1

A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＝0 D．y＝0

解析：（1）解析：由圆x2 y2 2ay 0(a 0)的圆心(0,a)到直线x y 1大于a，且a 0，选A。

点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。

（2）直线ax+by

=0与(x 1)2 (y

1相切

2

1，由排除法，

选C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。 例6．已知圆M：（x＋cos ）2＋（y－sin ）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题： （A） 对任意实数k与 ，直线l和圆M相切；

（B） 对任意实数k与 ，直线l和圆M有公共点；

（C） 对任意实数 ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； （D）对任意实数k，必存在实数 ，使得直线l与和圆M相切。 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解析：圆心坐标为（－cos ，sin ） d＝

－－＝|sin（ ＋ ）| 1

故选（B）（D）

点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。 题型4：直线与圆综合问题

22

例7．直线3x+y－23=0截圆x＋y＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）

A．

6

B．

4

C．

3

D．

2

解析：如图所示：

3x y 23 0由

22 x y 4

消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。

∴A（2，0），B（1，3） ∴|AB|=(2 1) (0 又|OB|＝|OA|=2，

2

3)=2

2

∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=

3

，故选C。

点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线AB的倾斜角为120°，则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义。

例8．过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ 。

解析：过点

(1,

的直线l将圆(x 2) y 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最

2

22

小时，直线l

的斜率

k

解析(数形结合)由图形可知点

A在圆

(x 2) y 4

22

的内部, 圆心为O(2,0)要使得

2

劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l

OA，所以

kl

1kOA

。

点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。 题型5：对称问题

例9．一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。 (Ⅰ) 求反射线通过圆心C时，光线l的方程； (Ⅱ) 求在x轴上，反射点M的范围．

解法一：已知圆的标准方程是

(x－2)2+(y－2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=

|5k 5| k

2

=1。整理得 12k+25k+12=0，解得k= －

43

2

34

或k= －

43

。故所

求直线方程是y－3=－

43

(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。

解法二：已知圆的标准方程是(x－2)+(y－2)=1，设交线L所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（－

3(1 k)k

3(1 k)

k

22

，0），)，即

因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= －k(x+

y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=以下同解法一。

|5k 5|1 k

2

=1。

点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。

例10．已知函数f(x)=x－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。 （1）求曲线C2的方程y=g(x)；

（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。 ∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=y 1，则曲线C2的方程为g(x)= （2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=|

x1 1 －x2 1|=

x1 x2x1 1

x2 1

x 1(x≥0)。

2

≤

x1 x2

2

<|x1－x2|。

（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（2）知，|kAB|=|

y1 y2x1 x2

|=

|g(x1) g(x2)|

|x1 x2|

<1

∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。

题型6：轨迹问题

例11．已知动圆过定点

x

p2

p

,0 ，且与直线 2

相切，其中p 0。

x （I）求动圆圆心C的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为 和 ，当 , 变化

且 为定值 (0 )时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

p

,0 为记为F，过点M作直线x 的垂

2 2

解析：（I）如图，设M为动圆圆心，

p

线，垂足为N，由题意知：MF MN即动点M到定点F与定直线x

p

p2

的距离相等，

由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F 轨迹方程为y2 2px(P 0)；

p

,0 为焦点，x 为准线，所以

2 2

（II）如图，设A x1,y1 ,B x2,y2 ，由题意得x1 x2（否则 ）且x1,x2 0所以直线AB的斜率存在，设其方程为y kx b，显然x1

y 2px(P 0)联立消去xy1 y2

2pk

,y1 y2

2pbk

2

y1

2

2p

,x2

y2

2

2p

，将y kxb 与

，得k2y 2

p y2由 p0b韦达定理知

①

2

（1）当

2

时，即 时，tan tan 1所以

y1x1

y2x2

1,x1x2 y1y2 0，

y1y24p

2

22

知： y1y2 0所以y1y2 4p由①

2

2pbk

4p所以。因此直线AB的方程可表示为

2

y kx 2Pk，即k(x 2P) y 0，所以直线AB恒过定点 2p,0 。

（2）当

2

时，由 ，

tan tan 1 tan tan

2p(y1 y2)y1y2 4p

2

得tan tan( )==，

将①式代入上式整理化简可得：tan

2pb 2pk

2p

，所以b

2ptan

2pk，

此时，直线AB的方程可表示为y kx

2p

2pk即k(x 2p) y 0，tan tan

所以直线AB恒过定点 2p,

2p

。 tan

所以由（1）（2）知，当

2p

。 tan

2

时，直线AB恒过定点 2p,0 ，当

2

时直线AB恒

过定点 2p,

点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。

例12．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 4. 过动点P分别作圆O2、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点）

，使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。

解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则

O1( 2，0)，O2(2，0)。

由已知PM ，得PM2 2PN2。

因为两圆半径均为1，所以PO12 1 2(PO22 1)。

2222

设P(x，y)，则(x 2) y 1 2[(x 2) y 1]，

即(x 6)2 y2 33(或x2 y2 12x 3 0)。

点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。 题型7：课标创新题

例13．已知实数x、y满足(x 2)2 (y 1)2 1，求z

解析：

2

y 1x

的最大值与最小值。

y 1x

2

表示过点A（0，－1）和圆

(x 2) (y 1) 1上的动点（x，y）的直线的斜率。如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。

设切线方程为y kx 1，即kx y 1 0，则|2k 2|k

2

1，解得k

4 37

7

。

1

4 3

因此，zmax ，zmin

4 3

7

点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。

例14．设双曲线xy 1的两支分别为C1、C2，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。若P1， 1 在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标。

分析：正三角形PQR中，有P， 则以PPQ1， 1 PR为半

径的圆与双曲线交于R、Q两点。 根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。

2

解析：设以P为圆心，PR r(r 0)为半径的圆的方程为： x 1y 1r，

2

2

22

x 1 y 1 r222

1r 1x 10由 得：x 。

xy 1

（其中，可令

t x

1x

进行换元解之）

2 x1 x2 r 1 1设Q、R两点的坐标分别为x，则 。 ，y，x，y1122

x1x2 1

y y114同理可得： ， 且因为△PQR r

xx xx 4xxr 1 14即 ， 121212

2

2

2

2

1

2

2

2

2

是正三角形，则

，

2

2

即r ，得r2 24。 x xy yr 1 1 4 1212

2

2

2

1r 1x 10代入方程x ，即x 。 4x 1 0

2

2

2

x2 4x 1 0 x1 2 由方程组 ，得：

xy 1 y1 2

3

x2 2

或 3 y2 2 3，2

33

，

所以，所求Q、R的坐标分别为2

3，2

3，2 3

点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到

铺路搭桥的作用。

五．思维总结

1．关于直线对称问题：

（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可

以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P（x0 ，y0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q（x1 ，y1）．有＋C ＝0。

（2）解出x1 与y1 ；若求C1 ：曲线f（x ，y）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C1 ＝0对称的曲线C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）与y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。

（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1 ：y ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l2 的方程为：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了。

（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。 点与圆位置关系：P（x0 ，y0）和圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2。 ①点P 在圆C 外有(x0 －a) ＋(y0 －b) ＞r； ②点P 在圆上：(x0 －a) ＋(y0 －b) ＝r； ③点P 在圆内：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 。

3．直线与圆的位置关系：l ：f1（x ，y）＝0．圆C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。

（1）直线与圆相交：F（x ，y）＝0中 ＞0；或圆心到直线距离d ＜r 。 直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB|＝ k(x1 x2) 4x1x2，或|AB|＝2r d

2

2

y0 y1x0 x1

＝－

AB

（1）与A0

x x1

2

＋B0

y y1

2

2

222

222

k

2

·|x1 －x2|＝，

y1 y2

2

22

；②弦中点坐标（

x1 x2

2

）；

③弦中点轨迹方程。

（2）直线与圆相切：F（x）＝0中 ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P（x0 ，y0）是圆x ＋y ＝r 上的点，过P 的切线方程为x0x ＋y0y ＝r ，其二是圆外点P（x0 ，y0）向圆到两条切线的切线长为(x0 a) (y0 b) r或x0 y0 r；其三是P（x0 ，y0）为圆x ＋y ＝r 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x0x ＋y0y ＝r2 。

（3）直线与圆相离：F（x）＝0中 ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2 上任一点，|PQ|max ＝|PC|＋r ；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．

4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1 ，r2 的和差关系判定． （1）设⊙O1 圆心O1 ，半径r1 ，⊙O2 圆心O2 ，半径r2 则：

①当r1 ＋r2 ＝|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切；②当|r1 －r2|＝|O1O2|时，两圆相切；③当|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 时两圆相交；④当|r1 －r2|＞|O1O2|时两圆内含；⑤当r1 ＋r2 ＜|O1O2|时两圆外离。

（2）设⊙O1 ：x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。 ①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0；

②经过两圆的交点的圆系方程为x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋ （x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）。

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