高等数学下册黄立宏黄云清答案详解
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0 习题九答案
1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向角为πππ,,343αβγ=
==的方向导数。 解:(1,1,2)(1,1,2)
(1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcos cos cos 5.(2)()(3)343
xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点A (5,1,2)到B (9,4,14)的方向导数。 解:{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r
AB u u u r 的方向余弦为
4312cos ,cos ,cos 131313
αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u
yz x
u
xz y
u
xy z
?==??==??==? 故4312982105.13131313
u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ???
在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。
解:设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ,它是第三象限的角,因为
2222220,x y b x y y a b a y
''+==-
所以在点处切线斜率为
2.b y a a '==- 法线斜率为cos a b ?=
.
于是tan sin ??==
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1 ∵2222,,z z x y x a y b
??=-=-??
∴2222z
l a b ??=--= ?? 4.研究下列函数的极值:
(1)z =x 3+y 3-3(x 2+y 2);
(2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x -x 2)(4y -y 2);
(4)z =(x 2+y 2)22()e x y -+;
(5)z =xy (a -x -y ),a ≠0.
解:(1)解方程组22360360x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x -6, z xy =0, z yy =6y -6
在点(0,0)处,A =-6,B =0,C =-6,B 2-AC =-36<0,且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点(0,2)处,A =-6,B =0,C =6,B 2-AC =36>0,所以(0,2)点不是极值点.
在点(2,0)处,A =6,B =0,C =-6,B 2-AC =36>0,所以(2,0)点不是极值点.
在点(2,2)处,A =6,B =0,C =6,B 2-AC =-36<0,且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.
(2)解方程组222e (2241)02e (1)0
x x x y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ???
. 22224e (21)
4e (1)
2e x xx x xy x
yy z x y y z y z =+++=+= 在点1,12??- ???处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??=-- ???
. (3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0
x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Z xx =-2(4y -y 2),
Z xy =4(3-x )(2-y )
Z yy =-2(6x -x 2)
在点(3,2)处,A =-8,B =0,C =-18,B 2-AC =-8×18<0,且A <0,所以函数有极大值z (3,2)=36.
在点(0,0)处,A =0,B =24,C =0,B 2-AC >0,所以(0,0)点不是极值点.
在点(0,4)处,A =0,B =-24,C =0,B 2-AC >0,所以(0,4)不是极值点.
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