海明码和CRC编码的图解和详细计算过程

一、CRC编码

1、已知多项式和原报文，求CRC编码，如：使用多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1,对报文10100110进行CRC编码，则编码后的报文是什么？ 方法与步骤：

步骤1：对报文10100110，在末尾添加所给多项式的最高次阶个0，如本题为x^5，则添加5个0，变为：1010011000000。

步骤2：由多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其阶数为1的二进制编码为：110011。 步骤3：步骤1中求得的1010011000000对步骤2中求得的110011进行模二除法，所得到的余数即为校验码，把校验码添加在原报文尾部即为所求的编码报文1010011011000，具体如下：

2.已知道接收到的CRC编码，求原编码或判断是否出错，如：已知G(x)=x^5 + x^4 + x +1，接收的为1010011011001，问是否出错？

步骤一：由多项式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其阶数为1的二进制编码为：110011。 步骤二：用接收的报文1010011011001对步骤一的110011进行模二除法，看余数是否为0，如为0则正确，如不为0，则出错，计算余数为1，则出错。如下图：

二、海明码

1.求海明码，如：求1011海明码。

步骤一：求校验码位数r，公式为：2^r ≥r+k+1的最小r。题目中为2^3≥3+4+1,所以取r=3，即校验码为3位。

步骤二：画图，并把原码的位编号写成2的指数求和的方式,其中位编号长度为原码和校验码个数之和，从1开始。校验码插在2的阶码次方的位编号下，且阶小于r。如下：

原码的位编号写成2的指数求和： 7=2^2+2^1+2^0; 6=2^2+2^1; 5=2^2+2^0; 3=2^1+2^0;

步骤三：求校验位，即每个校验位的值为步骤二中“原码的位编号写成2的指数求和”式子中相应2的阶出现的位编号下原码的值异或。即：

r0=I4异或I2异或I1=1； (2^0次出现在7，5，3位，其对应的值为I4，I2，I1)

r1=I4异或I3异或I1=0； (2^1次出现在7，6，3位，其对应的值为I4，I3，I1)

r2=I4异或I3异或I2=0； (2^0次出现在7，6，5位，其对应的值为I4，I3，I2)

把r0,r1,r2带入海明码，得所求的海明码为：1010101

2.已知海明码，求原码或判断是否出错并改正错位，如：信息位8位的海明码，接收110010100000时，判断是否出错，并求出发送端信息位。

步骤一：求校验码位数r，公式为：2^r ≥r+k+1的最小r。题目中为2^4≥4+8+1,所以取k=4，即校验码为4位。

步骤二：根据作图，求得信息位编码和发过来的校验码记为r，并由原编码从新计算出新的校验码与发来的校验码r进行异或运算，具体如下：

得到，原码11000100，发送来的校验码r为1000 再根据求R，把原码的位编号写成2的指数求和： 12=2^3+2^2； 11=2^3+2^1+2^0; 10=2^3+2^0; 9=2^3+2^0;

7=2^2+2^1+2^0; 6=2^2+2^1; 5=2^2+2^0; 3=2^1+2^0;

求得：

S3=r3异或(I8异或I7异或I6异或I5) S2=r2异或(I8异或I4异或I3异或I2)

S1=r1异或(I7异或I6异或I4异或I3异或I1) S0=r0异或(I7异或I5异或I4异或I2异或I1)

S3S2S1S0,其十进制为0，表示没出错，如果不为零，则其十进制数即为出错的位。

本题S3S2S1S0=1001，十进制为9，即第九位出错。改过来既为：11010100

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