高三复习不等式讲义 - 图文

源于名校，成就所托 学科教师辅导讲义

学员学校： 年 级： 高三 课时数：2 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 授课日期及时段 1、理解和掌握不等式性质，掌握不等式各个性质之间条件和结论的逻辑关系 2、掌握简单分式不等式、简单绝对值不等式、简单的无理不等式的基本解法 教学目的 3、掌握常用基本不等式 4、掌握证明不等式的常用方法 5、理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关联 教学内容 【知识结构】 一、不等式的性质 1、实数的序与实数运算的关系 ?a、b?R，a?b，a?b，a?b有且仅有一个成立， 不等式 并且a?b?a?b?0； a?b?a?b?0； a?b?a?b?0 2、不等式的性质 （1）a?b?b?a； （2）a?b，b?c?a?c； ??c?R??ac?bc（3）a?b??c?R，都有a?c?b?c； （4）a?b??； ???c?R?ac?bca?b?a?b?0?aba?d?b?c（5））； （6）??a?c?b?d（??ac?bd（?dcc?d?c?d?0?）； ?an?bna?b?11??n?N（7）。 ?????； （8）a?b?0??nnab?0?ab??a?b?n?2?二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。 1

源于名校，成就所托 三、几个重要的不等式： (1)定理1：基本不等式：如果a,b是正数，那么 基本不等式的推广：当a、b为正数时, a2?b2a?b2≥≥ab≥ 11 （当且仅当 a = b时取 = 号） 22?aba?b?ab(当且仅当a?b时取\?\号). 2 即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 （2）定理2：含立方的几个重要不等式 （a、b、c为正数） a3?b3≥a2b?ab2； a3?b3?c3≥3abc（a?b?c?0等式即可成立, a?b?c或a?b?c?0时取等）; 证明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc ?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 从而a3?b3?c3?3abc 指出：这里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保证 推论：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么a?b?c≥33abc.（当且仅当a=b=c时取“=”号） 证明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c?a?b?c?33abc ?3a?b?c3?abc3 a?b?c? 由此推出：????abc ?3?定理3：（基本不等式3）a1?a2???ann≥na1a2?an n?N*,ai?R?,1?i?n 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念． 如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 则：做这n个正数的几何平均数． 定理3的语言表述为：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2

a1?a2???ann叫做这n个正数的算术平均数，na1a2?an叫 源于名校，成就所托 （3）绝对值不等式 ⑴a?b≤a?b≤a?b(ab≥0时,左边等号成立，ab≤0时右边等号成立) a?b≤a?b≤a?b(ab≤0时,左边等号成立，ab≥0时右边等号成立)⑵a1?a2?a3≤a1?a2?a3 （4）均值不等式可以用来求最值:“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值: 例题：1.下列命题中正确的是（ C）； A、y?x?的最小值是2 B、y?x?221xx2?3的最小值是2 4(x?0)的最大值是2?43 x4 D、y?2?3x?(x?0)的最小值是2?43 x C、y?2?3x?2.若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ （答：22）； 3.正数x,y满足x?2y?1，则11?的最小值为______ xy（答：3?22）； 历年真题分析：（考点：不等关系与不等式） 1. (2007上海理科) 已知 a,b 为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是 11?222222a?bab?abA、 B、 C、ababba?ab D、 2．( 1999上海理) 若a（b+）均不能成立 ba?baa121211和（a+）>（b+）均不能成立 ?b|a||b|aa?b13. (2000全国) 若a＞b＞1，P＝lga?lgb，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则（ ） 22A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q 3

源于名校，成就所托 四、不等式的解法 (1)同解不等式： ?f(x)＞0?f(x)＜0?f(x)＞0?f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0与 ? 或?同解．(2)f(x)·g(x)＜0与? 或?同解．? g(x)＞0? g(x)＜0?g(x)＜0?g(x)＞0 ?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)(3)＞0与? 或?同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0???f(x)＞0?f(x)＜0f(x)(4)＜0与? 或 ?同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0?? (5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解 ?f(x)＞[g(x)]2 ?f(x)≥0??f(x)＜[g(x)]2(7)f(x)＞g(x)与 ?f(x)≥0或?同解．(8)f(x)＜g(x)与?同解．?g(x)＜0??f(x)≥0?g(x)≥0 (9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解， 与f(x)＜g(x)同解． 当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)?f(x)＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与?同解．f(x)＞0? ?f(x)＜g(x)?当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与? f(x)＞0同解．??g(x)＞0 ?(1)a?0?(2)一元一次不等式的解法：ax?b?分?(2)a?0 情况分别解之 ??(3)a?0(3)一元二次不等式的解法 ??0 y?ax2?bx?c ??0 y?ax2?bx?c ??0 y?ax2?bx?c 二次函数 y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 ax2?bx?c?0 有两相等实根 bx1?x2??2a 无实根 有两相异实根 x1,x2(x1?x2) ?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集 R ? ?xx?x或x?x? 12?b?xx????2a?? ?xx1?x?x2? ? 4

源于名校，成就所托 （4）．简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： ①分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； ②将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； ③根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 例1解不等式(x?1)(x?2)2?0。 （答：{x|x?1或x??2}）； 例2不等式(x?2)x2?2x?3?0的解集是____ （答：{x|x?3或x??1}）； 例3设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)g(x)?0的解集为______ （答：(??,1)[2,??)）； 例4要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______（答：[7,81)） 8(5) 分式不等式例1解不等式?f(x)?g(x)?0f(x)f(x)>0?f(x)·g(x)>0，≥0?? g(x)g(x)g(x)?0?5?x??1 x2?2x?3（答：(?1,1)例2关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式(2,3)）； ax?b?0的解集为____________ x?2（答：(??,?1)?(2,??)）. （6）绝对值不等式的解法： ①分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?②利用绝对值的定义； ③数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3 （答：(??,?1)④两边平方：如 若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。 （答：{}） （7）含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如 22?1，则a的取值范围是__________（答：a?1或0?a?）； 3311ax2a?0时，{x|x?或x?0}；{x|?x?0} ）?x(a?R)（答：a?0时，{x|x?0}；a?0时，（2）解不等式 aaax?14331x|?2?|x?| 42（答：x?R）； (2,??)） （1）若loga 5

源于名校，成就所托 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax?b?0 的解集为(??,1)，则不等式x?2?0的解集为__________（答：（－1,2）） ax?b五、不等式的证明 常用不等式的证明方法 比较法：作差（商）—变形（因式分解、配方、通分）—判断—结论 综合法：A?B1?B2??Bn?B 分析法：执果索因 ---从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充 分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是 否具备的问题 放缩法：a. 添加或舍去一些项 ： a2?1?a；n?n?1??n2； b. 将分子和分母放大或缩小：1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n2?n??n?1?? c．利用基本不等式：n(n?1)＜??2?? d．利用常用规律： ⅰ.k?1?k?11?k?1?k2k； ⅱ.12?k1111111（程度大）； ??,2???k?k?1?k?1kkk?k?1?kk?1 ⅲ. 12?21?kk?11?11?????（程度小） ?k?1??k?1?2?k?1k?1?1 e．数学归纳法 六．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题： 不等式恒成立问题的常规处理方式： （常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等 式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题 若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B 如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______ （答：??（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____ （答：a?1）； （3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____ （答：（7?13?1,））； 222?1,??； ?）6

源于名校，成就所托 (?1)n?1（4）若不等式(?1)a?2?nn对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____ （答：[?2,3)）； 212（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围. （答：m??） 2). 能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 已知不等式x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____ （答：a?1） 3). 恰成立问题 若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D； 若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D. 历年真题分析：（考点一：一元二次不等式及其解法） 1.(2009江苏) 已知集合 ?x?02. (2009北京)不等式组??3?x2?x的解集是 ?||?3?x2?x?A??x|x2?5x?4≤0?，B??x|x2?2ax?a?2≤0?，若B?A，求实数a的取值范围 A.｛x｜0＜x＜2} B.｛x｜0＜x＜2.5}C.｛x｜0＜x＜6} D.｛x｜0＜x＜3} x?1??2e ， x＜23. (2006山东理) 设f(x)?? , 则不等式f(x)>2的解集为 2??log3(x-1),x?2(A)（1，2）?（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）? （10 ，+∞） (D)（1，2） (考点二：基本不等式) 1. (07上海理)已知x,y?R?，且x?4y?1，则x?y的最大值 . 2. (2008浙江文) 已知，a?0,b?0,且a?b?2,则 (A) ab?12 (B) ab?12 (C) a2?b2?2 (D) a2?b2?3 7

源于名校，成就所托 3. (2008 ?x,y,z?R江苏) 已知 ，x?2y?3z?0 ，则 y2xz 的最小值 (考点三：绝对值不等式) 1. (07北京15)记关于x的不等式x?a?0的解集为P，不等式x?1≤1的解集为Q．（I）若a?3，x?1求P；（II）若Q?P，求正数a的取值范围． (考点四：不等式的综合应用) 1.(2008江苏模拟) 如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y (单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （Ⅰ）求x,y的关系式，并求x的取值范围； （Ⅱ）问x,y分别为多少时用料最省? 8

源于名校，成就所托 2. (2006江苏模拟) 某工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元． （1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）； （2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备？ (考点五：不等式的证明) 1. (2010 9

11a?－，b?－且a?b?122湖南)已知 ，求证 2a?1?2b?1?22 源于名校，成就所托 2. (2007湖北理科) 已知m，n为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx； （Ⅱ）对于1?1m????1??1????1?????n≥6，已知?n?3?2，求证?n?3??2?nnm，m=1,1,2?，n； （Ⅲ）求出满足等式3n+4m+?+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n. 3．(07上海理)已知f?x?是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f?k??k2成立，则f?k?1???k?1?2成立，下列命题成立的是 A、若f?3??9成立，则对于任意k?1，均有f?k??k2成立 B、若f?4??16成立，则对于任意的k?4，均有f?k??k2成立 C、若f?7??49成立，则对于任意的k?7，均有f?k??k2成立 D、若f?4??25成立，则对于任意的k?4，均有f?k??k2成立 10

源于名校，成就所托 【例题精讲】 例1 不等式(1?x)(1?x)?0的解集是 （ ） A．?x0?x?1? B．?xx?0且x??1? C．?x?1?x?1? D．?xx?1且x??1? 解：(1+x)(1-x)＝0的解为x=1,x= -1(二重根) 画出数轴： +-10+1-x ∴不等式(1+x)(1-x)>0的解集是?xx?1且x??1? 另法：x=和x??2显然属于原不等式的解集，所以选（D） 12例x2?3x?x 2 解不等式2x?x?2x2?3xx(x?1)2解：由2?x??0 (x?1)(x?2)x?x?2其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下： -+-10-1-+2x 1???2,??? 由图知，原不等式的解集为??1,0??? 例3 己知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解为(??,?)，求关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集 13解：(a?b)x?(3b?2a)，因其解集为(??,?)， ?a?b?0,且3b?2a1??， a?b313从而a?2b, 又a?b?3b?0,?b?0, 将a?2b代入(a?3b)x?(b?2a)?0，得?bx?3b?0,x??3 ?所求解集为(??,?3) 11

源于名校，成就所托 例4 解不等式：（1）x?3?3?x；（2）1?2x2?x?1 解 （1）原不等式与不等式组 3?x?0x?3?(3?x)，或 2x?3?0同解， 3?x?0分别解不等式组得1?x?3或x?3， ?原不等式的解集为(1,??) x?1?0（2）原不等式与不等式组 1?2x2?0(x?1)2?1?2x2222?x??或0?x?232同解， 解之得?， ?原不等式的解集为[?222,?]?[0,] 232点评 ：一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题（1）中的第一个不等式组中可省去x?3?0，（2）中的不等式组中则不可省去任何一个（1）的结果可从函数y?x?3和y?3?x的图象上看出，让学生学会用图象法解不等式 例5 解不等式x?3?x?3?3 解法一：分区间去绝对值（零点分段法）： ∵||x+3|─|x─3||>3 ∴(1)??x??3?x<─3; ?|?(x?3)?(x?3)|?3??3?x?3(2)??3/23 ?6?3∴ 原不等式的解为x<─3/2或x>3/2 解法二：用平方法脱去绝对值： 两边平方：(|x+3|─|x─3|)>9,即2x+9>2|x─9|; 两边再平方分解因式得：x>9/4?x<─3/2或x>3/2 2222 12

源于名校，成就所托 例6 若x?0,y?0,x?y?1, 求证:(1?分析: x+y常数,xy可有最大值 11)(1?)?9 xy证法一: 左边＝(1+)(1+)=1+++=1+ 证法二：∵x+y=1 ∴左边＝(1+)(1+)=(1+yx1x1x1y1x1y1x?y1=1++ xyxyxy122≥1+2x?y2xy()2=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=”号) 1yx?yyx?y)(1+)=(2+xxy12)(2+) xy=5+2(+)≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=”号) 例7 已知a，b∈R，且a+b=1 xy求证：?a?2?2??b?2?2?252 证法一：（比较法） ?a,b?R,a?b?1,?b?1?a 259?a2?b2?4(a?b)? 22911?a2?(1?a)2?4??2a2?2a??2(a?)2?0 222251即?a?2?2??b?2?2?（当且仅当a?b?时，取等号） 22??a?2???b?2??22证法二：（分析法） ?a?2?2??B?2?2?2525?a2?b2?4(a?b)?8? 22?b?1?a ?? ?225122a?(1?a)?4?8??(a?)?0?22?因为显然成立，所以原不等式成立 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件 证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略） 证法四：（反证法）假设(a?2)2?(b?2)2则 a2?b2?4(a?b)?8?252?25， 2 13

源于名校，成就所托 由a+b=1，得b?1?a，于是有a2?(1?a)2?12?所以(a?12)?0， 2225 21?这与??a???0矛盾 2??所以?a?2?2??b?2?2?252 证法五：（放缩法）∵a?b?1 ∴左边＝?a?2?2??b?2?2???a?2???b?2???2??2??2 2125a?b?4???＝右边 ???2?2a?b?2 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式a2?b2?2??? ?2?证法六：（均值换元法）∵a?b?1， 11?t，b??t， 2211∴左边＝?a?2?2??b?2?2?(?t?2)2?(?t?2)2 22所以可设a?2525?5??5???t????t???2t2??＝右边 22?2??2?22当且仅当t=0时，等号成立 点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元 证法七：（利用一元二次方程根的判别式法） 设y=(a+2)+(b+2)， 由a+b=1，有y?(a?2)2?(3?a)2?2a2?2a?13， 所以2a2?2a?13?y?0， 因为a?R，所以??4?4?2?(13?y)?0，即y?故?a?2?2??b?2?2? 25222252 14

源于名校，成就所托 例8、设x、y?R?且x?y?1，求xy?解：1?x?y?2则 xy?xy?o?xy?1xy的最小值。 11，?4， 4xy111?1222???xy??1??xy?1??2xy??2??xy?1? ??xy??xyxy?xy211?1?17?2?4???1??，等号成立?xy??x?y?， 424?4???∴ ?xy?1?xy??min?171?x?y?。 4211?f?t??t?， txy1?又解：仿前解得：xy??0,??，令xy?t，则xy??4??1??1?t??0,?。在?0,?上，f?t?递减， ?4??4???则?xy?1?xy??min1?1?17?f????x?y?。 2?4?4例2???x?x?30??0?,且AB??，求a的范围 9 已知A?xx?a?1,B??xx?3??????分析：先利用解含绝对值的不等式的方法及积（商）的符号法则解不等式求出A和B，再利用数轴表示出A和B，得到A解： A??xB??时应满足的条件，从而求出a的范围 x?a?1??x?1?x?a?1???xa?1?x?a?1?, ?x2?x?30(x?6)(x?5)不等式?0,即?0其解集是不等式组 x?3x?3x?3?0x?3?0??与?的解集的并集, ???x?6??x?5??0??x?6??x?5??0????x?3?0???由?x????xx?6x?5?0????????????x?3??????xx?6?, x??5,或x?6????????x?3??x?3?0????x????x????x?5?x?3?, x?6x?5?0?5?x?6??????????????x2?x?30得不等式?0的解集是： x?3?xx?6??x?5?x?3???x?5?x?3,或x?6? 所以B??x?5?x?3,或x?6? ?a?1?3 要使AB??,必须满足a?1??5,或??a?1?6即a??6,或4?a?5. 15

源于名校，成就所托 例10 已知某种商品的定价上涨x成（1成即为1x1，x成即为），其销售量便相应减少x成，按10102规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率p的取值范围(精确到01% ) 注:本小题考查建立函数关系式,解不等式的知识,数学应用意识,建模能力和解决问题的能力 解：设原定价为a元/件，原销售量为x??x??ab?1???1???1?p??ab ① ?10??2?10?b件，则原销售额为ab元，由已知得 化简得?1?p?x2?10?1?p?x?200p?0 0?p?1,?1?p?0 对任意实数x?R,①式恒成立，∴△<0，解得?p?1， 19故111%0，∴不等式的解为x??1 ②当m??3时，原不等式可化为??x???1???x?1??0 m?3?11?0??1，∴不等式的解为x??1或x?m?3m?3 ③当m??3时，原不等式可化为??x???1m?4?1?m?3m?31??(x?1)?0 m?3?， 11??1原不等式的解集为?x??1； m?3m?311??1原不等式的解集为?1?x? 当m??4时，； m?3m?31??1原不等式无解 当m??4时，m?3 当?4?m??3时，综上述，原不等式的解集情况为： ①当m??4时，解为?1?x?③当?4?m??3时，解为1；②当m??4时，无解； m?31?x??1； m?31 m?3④当m=?3时，解为x??1；⑤当m??3时，解为x??1或x? 16

源于名校，成就所托 例12 若不等式kx2?2x?1?k?0对满足?2?k?2的所有k都成立，求x的取值范围 解：原不等式可化为(x2?1)k?(2x?1)?0 设f(k)?(x2?1)k?(2x?1) (?2?k?2)，是关于k的单调函数， 根据题意有： 22???f(?2)??2(x?1)?(2x?1)?0?2x?2x?3?0，即?2 ?2???f(2)?2(x?1)?(2x?1)?0?2x?2x?1?0 解得?1?72?x?1?32 点评：用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法 例13、已知函数f?x?的定义域为R，求实参数k的取值范围： （1）f?x??loga?2x2?4kx?1?k?； （2）f?x??（3）f?x??loga?kx2?4kx?1?k?。 解（1）f?x?的定义域为R?关于x的不等式2x2?4kx?1?k?0的解集为 R?16k2?8?1?k??0??k?1??2k?1??0??1?k?2x2?4kx?1?k； 11?，∴ k???1,??。 22??（2）f?x?的定义域为R?关于x的不等式2x2?4kx?1?k?0的解集为R ?16k2?8?1?k??0??k?1??2k?1??0??1?k?11?，∴ k??。 ?1,??22??（3）f?x?的定义域为R?关于x的不等式kx2?4kx?1?k?0的解集为R k?0?11?1??k?0或??k?00?k??0?k?或，∴ k?0,? 2?16k?4k1?k?0??55?5?? 例?x2?x?2?0?14．关于x的不等式组?2的整数解的集合为??2?， ??2x??2k?5?x?5k?0求实数k的取值范围。 ?x??1或x?2解一：原不等式组??， 5???x?kx??0?????2???记原不等式组的解集为M，则M10 当?k??Z???2?。 55?时，M???k,???，?2?M22??，不合题意； 17

源于名校，成就所托 5时，M??，不合题意； 25530 当?k??，即k?时，则MZ???2? 2220 当?k??2??k?3??2??k??1??1??k?2????， ???5?或??5?或??5??M???2,?k??M???2,?1??M???2,?1??2,?k??????????∴ ?2??k?3??3?k?2，又，k?，因而，k???3,2?。 解二：原不等式组??x??1或x?2， 2fx?2x?2k?5x?5k?0??????52记原不等式组的解集为M， 则M??18?6k?15?5k?0?f?3??0Z???2??? ????8?4k?10?5k?0?f??2?0??k??3??3?k?2，∴ k???3,2?。 ??k?2?

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