似大地水准面的精化DOC

摘 要

随着科技的进步及城市测量基准的发展，高分辨率、高精度的城市级似大地水准面已成为现代测绘发展，尤其是信息化城市所必需的基本条件。利用GPS定位技术以及现代地球重力场的确定理论和方法，来建立好精度、高分辨率的区域似大地水准面，具有特别重大的科学意义、社会意义和经济效益。

本文首先系统地介绍了GPS水准拟合法在确定似大地水准面中的应用，将常规的几何拟合法分为函数模型法、统计模型法、综合模型法三大类，详细介绍了他们的原理与特点，在此基础上介绍了GPS水准数据结合地球重力场模型和地形改正模型，采用移去一拟合一恢复法精化大地水准面的理论与实施步骤。

文章最后重点研究了以我国新一代似大地水准面CQG2000为平台，结合GPS水准数据精化区域似大地水准面的理论与方法。将其作为一个平台，结合部分高精度GPS水准数据，借鉴移去恢复法原理提高区域(似)大地水准面的计算精度。此外，本文给出了具体思想和计算步骤，并对移去恢复方法的可行性和优越性作了分析和探讨，并研究了GPS水准点个数和间距对精化结果的影响。

关 键 词：似大地水准面； GPS水准； 移去-恢复技术； CQG2000

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ABSTRACT

With the progress of science and technology and the development of city measurement datum, high resolution and high precision level city like the geoid has become a modern surveying and mapping development, especially the information necessary to the city fundamental conditions. Using GPS technology and modern determination of the planet's gravitational field theory and method, to build good precision, high resolution areas like the geoid, have special major scientific significance, social significance and economic benefits.

This paper first introduces GPS to determine the level of legal in like the geoid, the application of the conventional geometric intends to legal divided into function model method, statistical model method, integrated model method three categories, detailed introduces their principle and features are introduced in this paper with GPS leveling data earth gravity field model and topographic correction model, a move to a unity to refining geoid recovery act the theory and implementation procedures.

Finally, in our country mainly studied a new generation like

the geoid CQG2000 as the platform, combined with GPS leveling data refine the area like geoid theory and method. Will it as a platform, combined with high level of GPS data, from the recovery act to remove the principle to improve regional (like) geoid calculation accuracy. In addition, this paper gives the specific ideas and calculation steps, and to remove the feasibility and advantage of recovery method is analyzed and discussed, and the GPS leveling point number and the spacing to refine the affect the result.

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Keywords：Like the geoid; GPS level; Remove-recovery technology ；CQG2000

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目 录

第一章 绪论 ............................................ 1

1.1 引言 ........................................... 1

1.1.1大地水准面似大地水准面 .................. 1 1.1.2研究的目的及意义 ......................... 1 1.2国内外研究的现状 ................................ 3

1.2.1国外研究现状 ............................. 3 1.2.2国内的研究现状 ........................... 5 1.3本文主要研究内容 ................................ 7 第二章 城市区域似大地水准面精化的误差分析 .............. 9

2.1各种起算面及其相互关系 .......................... 9

2.1.1参考椭球面、大地高系统与大地高 .......... 9 2.1.2 大地水准面、正高系统与正高 ............ 10 2.1.3似大地水准面、正常高系统与正常高 ....... 10 2.2区域似大地水准面精化的误差分析 ................. 12

2.2.1 GPS水准精度及分辨率对高程异常的影响 .. 12 2.2.2重力异常精度和分辨率对高程异常的影响 .. 13 2.2.3 DTM精度和分辨率对似大地水准面的精度的影响 ............................................... 16 2.3小结概述 ....................................... 17 第三章 利用GPS水准数据精化似大地水准面的方法 ......... 19

3.1函数模型法 ..................................... 19

3.1.1平面拟合法 .............................. 20 3.1.2多项式拟合法 ............................ 20 3.1.3多面函数拟合法 .......................... 21 3.1.4移动曲面法 .............................. 22 3.1.5神经网络法 .............................. 22 3.2统计模型法 ..................................... 23 3.3综合模型法 ..................................... 23

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3.3.1最小二乘配置法 .......................... 23 3.3.2半参数模型法 ............................ 26 3.4顾及重力场模型和地形起伏的移去拟合恢复法 ....... 26

3.4.1移去拟合恢复法的思想和计算步骤 ......... 26 3.4.2重力场模型值的计算方法 ................. 27 3.4.3地形改正影响的计算方法 ................. 27

第四章 以CQG2000的城市区域似大地水准面精化 ........... 29

4.1 关于CQG2000似大地水准面 ...................... 29 4.2 以CQG2000的区域似大地水准面精化 .............. 29

4.2.1 COG2000似大地水准面的特点和问题 ....... 29 4.2.2 以CQG2000的区域似大地水准面精化的基本思路 ............................................ 30 4.3 常用插值方法介绍 .............................. 30

4.3.1 线性插值、二次多项式插值、邻近点插值 .. 30 4.3.2 Shepard插值原理 ........................ 31 4.4 以COG2000的移去，恢复法确定未知点高程异常 .... 31

4.4.1理论与实施步骤 .......................... 31 4.4.2 计算实验 ................................. 32 4.5利用GPS水准数据精化COG2000 ................... 34

4.5.1思路和步骤 ............................... 34 4.5.2 计算试验 ................................. 35

第五章 结论与展望 ..................................... 38

5.1 结论 .......................................... 38 5.2 展望 .......................................... 40 致 谢 ................................ 错误！未定义书签。 参考文献 .............................................. 41

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第一章 绪论

1.1 引言

众所周知,通过GPS测量手段可获得点的三维坐标,即点的平面位置和高程位置(即大地高)。我国目前采用的高程系统是正常高系统,而通常利用GPS测量所获取的大地高数据不能直接被利用而造成数据资源的浪费,如果我们能够采用物理大地测量方法精确得到同一点的大地高与正常高的差异,即大地水准面差距,GPS测得的大地高便能转换为正常高,从而使利用GPS测得的大地高这个重要数据就能够被充分利用。大地水准面(或似大地水准面)是获取地理空间信息的高程基准面。为此，目前包括我国在内的国际大地测量学界都在致力于研究区域性高分辨率、高精度似大地水准面或大地水准面的建立。

1.1.1大地水准面似大地水准面

大地水准面

由静止海水面并向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。它是重力等位面，即物体沿该面运动时，重力不做功（如水在这个面上是不会流动的）。大地水准面是指与全球平均海平面（或静止海水面）相重合的水准面。大地水准面是描述地球形状的一个重要物理参考面，也是海拔高程系统的起算面。大地水准面的确定是通过确定它与参考椭球面的间距--大地水准面差距（对于似大地水准面而言，则称为高程异常）来实现的。

似大地水准面

从地面点沿正常重力线量取正常高所得端点构成的封闭曲面。似大地水准面严格说不是水准面，但接近于水准面，只是用于计算的辅助面。它与大地水准面不完全吻合，差值为正常高与正高之差。但在海洋面上时，似大地水准面与大地水准面重合。 1.1.2研究的目的及意义

似大地水准面是获取地理空间信息的高程基准面；高精度似

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大地水准面是研究海洋动力环境和海洋地球物理、地球动力学等有关地球科学问题的基础；GPS技术结合高精度高分辨率大地水准面模型，可以取代传统的水准测量方法测定正高或正常高，真正实现GPS技术在几何和物理意义上的三维定位功能 。

高精度、高分辨率的似大地水准而及其变化不仅为测绘学、地球物理、地球动力学、海洋学等地球科学的研究与基础工程建设应用提供基础地球空问信息，而且也是当今构建数字中同必不可少的基础信息之一。大地水准面（或似大地水准面）是获取地理空问信息的高程基准面，似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆平原地区也几乎重合，在山区有2m～4rn的差异。似大地水准面尽管不足大地水准面，但它可以严密的解决关于研究与地球自然地理形状有关的问题。过去一个国家或地区的局部高程基准面通常是由该国或地区多年的验潮站资料确定的当地的平均海平面。我国的高程基准采用的是正常高系统，而正常高系统就是以似大地水准面为基准的高程系。

建立一个高精度、三维、动态、多功能的国家空间坐标基准框架、国家高程基准框架、国家重力基准框架，以及由GPS、水准、重力等综合技术精化的高精度、高分辨率似大地水准面。该框架工程的建成，将为基础测绘、数字中国地理空间基础框架、区域沉降监测、环境预报与防灾减灾、国防建设、海洋科学、气象预报、地学研究、交通、水利、电力等多学科研究与应用提供必要的测绘服务，具有重大的科学意义。

精化大地水准面对于测绘工作有重要意义：首先，大地水准面或似大地水准面是获取地理空间信息的高程基准面。其次，GPS（全球定位系统）技术结合高精度高分辨率大地水准面模型，可以取代传统的水淮测量方法测定正高或正常高，真正实现GPS技术对几何和物理意义上的三维定位功能。再次，在现今GPS定位时代，精化区域性大地水准面和建立新一代传统的国家或区域性高程控制网同等重要，也是一个国家或地

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区建立现代高程基准的主要任务，以此满足国家经济建设和测绘科学技术的发展以及相关地学研究的需要。

近年来，我国经济发达地区及中、小城市，在地形图测绘方面，对厘米级似大地水准面的需求十分迫切。高精度的似大地水准面结合GPS定位技术所获得的三维坐标中的大地高分离求解正常高，可以改变传统高程测量作业模式，满足1：1万、1：5000甚至更大比例尺测图的迫切需要，加快数字中国、数字区域、数字城市等的建设，不但节约大量人力物力，产生巨大的经济效益，而且具有特别重要的科学意义和社会效益。

1.2国内外研究的现状 1.2.1国外研究现状

精化大地水准面是局部重力场逼近的长期目标，也是大地测量应用本身及研究活动构造带地壳运动和时变重力场效应的需要。IAG(国际大地测量协会)特别研究组就致力于研究确定陆地和海洋大地水准面的理论和方法。90年代以来，世界各国和地区在相应大地水准面的精化工作和研究方面，有了很大发展，分辨率和精度水平提高了一个数量级，它的广泛应用和科学价值是其迅速发展的推动力，下面简单介绍这些发达地区和国家在大地水准面精化方面的发展概况：

整个欧洲地区大地水准面的精化计算始于20世纪80年代初，第一代欧洲重力大地水准面EGG1和EAGGl精度为几分米，分辨率约20公里左右，其中EAGGl比EGG1多了天文重力水准资料，精度略优于后者。1990年IAG大地水准面欧洲分委会制定并启动欧洲大地水准面计划，建立包括270 万个点重力值(海洋重力空白采用ERS-1重力异常值填补)和7亿个地形数据的数据库，其中地形数据被处理为7.5'×7.5'格网数据。从1994年开始，先后推出EGG94、95、96和97序列欧洲重力似大地水准面解(欧洲采用正常高程系统)，位模型在EGG94-96中采用GEM-T2，OSU91A以

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及OSU91A与JGM3的联合，在EGG97中采用EGM96重力场：短波分量采用残差地形模型(RTM)归算法：地面重力数据分辨率优于l0km，残差重力异常用快速最小二乘推估法形成1．0′×1．5′的格网数据。所得重力似大地水准面与GPS水准确定的似大地水准面的联合。与不参与联合的GPS水准网进行比较后表明，中、长波系统误差为±8．0厘米，短波误差信号为±1．3厘米。

美国在90年代先后推出了GEOID90，GEOID93和G9501区域大地水准面模型，三个模型计算方法基本相同。现行高程基准为NAVD88，采用Helmert正高高程系统(Heiskanen and Moritz，1967)。计算G9501采用了180万点重力数据，其中包括DMA控制的数据，海洋空白区用OSU91A模型重力值填充，标称精度为1毫伽；DTM来自由1：25万地形图产生的30″点地形数据库(TOPO30)，OSU9IA模型大地水准面误差在美国陆地为±38厘米，在海洋为±26厘米。对G9501进行改正得到一个校正大地水准面模型G9501C，对该模型的残差再作一个经验协方差函数，得L=40公里，Co=(0．026) 2×2㎡。表明了两个不同波段的误差源，一个约500公里的长波误差源，一个约40公里的短波误差源，G9501C精度为±2．6厘米，它不是一个“地球地心”大地水准面，其重要意义在于将NAD83(86)基准和NAVD88基准建立了联系，使之可用于美国GPS正高测定。EGM96是美国NASA／GSFC和国防制图局(DMA)联合研制的360阶全球重力场模型，被公认为是目前同阶次模型中最好的。EGM96模型就是一个综合利用最新卫星跟踪数据，包括GEOSAT、ERS-1等20余颗卫星数据，30′×30′全球地面重力数据，卫星测高等重力场信息和现有全球测量数据所计算出来的高精度全球重力场模型，其绝对精度在美国本土，50km达到几厘米，在中国为米级左右。

加拿大大地水准面模型GSD95的计算使用的参考模型也是OSU9IA，使用的重力数据包括海洋数据共150万个，海洋上的重力测量空白区用卫星测高重力值补充，形成5′×5′重力异常格网值。

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重力数据归算过程首先是移去大地水准面全部地形质量（满足smokes理论要求），地形质量的恢复采用Helmert（赫尔默特）的质量凝聚法，将移去的质量压缩到大地水准面上形成的一游层，由此得到大地水准面上的所谓Helmert重力异常Δg\，其值为地面点重力值加完全Bouguer改正、凝聚重力改正以及空间改正，再减去对应椭球面上的正常重力值，将位模型重力异常值从Δg\中移去，用最小二乘配置法将所得的残差重力异常点值格网化，再按Stokes积分求解相应的残差高程异常，最后的大地水准面高为位模型大地水准面高．与残差大地水准面高之和，再加上地形移去和恢复产生的间接影响。将重力大地水准面和GPS水准几何大地水准面拟合后，经分析表明GSD95在几十公里距离上具有±5cm～±l0cm的精度。

1.2.2国内的研究现状

我国似大地水准面的确定经历了近半个世纪的发展过程，自20世纪50年代至今，先后建立了CLQG60，WZD94和CQG2000大地水准面模型。

目前,我国新一代似大地水准面CQG2000的重要基础是由GPS水准所构成的高程异常控制网HACN2000，它的布设方式被分为A级和B级。其中A级高程异常控制网是用国家A级GPS定位标准施测，同时用高于二等水准测量精度测定正常高。A级高程异常网的主要目的是在全国大跨度高精度传递高程异常，以减少误差积累。HACN2000的另一部分为B级高程异常控制网（用国家B级GPS定位标准施测，用高于四等水准测量精度测定正常高）。CQG2000在36°以北108°以西似大地水准面的精度为±0.5m;在36°以北108°以东精度为±0.3m:在360以南108°以西精度为士0.6m：在36°以南108°以东精度为±0.3m。该似大地水准面允分利用了我国现有的高精度GPS水准网成果和全同重力资料，采用同内外先进的(似)大地水准面确定的理论和方法，其结果可作为低精度(如低于二等水准)的GPS水准测量的似大地水准面模型，

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CQG2000似大地水准面的确定，充分利用了现有国家高精度GPS水准网，即HACN90和较丰富的全国重力资料，因此其结果有可能成为用于较低精度的GPS水准测量的新一代似大地水准面模型，这将为我国转变商程测量技术模式打下初步基础，并可望产生显著经济,在测绘生产中将会得到较广泛的应用。

目前，我国部分城市和区域竟相开展了区域似大地水准面的精化工作，并取得了优异的成果，使我国部分区域似大地水准面达到厘米级的精度，确立了高精度的三维空间框架和坐标基准，为我国的社会建设提供了巨大的帮助。

在我国局部大地水准面确定方面，陕甘宁地区GPS-重力似大地水准面精度为士0.243m。塔里木地区2′30″×2′30″格网似大地水准面与八个GPS水准数据的比较结果其精度优于±0.332m。海南地区的2′30″×2′30″格网GPS-重力似大地水准面检核精度为±0.095m。青海柴达木盆地似大地水准面计算的1.5′×1.5′格网似大地水准面精度均优于±0.l0m。2002年建立的江苏省似大地水准面的分辨率为2′30″×2′30″，其精度为±0.078m。2004年确立了河北省分辨率为2′30″×2′30″，精度优于±0.065m的似大地水准面。2004在新疆塔晕木盆地及周边地区2′30″×2′30″格网似大地水准面精度优于±0.20m。2005年确定的青海省2′30″×2′30″格网似大地水准面精度优于±0.186m。2005年确定的广东省2′30″×2′ 30″格网似大地水准面精度优于±0.05m。

近几年来,在城市大地水准而的建立方面，2003年无锡市高精度似大地水准面与30个独立的GPS水准检核点的精度为±2.2 cm。2004年完成的青岛市高精度似大地水准面外符合精度为±1.8 cm。2005年江苏常州地区2′30″×2′ 30″格网似大地水准面的精度为±5cm。广东省清远市2006年11月，直接在D级GPS控制网基础上、以三等水准联测进行区域似大地水准面确定，其精度达到了2 cm，同时完成了lkm和2km格网似大地水准面的建立。广州市在2006年6月完成了lcm城市大地水准面，过程中采用7273个重力

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数据和高精度62个GPS水准资料，以地球重力场模型EGM96作为参考重力场，使用3″×3″的高分辨率数值地面模型和美国宇航局分辨率为2″×2″海底地形资料DTM2000，采用了严密的陆海统一地形改正算法，完成了最终大地水准面的确立。2000年陕西省咸阳地区计算了2.5′×2.5′分辨率的重力大地水准面，并结合测区地势布测了GPS水准点，以这些点作控制完成了系统改正，最终提供了WGS-84椭球的区域大地水准面。经外部高程值检验，其最大差值为6.lcm，中误差为±3.2cm，目前己应用于咸阳市l：1000比例尺的测图工作。 1.3本文主要研究内容

我国新一代似大地水准面CQG2000的成功研制是我国精化（似）大地水准面的一个阶段性进展，同时也在全国范围内的地区慢慢普及应用,其分辨率和精度也达到了一个新的水平，但是对于一些大比例尺和某些地区,CQG2000模型的分辨率和精度都不能满足其要求。为此，如何充分有效的利用现有coG2000的研究成果，提高其精度和实用价值，是目前一个迫切需要解决的问题，也是本文研究的主要内容。

综上所述,似大地水准面的精化已经是大势所趋,势在必行,但似大地水准面的精化是一项长期、艰巨而紧迫的任务.为此本文研究的具体内容为:

第一章首先介绍了本文的研究背景(引言),国内外的似大地水准面的发展现状,及其研究的目的及意义。通过总结分析,得出目前我国似大地水准面存在的主要问题,从而导出本文的主要研究内容。

第二章主要探讨城市区域似大地水准面精化的误差来源，目的在于分析各种误差对区域似大地水准面的影响，以便在设计城市区域似大地水准面精度时对相应数据的精度和分辨率提出要求。

第三章主要介绍了利用GPS水准数据来精化城市区域似大地

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水准面的各种方法，以及结合重力场模型和地形数据的移去恢复法等。

第四章主要介绍了结合CQG2000精化区域似大地水准面的思路和方法,分析CQG2000的特点,研究如何利用CQG2000所具有的高分辨率及能够反映我国城市区域似大地水准面起伏的整体趋势，借鉴移去恢复法的思想，结合GPS水准高精度的特性，采用合理数学模型，实现区域似大地水准面的最佳逼近。

本文第五章是对全文的一个概括和总结,并对以后的研究表达个人的一些建议。

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第二章 城市区域似大地水准面精化的误差分析

GPS测高是以椭球面为基准的高程系统，常规测量所说的高程是以大地水准面为基准的高程系统。两者采用的是完全不同的两种参考面，因此有必要在研究精化区域似大地水准面方法之前了解几个不同的高程系统及与高程相关的参考面：参考椭球面、大地水准面、似大地水准面等的定义及其相互关系。似大地水准面精化数据包括GPS水准数据、重力数据、EGM96重力场模型及DTM等，而各种数据及模型存在这样或那样的误差，这样就直接或间接地构成了似大地水准面精化的误差来源。本章由各种起算面间的相互关系开始，继而对似大地水准面精化的各种误差来源进行探讨，并在此基础上就各种误差对似大地水准面精度的影响进行分析。

2.1各种起算面及其相互关系

2.1.1参考椭球面、大地高系统与大地高

大地水准而是与平均海平而最密合的一个水准面，由于地球表而的起伏不平，内部质量分布不均匀，使得地面上各点所受引力的大小和方向各不相同，从而引起地而各点铅垂线方向发生不规则的变化，于是处处与铅垂线正交的大地水准面就成为一个不规则的曲面。大地水准面虽具有明显的物理意义，但不是一个数学曲面，很难甚至无法将地面上的测量结果归算到大地水准面上进行相关计算，为明确地表示地面点的水平和垂直位置并达到有效、且不失方便的目的，需要寻找一个和大地水准面非常相近，同时又可用简单数学公式表达的几何形体米代替大地水准面。在测量上选用了椭球绕其短轴旋转而成的参考旋转椭球面来近似大地水准面，同时它也是测量计算和绘图的基准面。大地高系统足以参考椭球面为基准面的高程系统。地面上某点的大地高足该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般用符号值表示。大地高是一个纯

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几何量，不具有物理意义，同一个点，在不同的基准参考椭球下，具有不同的大地高。

2.1.2 大地水准面、正高系统与正高

大地水准面是设想与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化影响,并延伸到大陆下面且处处与铅垂线相垂直的一个水准面，其也是大地测量中一个不可缺少的参考基准面。大地测量的一个重要任务就是确定地球形状，而大地水准面是最能表达地球形状的一个面。从大地测量的实用角度来说，它又是正高系统的高程基准面。大地水准面是地球重力场中的一个等位面，它是一个物理曲面，具有实际的物理意义，即任意给定一点的重力位值，那么过该点的等位面就唯一确定。大地水准面是一个与地球(平均海水面)最为密合的特殊的等位面，由此确定的参考系统称为大地水准面参考系统。目前，大地测量学家趋于用大地水准面来定义世界(全球)高程系统(国内外高程系统不同)。

正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。地面上任意一点的正高是指该点沿铅垂线方向至大地水准面的距离，为了区别下面的正常高，正高用Hg表示。若以N表示人地水准面和椭球而之间的差距，则正高与大地高之间的关系可表示为：

?h ? g ? N (2-1) 2.1.3似大地水准面、正常高系统与正常高

由于地球质量特别是外层质量分布的不均性，使得大地水准面形状非常的复杂。目前尚不能精确地求定，为此，Molodensky建议研究与大地水准面很接近的似大地水准面，这个面不需要任何关于地壳结构方面的假设便可严密确定。似大地水准面是地面点沿铅垂线(或止常重力线)向下量取正常高所得的各端点形成的连续曲面。在正常重力场和实际重力场中，似大地水准面都不是一个等位面。因此，似大地水准面仅是描述地球形状的一个几何面，实际上不具有严格的物理意义。在海洋上，可认为大地水准面与似大地水准面重合，在平原和山区，两者的距离与点的商程有关。似大地水准卣尽管不是大地水准面，但它可以严密地解决

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关于研究与地球白然地理形状有关的问题。似大地水准面是正常高系统的高程基准而，我国85国家高程基准采用的就是正常高系统，由此确定的参考系统称为似大地水准面参考系统。

正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统，正常高是地面点沿铅垂线方向至似大地水准面的距离，地面某点A的正常高的定义为：

1ArH? A ? 0 gdh （2-2）

rm

?正常高表示，似大地水准面与椭球面准测量的高差。正常高用

之间的高差称为高程异常，用公式可表示为：

式中 r m ，是此两点间正常重力平均值，g为重力值，砌是水

??h??正常高（2-3）

式中，ξ 为高程异常。

为更直观的了解各起算面及其高程系统问的关系，图2-1给出了它们相互间关系的示意图。

PHHgABNC参考椭球面图2-1 各参考面及高程系统间的关系

Fig.2-1 the reference surface and the relationship between the vertical system

h地表面似大地水准面?大地水准面GPS测量可以得到观测点相对于参考椭球的大地高(h)即椭球高，而利用几何水准和重力数据可以得出正常高(H正常高)，由大地高减去正常高便得到观测点的高程异常(ξ)，这也就构成了GPS水准法的原理。由图2-1可知：精化似大地水准面也就是精确地求

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定地球表面各点对应的高程异常(ξ)值。 2.2区域似大地水准面精化的误差分析

区域似大地水准面的精化，其实质是几何大地测量和物理大地测量成果的综合运用。尽管先进的计算方法可以正确有效地利用不同类型的重力场相关信息和相关数据，但似大地水准面计算的最终成果的精度和分辨率主要取决于起算数据的质量、精度和分辨率。区域似大地水准面精化的最终成果与三个因素有关，一是作为起算数据的GPS水准网的精度和分辨率，二是内插点所在地区周围重力异常的精度和分辨率，三是内插点所在地区DTM的精度和分辨率。下面对影响似大地水准面精化精度的三种因素分别进行分析。

2.2.1 GPS水准精度及分辨率对高程异常的影响

GPS水准网，就其功能来说，实质就是高程异常控制网，类似于平面和高程的大地控制网。高程异常控制网点对布网区域内的似大地水准面计算起到控制作用。一般区域进行似大地水准面精化时，对于测区内GPS水准网中任一个点，其误差主要来自两个方面：一是GPS测量误差，二是水准测量误差。假定GPS测定的

mGmS由式(2—3)和高程误差为 , 水准测定的高程误差为 ,

误差传播定律可得GPS水准对区域似大地水准面影响的总误差为:

2 2 1 mGS?(mG?mS)2 (2-3) 从平均意义上说 m和 m在一个区域内基本上是一个固

G

定值，或者从统计意义上说它是一个常数。也就是说一定等级的GPS测量成果和水准测量成果的单位权中误差是在某个限定的范围之内。因而，GPS水准点的分辨率(格网间距)的高低是影响似大地水准面精度的主要因素。

为探讨GPS水准测量误差及分辨率对区域似大地水准面的影响，下面以GPSD级网为例进行分析。设边长为lOkm，GPS测定的大地高误差为

SmG=30mm，如果当GPS边长s小于或超过10km，相

mg?30S10计算：设水准测量误差每公里为2mm，在不应以 顾及水准点起始点误差条件下，则有 mm。当GPS水准mS?2S

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点间距S取不同值时，则对高程异常的影响如表2-1所示。

表2-1 GPS水准测量误差及分辨率引起的高程异常误差

Tab.2-1 GPS leveling measurement error and resolution of the error caused by

abnormal height S(km) mG(m) mS(m) mGS(m)

5 0.021 0.004 0.021

10 0.03 0.006 0.031

15 0.037 0.008 0.038

20 0.042 0.009 0.043

25 0.047 0.01 0.048

由表2-1可知：在GPS水准测量误差一定的情况下，GPS水准分辨率在5km～25km范围变化时，其所引起的高程异常误差在0.02lm～0.048m范围间变化，表明随着GPS水准分辨率的逐步降低，高程异常的误差越来越大，GPS水准测量的精度和分辨率直接影响高程异常的精度，进而影响区域似大地水准面的最终精度。因此，在精化区域似大地水准面时，应根据似大地水准面所要达到的精度首先对GPS水准网的精度和分辨率进行设计。 2.2.2重力异常精度和分辨率对高程异常的影响

空间重力异常是精化区域似大地水准面的重要信息，其主要作用是求取残差重力似大地水准面。空间重力异常可根据地面实测重力值和正常重力值求取，为了研究区域重力异常分辨率及精度所引起的高程异常误差mg的形成规律，可以从讨论推估垂线偏差这样比较直观的方法着手，而且这两者在本质上有相应的数值关系。

若已知点和内插点之间的高程异常的变化是线性的，则推估值可以比较准确得到，这时推估值的精度也主要由已知点高程异常值的精度来决定。但实际上由于所在局部地区重力场短波(一般情况下，主要由于地形)的扰动，已知点和内插点之间的高程异常就存在有非线性变化，从而使内插点高程异常推估值的误差除了已知点的起始数据误差外，还附加了由于局部重力场扰动所引

13

起的误差。

在GPS水准格网中，推估已知点和内插点之间的高程异常差，也相应于推估这两类点的垂线偏差之差。前者表示两类点间似大地水准面高低的起伏，后者表示两类点问似大地水准面倾斜的变化。因此，由同一局部重力场短波扰动对二者所引起的推估误差也是一一对应的，前者为mg，则可设后者为σ

θ

。假定所考虑的

GPS水准格网的分辨率为d×d/(km)2。不失一般性，置内插点P位于格网中央，格网四角端点A为GPS水准网点，它们的高程异常值为已知，参见图2-2，其中A表示高程异常已知点，P表示内插点，d表示GPS水准网格的分辨率（间距）。AP间的距离为 。

2d2A d A P A A

图2-2 GPS水准网 Fig.2-2 GPS leveling nets

14

图2-3 重力扰动误差和垂线偏差的微分关系

Fig. 2-3 gravity disturbance error and vertical deflection of the differential

relationship

由图2-3可以看出，由于重力扰动影响，使A点至P点间的重力方向（即垂线方向）改变了

σθ：同时使两点间的高程异常差值

出现非均匀性变化的扰动mg，两者之间存在的微分关系式如下:

5m?d???2?102??0.343d??? （2-5） g?式中，mg以cm为单位；d仍以km为单位；以σθ('')为难位；常数ρ= 206265''。按Molodensky关于重力误差差σθ的经验公式有：

? ? ? 0 . 15 ? g （2-6）

σg和垂线偏差误

式中，σθ仍以('')为单位：σg以mGal (lGal =lcm/s2)为单位，将上式代入式(2-5)后，得到内插点高程异常推估中的重力扰动所导致的误差

mg、GPS水准网分辨率d以及内插点所在格网中重力

值的误差σg这三者的关系式为：

m g ? 0 . 05145 d ? g （2-7）

式中，各种符号的意义和单位同前．目前高程异常的求取一般采用格网形式的平均重力异常参加计算．因此，重力精度主要以格网平均重力异常的代表误差σg来表示，它与该格网边长λ（即重力格网分辨率）的关系式为：

.7? ? g ? 2 C （2-8）

式中，C为代表误差系数，和地形密切相关。在我国平原、丘陵、山区和高山区，C值分别等于0.54、0.81、1.08和1.50．λ

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以(')为单位：σg仍以mGal为单位，将式(2-7)和(2-8)结合，就得到内插点高程异常推估值中重力扰动误差mg与所在区域的格网平均重力异常分辨率λ、GPS准网分辨率d三者间的关系式：

mg?0.1389Cd? （2-9）

设重力异常分辨率为5'，则根据式(2-9)计算出的重力异常误差及分辨率对高程异常的影响结果见表2-2

表2-2 重力异常误差及分辨率对高程异常的影响 Tab. 2-2 gravity anomaly error and the influence of the power of the

abnormal height 地形 平原 丘陵 山区 高山区

5 0.008 0.013 0.017 0.023

10 0.017 0.025 0.034 0.047

GPS网格间距 15 0.025 0.038 0.05 0.07

20 0.034 0.05 0.067 0.093

25 0.042 0.063 0.084 0.117

30 0.05 0.076 0.101 0.14

注:重力扰动误差mg（m）

由表2-2可知：在重力异常分辨率为5'，GPS水准分辨率为5km～30km的条件下，由平原至高山区因重力扰动引起的高程异常误差的差异在1.5～9cm之间。在相同的地区，随着GPS水准网间距的增大，重力异常分辨率对似大地水准而精度的影响快速增加。特别在山区和高山区，这一趋势更为明显。因此，在进行区域似大地水准面精化时，尤其存山区和高山区应严格控制重力异常及GPS水准网的间距。

2.2.3 DTM精度和分辨率对似大地水准面的精度的影响

高分辨率的DTM包含了地球重力场的高频信号，是计算高分辨率高精度似大地水准面的重要信息。DTM的精度和分辨率对高程异常精度的影响，实质上也是反映局部重力场高阶项(或短波)对内插结果的影响。

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地形对似大地水准面的影响与高程的平方项成正比，有误差传播定律可得DTM精度对高程异常精度的影响中误差为：

4?G?h （2-10） r式中,

m?DTM?mh mh为DTM精度、λ取正常重力平均值978764.47mGal。

表2-3 DTM精度对高程异常的影响

表2-3列出了DTM精度为1:5万时对高程异常结果的影响。

Tab 2-3 DTM precision on the influence of the abnormal height 地形：精度（m）

平原：4.8 丘陵：8.4 山区:13.2 高山：22.8

100 0.1 0.2 0.3 0.5

500 0.5 1 1.5 2.6

高程（m） 1000 1.1 1.9 3 5.2

2000 2.2 3.8 6 10.4

3000 3.3 5.7 9 15.6

注：中误差mξDTM（mm）

由表2-3可知: 在DTM格网精度为l：5万的情况下，高程在100m～3000m范围间变化时，平原地区至高山地区因DTM精度引起的高程异常误差羞异在0．4mm～12．3mm之间变化。表明在高程相对较低的平原地区DTM精度对似大地水准面的影响不大，但在高程较高的复杂区域，此种影响在精化厘米级似大地水准面时是不可忽略的。因为低分辨率的DTM损失了部分高频信息，地形变化越剧烈的地区，这种影响也越大．因此，对于山区及高山区似大地水准面的计算应尽可能采取较高分辨率的DTM。 2.3小结概述

本章首先简要介绍了几种高程基准的起算面、高程系统及其相互关系：随后分别详细地探讨了GPS水准、地区重力异常及DTM的精度和分辨率所引起的高程异常误差在平原至高山地区对似大地水准面计算结果产生的影响，并在以上分析基础上得出如下结论：

(1)GPS水准的精度和分辨率在区域似大地水准面整个精化

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过程中起到精度控制的作用，因此其精度和分辨率是获取高精度区域似大地水准面的关键。

(2)重力异常的分辨率对似大地水准面精度的影响特别明显，在山区此情况尤甚，应严格控制其格网间距。

(3)低分辨率的DTM损失了部分高频信息，对区域似大地水准面有一定影响，地形变化越剧烈的地区，这种影响也越大，因而在进行区域似大地水准面精化时，尤其是在地形复杂地区，应尽可能的采用高分辨率的DTM。

(4)为达到区域似大地水准面的最终需求精度，在对其进行精化工作的设计阶段，应对以上三种数据的实际精度和分辨率提出相应的要求，以保证最终成果的精度。

18

第三章 利用GPS水准数据精化似大地水准面的方法

GPS定位的坐标系统是WGS-84坐标系，这是一种地心地固三维空间直角坐标系，与之对应定义了一个参考椭球，而参考椭球面与似大地水准面是两种不同类型的基准面。在WGS-84坐标系中，GPS测量可以精确地获取地面点的大地高，但无法直接获得高程异常信息，致使无法高精度地实现大地高到水准高转换。当重力资料获取困难或其分布不均匀且密度不够时，可根据大地高、正常高及高程异常三者之间的几何关系，采用GPS水准几何法来确定似大地水准面，就是利用区域内GPS水准点上高程异常值，构建某一曲面来逼近似大地水准面，从而实现地实现大地高到水准高的高精度转换。

在区域范围的GPS网中，用水准测量的方法联测网中若干GPS点的正常高，根据各个GPS点的大地高就可求得公共点上的高程异常。GPS水准几何法就利用这若干已知高程异常信息的GPS点，由大地高和高程异常之间的关系式，采用某种数值拟合法建立重合点的平面坐标与高程异常的函数关系，进而拟合建立出测区所在局部区域的似大地水准面，在此基础上可以获取区域内任意一点的高程异常，从而求出区域内各GPS点的正常高。 运用GPS水准几何法进行似大地水准面的逼近，具体又可分为函数模型法、随机模型法和综合模型法。函数模型法一般可以求定逼近曲面的系统性或某种规律性趋势，而统计模型逼近则求定随机性变化，如果将二者结合起来，有望提高似大地水准面逼近的精度与可靠性。 3.1函数模型法

该模型的特点是对趋势性变化的拟合效果较好，但是需要合适的函数模型形式，并需要确定合适的参数个数。如果函数模型的针对性强，则可烈实现很好的拟合效果。但函数模型的形式一

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旦确定，计算过程也就相应不再变化，这就致使其在逼近曲面时，不能准确反映异常位的所有特征，且不具备抗差能力。 数学原理：通过有限个观测数据，根据一定的限制条件，选定某一特定的函数进行拟合，从而达到对未知函数的最佳逼近，然后再利用这个计算出来的函数模型来获得未知点的函数值。 数学模型： ? ? F ? ? ? （3-1）

???1，?2....?n，误差方程： 其中 ?V?F?-?1??（-FTPF）(FTPF)利用最小二乘准则 VTPV?min，解得：

??T目前的函数模型主要有以下几种方法：平面拟合法、多项式拟合法、多面函数法、样条函数法、移动曲面法以及神经网络法等。

3.1.1平面拟合法

该方法原理就是利用GPS水准点的高程异常善与点的平面坐标有关系式，构建相应的相应的误差方程，根据最小二乘原理求得模型的最有参数，从而实现区域似大地水准面的逼近。该方法在不大且地势平坦的区域内，可以实现较好的精度，但随着区域地理条件变化的复杂，其拟合精度会迅速下降。 3.1.2多项式拟合法

多项式拟合法就是利用高次多项式模型建立平面坐标与高程异常之间的函数关系时，其数学模型可以如下：其模型为

223223N?x，y??a 0?a1x?a2y?a3x?a4xy?a5y?a6x?a7xy?a8xy?a9y?.....(3-2)

式中,a0,a1,a2,a3,……,为待定系数。x,y为高斯平面坐标,可以两者进行中心化。当已知点多于参数个数时,则有:

(3-3) ??N??式中,N是ξ的趋近值, ε为误差。写成矩阵形式如下：

? ? AX ? ? (3-4)

20

??1??a0???1? ???????a?2?2?1??? ? ? ? ， ， ??X??...???? ? ... ...?????????n? ?n??an?

3y?1x1y1x1x1y1y1...1??223?A??1x2y2x2x2y2y2...y2?223???1xnynxnxnynyn...yn??22?n为已知点的个数,按最小二乘原理可得：

X ? A T PA ） ?1 ( A T P ? ) (3-5) （根据解出的系数值及拟合点的平面坐标，即可按(3-4)式求得这些点的N值，因而也可求得正常高。

多项式拟合的思想是在拟合区域内的GPS水准点之间，构造一个平渭的曲面来实现区域似大地水准面逼近。在采用这种方法拟合似大地水准面时，如果拟合区域大，高程异常变化复杂时，拟合的误差也越大。而且，随着多项式阶次的不断增高，所构造出的拟合曲面的起伏越大．当数据点比较少时，常常会产生大的误差。

3.1.3多面函数拟合法

美国人Hardy于1922年提出了多面函数拟合法。该方法的基本思想是：任何一个圆滑的数学表面总可用一系列有规则的数学表面的总和以任意精度逼近，则任意一点(x,y)处的高程异常ξ(x,y)可表示为：

?(x，y)???iQ（x，y，xi，yi） (3-6)

i?1k 21

式中: αi为待定系数,核函数一般去如下的正双曲面函数：

Q （ x ， y ， y i） ? （ x - x i） 2 ? （ y i） 2 ? ? 2 (3-7) x i，- y通常令光滑因子σ^2，i=1,2,…….,n为所选的结点号,共有n

????MQ?个结点。设有m个拟合点，则有： (3-8)

TT??（MQMQ)?1MQ?其最小二乘解为: (3-9)

?由上式可求得多面函数的待定系数，进而利用(3-6)式计算各GPS点上的高程异常值。这种方法通常在拟合点较多的情况下使用，同时根据测区的大小和地形起伏情况选取合适的核函数，核函数的合理选取是多面函数拟合法的关键。对于不同的区域，应进行多次试验研究，以确定最佳的核函数和光滑因子。

3.1.4移动曲面法

移动曲面法是一种局部逼近的方法。它的基本原理是把每一个内插点都作为中心，以内捅点周围数据点的高程异常值，构建出一个曲面，让其到相应的各数据点间距离之加权为极小。这种方法拟合的区域相对来说比较小，那么就使控制点能更好地起到控制作用。在拟合计算时，若把向径的某一函数设为权重，则拟合形成的函数就可以表示出该区域地形起伏造成的影响，那么就可以实现对异常位趋势的加强。此法在拟合时，每个待定点上都能计算得出一个相应的函数曲面，从而直接求得出未知点的拟合模型值，计算操作便捷，拟合区域越小，其拟合的精度就越高。但如果权函数如果选取不当，往往会造成拟合时法方程出现病态。 3.1.5神经网络法

思维学普遍认为，人类大脑的思维分为抽象（逻辑）思维、形象（直观）思维和灵感（顿悟）思维三种基本方式。人工神经网络是模拟人类恩维的第二种方式，是一个非线性动力学系统。特色在于信息的分布式存储和并行协同处理。虽然单个神经元的结构极其简单，功能有限，但大量神经元构成的网络系统所能实现的行为却是极其丰富多彩的。人工神经网络可以理解为一些神经元按特定的方式联系构成的非线性网络，分为并行处理和分布式的存储信息机制，并具有相应的自动学习、自组织与自适应等

22

功能。它是借助现代生物学的思想，通过生物过程的模拟，反映人脑某些特征的一种计算结构，在数学和统计学有明确的理论支持。它通过网络结构的学习，自动实现学习样本之间关系的抽取。利用其非线性映射能力以及无模型估计特征，就可确定出点的坐标和高程异常之间的映射关系，进而实现似大地水准面的建立，理论上也是比较严谨合理的。同时，因为避开一些未知因素的影响，实现了模型误差的减少，很好的提高模型的精度，进而准确的确定大地水准面。 3.2统计模型法

统计模型法主要是根据数据点所表现出的统计性来进行拟合逼近。其原理是根据各离散数据之间的统计特性对有限个观测值进行统计，从而确定各数据点之间的相关性模型，然后通过这种相关性模型计算未知点的值。该方法的主要特点是计算灵活，对随机性变化拟合效果较好。但它也存在着不完善之处，即如何选择可靠、具有代表性的协方差函数，而协方差函数的选择及其待估参数的求取往往会带有误差，从而使得拟合逼近的精度与可靠性降低。常用的统计模型法通常有权中数法与克里格法。在实际应用中，权中数法实现起来比较简便，而克里格法对编程实现能力要求很高。 3.3综合模型法

综合模型法的思想是当单依靠函数模型或统计模型均不能达到理想的逼近效果，充分利用函数模型的规律性和统计模型的灵活性，将函数模型逼近和统计模型有机结合起来，以求达到更好的逼近结果。下面介绍两种常用的方法: 3.3.1最小二乘配置法

最小二乘配置最初是应用在地球重力场研究中的一种数学方法。最小二乘配置法是在其函数模型不仅体现随机部分（也被称为信号），又体现其非随机的系统部分（倾向参数）。在地球重力场以及其它数据处理时，常常需要对信号和倾向参数进行最佳的

23

推估，而倾向参数却经常是某种拟合函数的系数，因而也称之为拟合推估。

1.最小二乘配置原理

L?AX?BY??数学模型: (3-10)

X为系统性参数，Y为随机性参数，A为第一设计系数矩阵，可由GPS水准点的坐标求得,B为第二设计系数矩阵,实际计算时,B=[I 0]

E(?)?0，???E(??T)E(Y)?0，?Y?E(YYT)?L?B?YBT????? （3-11） 式中∑表示方差。

估值公式： V ? A X ? B Y ? L （3-12）

?? V T P V ? Y （3-13） PY ? MIN构造拉格朗日极值函数:

?T?Y ??VTPV?YPY?2KT(AX?BY?L?V)（3-14）

?Y???将(3-14), (3-15), (3-16)式结合(3-13)式得:

???TT?2VP?2K?P??1K令 有：V （3-15） ??V ????T?1T?2YP?2KBY??PBY ? Y 有： K （3-16） Y

???X??2KTA?0?1T X ? T P A P L L （3-17） ( AA)L Y ? P

V ? ? P

24

?1 ? L

??1T Y L

BP( L ? A X ) （3-18）

P( L ? A X ) （3-19）

??22?122?1T顾及 D ? ? ?0Q??0P;DY??0QYY??0PY;DL?BDYB?D?

可以得出计算X,Y平差差值的实用公式:

T?1?1TT?1 [ A T ( BD L （3-20） X ?B?D)A]A(BDB?D)Y?Y?? （3-21） Y?DYB(BDYB?D?)(L?AX)

2、协方差函数的确定

由(3-17)，(3-18)式可以看出，求解X，Y的关键是确定Dy。严格来说，协方差阵各元素应该通过大量观测数据经统计得出。介于实际条件的限制，这不可能实现。通常采用满足协方差函数条件的，形式较为简单的对称、正定、调和函数即经验协方差函数来代替。

常用经验协方差函数有（式中C表示协方差，它只与数据点之间的距离d有关，C0表示信号方差，C ?s2n?0ii?11)高斯函数 22)希尔方纳协方差函数

n?TT?1??kdC（d）?Ce0 式中k为待定参数

C（d）?C0(1?Bd)式中B为待定参数 3)空间调和函数

1: C(d)?C0b（（Z?b）?d）?22?2232?3222 2: C(d)?C0b（Z??b）（（Z??b）?d2）式中b为待定参数，根据Moritz介绍，Z=Hi+Hj,Hi，Hj为数

据点的海拔高，但是考虑到d=0时有C(O)=C0，而Z=Hi+Hj是不能满足这个条件的，所以我们令Z = ︱Hi -Hj︱，这样的改变，并不影响函数的对称、正定和调和性，所以该函数可以做协方差函数。

4) 式中k为待定系数 C（d）?C（01?kd）e具体计算时，d即为GPS水准点之间的距离，信号Si即为系统性部分（函数模型）的计算残差。

?kd 25

3.3.2半参数模型法

GPS水准法建立的模型分为参数模型和非参数模型。参数模型对回归函数提供了大量的额外信息，因而当假设模型成立时，其推断具有较高精度，但当参数假定与实际背离时，基于假设模型所作的推断就会很差。非参数模型理论上具有较大的适应性，但从实际应用来说，尚有很多局限性。理论上而言高程异常曲面可以用有限个连续函数的线性组合以任意精度逼近，但由于高程异常曲面的复杂性和函数模型的局限性，实践中往往难以实现，因此可以把影响高程异常ξ的因素分为两个部分，即A1，A2……An及S1，S2，……Sn，其中A1，A2……An是主要的，ξ可由A1，A2……An线性表达，而S1，S2，……Sn是某种干扰因素，它同ξ的关系是完全未知的，从而可采用半参数模型来处理高程异常曲面拟合问题。

半参数模型的处理方法通常有参数化估计法，两步估计法，两段估计法，补偿最小二乘估计法等。

3.4顾及重力场模型和地形起伏的移去拟合恢复法 3.4.1移去拟合恢复法的思想和计算步骤

根据物理大地测量学的理论,高程异常ξ包含三个分量

式中,ξGM为通过重力场模型计算出的长波分量,托克斯积分公式得到的地面重力异常中波分量,大地水准面的影响值。

在局部平坦地区，利用GPS水准数据采用数值拟合方法是合理的，主要是因为平坦地区的地形起伏很小，高程异常的变化缓慢且均匀，其与平面坐标显著相关。在丘陵和山区，由于地形起伏很大，高程异常与平面坐标不再显著相关，采用单纯的几何拟合法精度就会很差。因此有学者提出了“移去-拟合-恢复”算法。

具体步骤如下

1、移去：设有m个GPS水堆重合点，其高程异常为? (k=l，m)，则在这m个点上利用重力场模型计算?k ，利用地形改正

GM

26

???GM???g??T (3-22)

ξ

ξΔg为用斯

T

为地形改正对

k

?T ，求解?? 。 公式计算与 的差值? ?GMkkkkk??2、拟合：以此m个点的 作为起算数据，构建数学模型进行

拟合，从而求解出未知点上。

w?3、恢复：在未知点上利用重力场模型或地形改正公式计算出 GM

w??，再加上 ，便得到未知点上高程异常值。

3.4.2重力场模型值的计算方法

根据给定的重力场模型位系数，便可以用下式计算出任意地面点的高程异常值。

GM?（?，?）?GM?r

Nmaxn?2（）?（C??m?0Rnnnmcosm??Snmsinm?）Pnm（cos?）（3-23）

系数； P为完全规格化的Legemke函数；φ、λ为计算点的地心纬度、经度；GM为引力常数与地球质量的乘积；γ为计算点的正常重力值；ρ为计算点的地心向径；Nmax一为地球重力场模型展开的最高阶数。

3.4.3地形改正影响的计算方法

计算某地面点(xi,yi)的地形改正公式为:

? z i ， j） ? ? h xy ? （ x ， y ， z ）（ h ij ） dxdydz （3-24） c（G3??hijr（xi?x，yi?y，zi?z）E 式中，G为地球引力常数；ρ (x，y，z）是流动点的地壳密度；hij为地面点(xi，Yi)的高程；E代表积分区域；

nm式中，R为参考椭球的长半径；C Snm为完全规格化的位nm，r（x，y，z）?x2?y2?z2 实际计算中，DTM通常以规则格网数据表示，并假定每个格网内的地形用一个质量均匀分布而高程不变的棱柱体代替，下面给出用质量棱柱地形模型表示的地形改正公式

27

N?1M?1xy c(i,j)?G???[xln(y?r(x,y,z)?yln(x?r(x,y,z))?z?arctan)]zr(x,y,z)n?0m?0

0xi?（x??x2）x?(x??x2)nin?

xi?(xn??x2)xi?(xn??x2)h?hijnm

（3-25）

地形改正可利用二维FFT计算。对（3-25）式作级数展开，并写成统一的谱表达式为：

c (i,j)??c0(i,j)?cl(i,j)?c2(i,j)?c3(i,j)?....将地形改正应用于Stokes公式便可计算出地形对大地水准面的直接影响，采用Helmert凝聚改正法可以计算出地形对大地水准面的间接影响。由此可以导出地形对大地水准面的总影响，仪顾及高程平方项的影响有:

28

2?G?2? P , ? ? N ( ? h p （3-26） P ) ?r

第四章 以CQG2000的城市区域似大地水准面精化

4.1 关于CQG2000似大地水准面

我国新一代似大地水准面CQG2000采用了国内外最新的重力场资料、地形资料和卫星 测高资料，其精度总体达到了分米级水平(± 0.3-0.6m)，在中东部地区其精度优于0.3m。其陆地区域的分辨率为5′×5′，海域分辨率为15′×15′。 CQG2000中陆地似大地水准面部分的许算主要分为两个步骤：

1、重力似大地水准面的计算。该计算采用了国际上广泛使用的移去恢复法，收集了三类重力数据共430092个，使用了三种地形资料，其中陆地区域的DTM资料是我国百万分之一比例尺地形数据库，其分辨率为18.75″×28.125″。以5′×5′格网平均Faye重力异常作为边值数据，利用Molodensky级数一阶卷积公式计算高程异常。

2、重力似大地水准面与GPS似大地水准面的拟合校正相结合。以HACN90 GPS水准网点的高程异常值作为似大地水准面的控制，将重力似大地水准面“挂到”GPS水准似大地水准面上，拟合函数采用四次多项式，采用将全国按北纬60度和东经108度为界划为四个区的分区拟合方案，实际拟合的GPS水准点共671个。 4.2 以CQG2000的区域似大地水准面精化

4.2.1 COG2000似大地水准面的特点和问题

CQG2000的成功研制使我国的大地水准面精度和分辨率都达到了一个新的高度。它完整覆盖我国国土，可以直接应用于测绘生产。由于我国东西部重力测量分辨率和地形图比例尺不一致，CQG2000的精度并不均匀，在中东部地区，其精度优于3分米，在西部地区，其整体精度在6分米左右，新疆和西藏的一些重力空白区和无图区，精度仍在米级。CQG2000模型基本上可以满足西部地区中、小比例尺（小于1：1万）航测测图的需求，对1：1万比例尺测图，一般地区要求地面高程有± 0.3m的精度，则

29

CQG2000模型在该地区大致还要提高± 0.lm～± 0.2m的精度；对于中、东部地区，特别是沿海经济发达地区，大比例尺(如1：5000～1：500)测图更新的需求量呈快速增长的趋势。对此，CQG2000模型的分辨率和精度都不能满足要求，因此，如何充分有效的利用现有CQG2000的研究成果，提高其实用价值，是目前一个迫切需要解决的问题。

4.2.2 以CQG2000的区域似大地水准面精化的基本思路

由于CQG2000的计算采用了先进的重力场模型和重力数据及地形数据，虽然其精度比较低，但是具有较高的分辨率，其成果能够反映我国区域大地水准面起伏的整体趋势和局部重力场的物理性质。CQG2000的误差总体上可分为两个部分：确定重力（似）大地水准面的观测数据随机误差、长波系统差、短波误差等和重力（似）大地水准面与GPS水准<似）大地水准面的拟合误差。GPS水准数据具有离散但高精度的特点，小范围地形平坦地区可通过加密若干GPS水准点，将由其求出的高程异常作为真值，并依此求出CQG2000的残差，然后构建合适的数学模型对其进行拟合，来校正CQG2000，达到改善和提高其精度的目的。较大范围的山区，则需考虑同时加密GPS水准点和加密重力测量，采用精化局部重力场的方法实现。 4.3 常用插值方法介绍

在基于CQG2000的似大地水准面精化过程中，很多计算都要用到数据插值，故在此将插值方法作简要介绍。

目前常用的插值方法有线性插值，邻近点插值，多项式插值，三次样条插值，Shepard插值等。

4.3.1 线性插值、二次多项式插值、邻近点插值

线性插值和二次多项式插值即是根据已知数据（高程异常）和已知数据点的坐标构建线性模型和二次多项式模型，并通过最小二乘估计计算出模型的待定系数，再根据此模型计算内插点的高程异常。

采用邻近点插值法时，首先对给定的用于插值计算已知点

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通过计算比较选定距离待插值点较近的m个已知点，然后采用加权平均法计算待定点的值。 4.3.2 Shepard插值原理

Shepard内插法是以计算点为中心，取拟合半径R以内已知函数值的权中数，数据点上的权按距离计算点的不同范围采用不同的权函数式，使靠近中心点的权增大，远离中心的权迅速减少。在Shepard局部内插模型中，选R=0．25°，并规定：

R?10?r? ?r3? R?27r2? 1 ? ( r ) ? ? ( ) ? r ? R (4-1)

4rR3? r?R?0 ??

内插的函数模型为:

??i??（ri）?? i?1??n F （ x ， y ） ? ? 2 （4-2） ?j????（r）i?? i?1? ? ? 当ri=0 时

i? 式中： ri ? 2 当ri≠0时

n?（x?xi）?（y?yi）?2122?利用(5-2)式便可计算待定点高程异常值。

4.4 以COG2000的移去，恢复法确定未知点高程异常 4.4.1理论与实施步骤

目前计算区域重力似大地水准面广泛采用的移去恢复法，主要是利用重力场的可叠加性原理，分别处理不同波长成分的贡献，再经过简单的叠加恢复所逼近的局部重力场。本文借鉴了此方法的原理，将体现了局部(似)大地水准面物理性质的CQG2000

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作为平台，求解GPS水准点上高程异常观测值与CQG2000在该点的计算值之残差，并构建数学模型进行拟合，然后利用该模型计算待定点的同类残差，再与CQG2000在该点的计算值叠加，获得待定点高程异常。

其具体计算步骤介绍如下：

1)、移去(Remove)：使用Shepard插值方法利用CQG2000格网数据插值GPS水准点高程异常值，计为ξg，计算GPS水准点高程异常观测值ξ与ξg的差值Lc，即Lc=ξ－ξg。

2)、计算(Computing)：将Lc作为观测值，构建数学模型对其进行拟合，即：Lc=AX+S+Δ，(A为系数矩阵，由数据点的坐标求得，X为待定参数，S为随机信号，Δ为残差。当A≠0，S=0时，即为函数模型，当A=0，S≠0时即为随机模型，当A≠0，S≠0时，即为最小二乘配置模型)采用最小二乘估计计算出X的最或然值︱X︱，S的最或然值︱S︱。并运用上述模型计算未知点对应的模型值Ld。

3)、恢复(Restore)：利用CQG2000格网数据插值计算未知点的高程异常值ξw，将2)中计算的未知点模型值Ld加上ξw，便得到未知点高程异常的最终值。 4.4.2 计算实验

试验区域位于纬度26°-28°，经度114°-116°之间，总面积约4万km2，该区域最高海拔2108m，最低海拔16m，平均海拔270m，该区域内共布设有113个GPS水准点（经粗差探测，均不含有粗差），高程异常值最小值-11.8404m，最大值-1.9909m，平均值-7.0734m。5'×5'的CQG2000似大地水准面成果在该区域的整体精度为3分米。

采用4.4.1中介绍的方法，分两种方案进行试验计算。 方案一 均匀选用25个GPS水准点作为检查点，其余88个点作为已知点，按照4.4.1中介绍的步骤进行计算，下表给出了对于GPS水准点上的高程异常观测值与CQG2000在该点的计算值的

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残差构建不同模型进行逼近所获得的结果。

表4-1基于CQG2000移去恢复法与直接拟合（113点）结果比表 Tab. 4-1 based on CQG2000 to remove the recovery act and the direct

fitting (113 points) results than table

精度比较

直接拟合计算

基于CQG2000移去恢复

拟合方法 加权平均 二次多项 双线形 三次多项式 多面函数 拟合推估 最小二乘配置

内精度 0.1255 0.1509 0.1175 0.045 0.0641 0.0345

外精度 0.4791 0.1194 0.1325 0.1064 0.0676 0.949 0.0619

内精度

0.0897 0.1163 0.085 0.0504 0.0622 0.0459

外精度 0.0699 0.0897 0.1125 0.088 0.064 0.0827 0.0539

方案二 均匀选用15个GPS水准点作为检查点，25个GPS水准点作为已知点，按照4.4.1中介绍的步骤进行计算，下表给出了对于GPS水准点上的高程异常观测值与CQG2000在该点的计算值的残差构建不同模型进行逼近所获得的结果。

表4-2基于CQG2000移去恢复法与直接拟合（40点）结果比表 Tab. 4-2 based on CQG2000 to remove the recovery act and the direct

fitting (40 points) results than table

拟合方法 平面拟合 二次曲面 拟合推估 多面函数 加权平均 最小二乘配置

精度比较

直接拟合计算 内精度 0.1463 0.1334 0.085 0.064 0.0288

外精度 0.1733 0.1516 0.1416 0.1155 0.6709 0.1148

移去CQG2000拟合 内精度 0.1223 0.1038 0.0785 0.0941 0.0791

外精度 0.0884 0.0994 0.0985 0.0951 0.0856 0.0975

从上面两个表的统计结果可以看出，利用基于CQG2000的移去恢复法求解未知点的高程异常，无论使用哪种拟合模型，其结

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果都要比采用GPS水准数据进行直接拟合的结果要好。这是因为CQG2000采用了国内外最新的重力场资料、地形资料和卫星测高资料，其精度虽差，但分辨率较高，且其具有物理意义，不但反映了大地水准面的几何起伏特征，而且体现了局部重力场的物理性质，这是单纯的GPS水准数据所不能包含的，但是由GPS水准数据得来的高程异常，具有高精度的特性，结合二者优点，来用移去恢复法求解未知点高程异常的设想，经实例计算，达到了满意的结果。

4.5利用GPS水准数据精化COG2000

新一代似大地水准面CQG2000虽然在分辨率和精度上都有很大提高，但随着我国经济建设和测绘科学的发展，其仍不能满足很多生产方面的需要，尤其是在中东部及沿海地区，经济高速发展的同时，对大地水准面的精度要求也不断提高。如何充分有效的利用现有CQG2000研究成果，更经济更方便的提高区域似大地水准面的精度，是一个迫切需要解决的问题。 4.5.1思路和步骤

CQG2000具有高分辨率但低精度的特点，而GPS水准数据具有低分辨率高精度特性，因此可有效结合二者特点，通过加密若干GPS水准点的方法，提高区域似大地水准面的精度。

方法步骤：

1)基于CQG2000的格网高程异常值，采用插值方法计算GPS水准点上的高程异常值，记为ξc。

2)计算ξc与GPS水准点上的观测值ξ之差值L，即L=ξ－ξc。 3)将L作为观测值，GPS水准点的坐标值作为变量，构建相关性模型L=AX，其中A为已知矩阵，由GPS水准点的坐标值求得，X为待定参数向量，可利用最小二乘法求解X。

4)利用构建的误差与坐标相关性模型计算CQG2000格网点的改正数V。

5)精化后的CQG2000格网值即为原CQG2000格网值加上4)

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步中计算出的改正数V。 4.5.2 计算试验

为验证4.5.1中所提出的精化方法的正确性和适用性，并研究GPS水准点的数量对提高区域似大地水准面精度的影响。在某区域按四种方案进行了计算研究。该区域面积近似为42788km2，共有113个GPS水准点（经粗差探测，均不含有粗差），且有5'×5' CQG2000格网高程异常成果。

计算中首先要用利用CQG2000格网值插值GPS水准点处的高程异常值，并与GPS水准点的高程异常观测值作差，以求出CQG2000的误差，为下面的计算做准备，因此插值计算这一步非常关键，本文在计算时共选用了常见的5种插值方法进行插值比较，结果如下表(113个GPS水准点全部使用)：

表4-3备种插值方法的计算比较

Tabl. 4-3 BeiZhong interpolation method of the calculation of the

comparison

方法 双线性插值 三次样条插值 邻近点插值 二次多项式插值 shepard插值

中误差 0.2768 0.2759 0.2935 0.3766 0.2779

精 度 最大值 0.5677 0.5787 0.6817 0.8328 0.5706

最小值 0.0113 0.0056 0.0068 0.0095 0.0098

平均值 0.2461 0.2445 0.244 0.3 0.0249

为了能直观的表示出CQG2000所能达到的展高精度和最低精度，上表中，最大值，最小值是GPS水准点高程异常减去由CQG2000格网值拟合得出的高程异常的差值的绝对值得最大最小值。

由上面的数据可以看出，CQG2000所确定的似大地水准面在本文研究的绝大部分区域比实际高，且精度不均匀，好的地方可以达到厘米级，差的地方却有5、6个分米。其整体精度在3个分

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