专题03 矩形综合 2021年九年级中考数学复习专题突破(几何)(全国通用)(解答专项三)

2021年中考数学复习专题突破（几何）（解答专项）

专题03 矩形综合

1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别在边DA和边BC的延长线上，连接BE，DF，且满足∠E＝∠F．

（1）求证：四边形EDFB为平行四边形；

（2）若EB＝ED＝5，sin E＝，求平行四边形EDFB的面积．

2．如图，在矩形ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．

（1）求证：四边形BFDE是菱形；

（2）若AE＝OF，BF＝2，连接OC，求OC的长．

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3．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA，PB，PC．若满足PA2＝PB2+PC2，则称点P为△ABC关于点A的勾股点．如图2，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，连接DE．

（1）求证：CE＝CD．

（2）若AB＝5，BC＝6，DA＝DE，求AE的长．

4．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为O，∠BAC＝60°，BD＝4，求AB 和矩形ABCD的面积．

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5．在矩形ABCD 中，点E ，点F 分别为边BC ，DA 延长线上的点，且CE ＝AF ，连接AE ，DE ，BF ．

（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；

（2）若AF ＝1，AB ＝2，AD ＝，求证：AE 平分∠DEB ．

6．如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥AC ，CE ∥DB ．试判断四边形OBEC 的形状并说明理由．

7．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，直线EF 经过点O ，并且与AB 交于点E

，

与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是．（直接写出答案即可）

8．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．求证：四边形ABCD是矩形．

9．如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点O．（1）求证：△BEO≌△CDO；

（2）连接BD，CE，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

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10．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；

（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；

②当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．

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参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴AD＝BC，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠DCF＝90°，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE＝DF，AE＝CF，

∴AD+AE＝BC+CF，

即DE＝BF，

∴四边形EDFB为平行四边形；

（2）解：∵sin E＝＝，BE＝5，

∴AB＝BE＝，

∵ED＝EB＝5，AB⊥DE，

∴平行四边形EDFB的面积＝ED×AB＝5×＝．

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2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵EF垂直平分BD，

∴BO＝DO，

在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF（ASA），

∴EO＝FO，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形EBFD是菱形；

（2）解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ABC＝90°，

由（1）得：四边形BFDE是菱形；

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∴EO＝FO，∠EBO＝∠FBO，

∵AE＝OF，

∴AE＝EO，

∵AE⊥AB，EO⊥BO，

∴∠ABE＝∠OBE，

∴∠ABE＝∠OBE＝∠FBO＝＝30°，

在Rt△FBO中，BF＝2，

∴，

∴，

∵在Rt△BCD中，OC是斜边BD上的中线，

∴．

3．证明：（1）∵点C是△ABE关于点A的勾股点，∴CA2＝CB2+CE2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AB＝CD，

∴CA2＝AB2+CB2＝CB2+CD2，

∴CE＝CD；

（2）作△ECD的高线CF，EG和△AED的高线EH，

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∵CE＝CD＝AB＝5，DE＝6，

∴EF＝ED＝3，

∴

∵，

∴，

∴，

由勾股定理可得：，

解得：AE＝．

4．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，，∠BAD＝90°，∵∠BAC＝60°，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB＝BO＝2，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：．

∴矩形ABCD面积＝；

答：AB＝2，矩形ABCD的面积＝．

5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵CE＝AF，

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∴DF＝BE，DF∥BE，

∴四边形BEDF为平行四边形；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴∠FAB＝90°，

∵AF＝1，AB＝2，

∴由勾股定理得：BF＝＝＝，∵四边形BEDF为平行四边形，

∴DF∥BE，DE＝BF＝，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AD＝，

∴DE＝AD，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴∠AEB＝∠DEA，

即AE平分∠DEB．

6．解：四边形OBEC是菱形，

证明：∵矩形对角线相等且互相平分，

∴OB＝OC，

∵BE∥AC，CE∥DB，

∴四边形OBEC为平行四边形，

∴四边形OBEC是菱形．

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7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，DC＝AB，

∴∠OAE＝∠OCF，

∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE＝CF，

∴BE＝DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB，

∴∠BFE＝∠BEF，

∴BE＝BF，

∴四边形DEBF是菱形．

（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，

在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x，∴x2＝42+（8﹣x）2，

∴x＝5，

∴DF＝5，CF＝3，

∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，

∴四边形BCFH是矩形，

∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4，

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∵BF＝DF＝5，

∴EH＝2，

∴EF＝＝＝2，

故答案为．

8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，

∵CE∥BD，

∴四边形BCED是平行四边形，

∴CE＝BD，

∵CE＝AC，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形．

9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，AB＝CD．

∵AB＝BE

∴BE＝CD．

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∵AB∥CD，

∴∠BEO＝∠CDO，∠EBO＝∠DCO，

∵在△BEO与△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（ASA）；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD，∠A＝∠DCB．

∴BE＝CD．

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠A＝∠DCB，∠BOD＝2∠A，

∴∠BOD＝2∠DCB，

∴∠DCO＝∠ODC，

∴DO＝CO，

又∵BO＝CO，EO＝DO，

∴DE＝BC，

∴四边形BECD是矩形．

10．（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF＝BC．

∵H、I分别是BG、CG的中点．，

∴HI是△BCG的中位线，

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∴HI∥BC且HI＝BC，

∴EF∥HI且EF＝HI．

∴四边形EFHI是平行四边形．

（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，

∴FH∥AG，FH＝AG，

∴FH∥AD，

∵EF∥BC，AD⊥BC，

∴EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

∵四边形EFHI是平行四边形，

∴四边形EFHI是矩形；

故答案为：AD⊥BC；

②当AD与BC满足条件BC＝AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：

∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，

∴AG＝AD，

∵BC＝AD，

∴AG＝BC，

∵FH＝AG，EF＝BC，

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∴FH＝EF，

又∵四边形EFHI是平行四边形，

∴四边形EFHI是菱形；

故答案为：BC＝AD．

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