选修22《类比推理》教学设计

选修2-2《类比推理》教学设计

一、教材分析长久以来，在中小学数学中，不论是教材的呈现方式还是教学的示范与演练，都是以演绎推理和严格的证明为主，归纳推理和类比推理很难觅其踪影。这种状况持续到20XX年才有所改观，在20XX年颁布的《全日制义务教育数学课程标准》在初中阶段对合情推理的能力培养提出了一定层次的要求，20XX年颁布的《普通高中数学课程标准》选修1-2 和选修2-2 “推理与证明”中明确指出：在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有助于创新思维的培养。实际上，在整个高中教材中有很多章节已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识，比如必修2 阅读部分增加了“平面几何与立体几何的类比” ，必修五中“等差与等比数列的类比”等等。本节选自选修2-2 推理与证明中的合情推理，教材将类比推理作为合情推理的一个重要内容，是整个高中阶段对类比推理的高度概括与总结，也是将这种培养学生思维能力的方法从幕后走向台前，是点晴之笔。让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳的科学，数学不只是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步向高等数学学习作准备。

二、学生分析类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。三、教学目标定位

（一）知识与技能：1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去；

2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。

（二）过程与方法：本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法—类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，因此以学案辅助教学，以问题组的形式展开，采用以学生活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围

（三）情感态度与价值观：

1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

?教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。?教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。

四、教学过程

1.问题情境

问题1: 大家知道锯子是谁发明的吗?是怎么发明的?

学生活动: 春秋时代鲁国的公输班也就是鲁班发明的, 是他受到路边的齿形草能割破行人腿的启发.

问题2: 大家能谈谈他受到了什么样的启发?也就是齿形草和锯子之间有什么相似之处?

学生活动: 齿形草能割破行人的腿, 做一个形状上相似的工具就能锯开木头,它们在形状上相似, 在功能上也相似.

问题3: 这个推理过程是归纳推理吗？如果不是, 那是什么推理方式呢?

教师提出类比的思想:聪明的公输班在这里所使用的方法称为类比, 这种仿照生物机制的类比,到了近代,便发展成了一门新兴学科,即所谓近代仿生学,同学们能不能举一些仿照生物机制类比的发明创造呢? 学生活动:飞机与蜻蜓在形状上相似,雷达与蝙蝠,潜水艇仿照鱼类等等。

说明这种类比思想对我们生活中的发明创造很有帮助, 那在我们数学知识的学习过程中有没有类比呢? 设计意图：让学生了解类比在生活中的重要作用，体会人类的这种重要的逻辑思维方式，明白类比的重要意义。同时引发学生到数学的领域中去了解类比的思想。

2.新课引入

德国著名数学家、天文学家开普勒曾说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。那我们今天就用以前学过的知识和方法来进入类比的海洋吧，首先请大家回忆回忆我们高中所学过的知识，哪些知识板块可以放在一起进行类比呢？

学生活动：等式与不等式，平面上的圆与空间中的球，等差与等比数列，平面

几何与立体几何，椭圆与双曲线，空间向量与平面向量等等。

大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识，那我们就选几个 板块展开来看看，它们为什么可以进行类比，具体怎样类比？

例 1 ：试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

等式 1）加法法则 ： a=b a ＋c=b ＋ c 猜 想

2）减法法： a=b a －c=b － 猜 想

3）乘法法则 ： a=b ac=bc

猜想 4）除法法： a=b a ÷c=b ÷ c ( c ≠猜想5）平方法： a=b a 2=b 2

猜想 教师以问题组的形式让学生自然的建构概猜念想。

问题 1：等式与不等式之间为什么可以进行类比呢，它们在什么方面是相似 的？

教师启发：通过“ 3=3”和“3> 4”描述的是什么关系来启发学生发现等式与不 等式

都是衡量数的大小关系，所以它们有不少的相似性质。

问题 2：如何展开类比的？ 学生活动：只需要在形式上作模仿就可以。 问题 3：大家通过已知等式的运算律猜想了不等式的运算律，得到了新知， 那这些结论是否一定正确呢，说明什么？ 学生活动：说明用类比的方式得来的结论不一定正确，需要通过严格的证明来 确认。 设计意图：以问题组的形式展开教学，以自然的方式帮助学生建构概念，让学 生的思维一直处于思考的状态中。另外初次运用类比推理，对类比方式不做进 一步的深入研究，只需了解要进行类比，必须建立在两者必须有相似之处，并 且用我们所学过的知识来验证类比的结论不一定正确。

例 2 、试将平面上的圆与空间的球进行类比 .

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 .

球的定义：空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合 .

圆球

弦 截面圆

直径 大圆

周长 表面积 圆面积 球体积

猜想不等式的性质： 不等式

在教学的过程中，模仿例一的方式，展开问题组。

问题1：平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢，它们在什么方面是相似的？

学生活动：它们的定义是相似的：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 它们的形状也是相似的，一个是二维的，平面的，一个是三维的，立体的。

问题2：如何展开类比的？学生活动：根据前面的圆中弦，直径，周长，面积类比球中的截面圆，大圆，表面积，体积，只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以。点对应线，线对应面也要注意。它们属于叙述方式上的类比。问题3：类比的前提是什么？它的一般步骤是什么？学生交流，由教师总结。设计意图：进一步认识类比的前提，能够从叙述方式或数学结构等外层表象进行类比，领略类比的过程，体会可以用类比的方式得到数学新知。

3.概念建构提出类比推理的概念由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理和归纳推理都是合情推理的一种。类比推理的一般步骤：

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想。即观察，比较联想，类推猜测新的结论

例2 拓展：试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R ”，猜测关于球的相应命题。

设计意图：本题从既有从叙述方式上的类比，又有思维过程的类比，主要难度

落在那个正方体的体积的最大值是多少R3上。

例3 ：试找出等差与等比数列的类比知识。

以学生活动为主，合作交流将全班的同学分为两组，第一组的同学提出等差数列的性质，第二组的同学类比等比数列的性质，第一组的同学再做出判断类比的方式是否正确。

可以有如下方面的类比：（1）定义：a n＋1－a n=d ；

（2）通项公式：a n=a1＋（n－1）d ；

a n=a m＋（n－m）d ；

a n＋a n＋2

（3）等差中项：a n＋1= 2；

（4）若m＋n=p＋q，且m、n、p、q∈N*，则a m＋a n=a p＋a q ；设计意图：等差与等比是学生比较熟悉的可以进行类比的知识，所以直接交给学生，由学生发挥，让他们体会类比推理的过程和获得新知的得到过程，以最大的热情投入到课堂中来。

拓展：在等差数列 a n 中，若 a10 0 ，则有等式 a1 a2 a n a1 a2 a19 n（n 19,n N ）成立，类比上述性质，相应

地：在等比数列 b n 中，若 b9 1 ，则有等式成立.

分析本题考查等差数列与等比数列的类比. 一种较本质的认识是：等差数列用减法定义性质用加法表述：

若 m,n, p,q N* ,且m n p q,则a m a n a p a q；

等比数列用除法定义性质用乘法表述

若 m,n, p,q N* ,且m n p q, 则 a m a n a p a q.

由此，猜测本题的答案为： b1b2 b n b1b2 b17 n (n 17,n N* ).

事实上对等差数列 a

则

n ，如果a k 0 ，

a k 0.

a n 1 a2k 1 n a n 2 a2k 2 n a k

所以有：a1 a2 a n a1 a2 a n (a n 1 a n 2 a2k 2 n a2k 1 n ) ( n 2k 1,n N *）. 从而类比对等比数列 b n ，如果 b k 1 ，

则有等b1b2 b n b1b2 b2k 1 n (n 2k 1,n N*) 成立.

设计意图：对于理科班，我们可以适当的增加类比的难度，况且近几年的高考题中，多次出现了以类比的形式的新题型，加强了能力的考查，不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联。

4.课堂小结:

类比是一个伟大的引路人, 求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题. ————数学家波利亚从类比的概念，类比的步骤，类比x的方式三个部分总结。

e x1

5.作业布置：思考题⑴求 y e x 1的值域。（提示：请大家根据这个表达式的形式联想我们解析几何中的公式，e是否1可以进行类比。）

⑵设h a、h b、h C是三角形ABC三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到三边的距离分别为p a、p b、p c，我们有结论p＋p＋p=1。

h a h b h c

拓展到空间中，类比可以得到结论：

以及书本P67（2，3）。

五、板书设计

六、教学设计说明

1．《类比推理》是我们新课程中增加的内容，它旨在让学生了解这种思维方式，对于类比的方式，以及如何能够通过观察，找到相似之处，是渗透到我们平时

的章节中，并不能在本课充分展开，要注意一个度。但如果仅仅都是叙述方式和形式上的浅层次的类比，对理科班的学生来说，是没有什么难度的，也要兼顾到层次比较高的类比，这就是为什么设计了两个拓展题的原因。

2．例1、例2 的设计主要是以问题组的方式展开，以学生活动为主，教师启发为辅的过程，而例3 则都是学生的活动，也就是当我们交给了他们一定的方法之后，由学生自己实战练习，目的是以不着痕迹的方式，帮助学生建构概念，运用知识，期望学生最大限度的参与到课堂的过程中来3．用一些生活的例子，用科学家们的激励人心的话语激发学生对学习数学的兴趣，达到培养学生学数学，用数学，建立完整的数学观的目的。

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