五年经典推荐 全程方略高三数学 专项精析精炼 2012年考点7 指数

考点7 指数函数、对数函数、幂函数

一、选择题

1.（2012·湖南高考理科·Ｔ8）已知两条直线l1：y=m 和 l2：y=82m?1 (m＞0)，l1与函

数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2 与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，(A)162 (B) 8【解题指南】将

b的最小值为（ ） a2 (C)834 (D)434 b用m表示，利用基本不等式求最小值。 ax,y,Bx,y,Cx,y,Bx,y()()()()【解析】选B.设A，D(xy),由题意知 4，41122334411xx=1,x=;xx=1,x=;121343xx24m又因为

8812m+1 logx=m,x=2;logx=,x=2.2222442?m21m+1-xx-xbx22141m++-=4=4=xx24812211= m+ax1-x3m2m+12-2?22…xx2424-12=82,当且仅当m+143=,即m=时，取最小值82. 2m+1221xe上，点 Q在曲线y=ln(2x)22.（2012·新课标全国高考理科·T12）设点P在曲线y= 上，则|PQ|的最小值为（ ）

(A)1-ln2 (B) 2?1?ln2? (C)1+ln2 (D)2?1?ln2?

1xe与y?ln?2x?互为反函数，图象关于直线y?x对称，两曲线21x上点之间的最小距离就是y?x与y?e最小距离的2倍，利用导数的几何意义求解.

21x【解析】选B.由题意知函数y?e与y?ln?2x?互为反函数，其图象关于直线y?x对

2【解题指南】注意到y?称，两曲线上点之间的最小距离就是y?x与y?1x1e最小距离的2倍，设y?ex上点22 1

?x0,y0?处的切线与y?x平行，有2ex距离就是y?x与y?10?1，x0?ln2,y0?1，?两曲线上点之间的最小

1xe的最小距离是22?1?ln2?，?所求距离为22??1?ln?22?2?2?1?. ln21

3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0

2（A）(0，22

) （B）(，1) （C）(1，2) （D）(2，2) 22

2

x1y?4【解题指南】考虑数形结合，先画出图形，4x

图象在

y?logax图象的下方，找出临界情况，探索出a的取值范围.

10?x?ogl2，【解析】选B.由且

ax4?0?，

可得0?a?1，由4?logax，则说明当

xx4?ogl12a12a?2可得2.

令

f?x??4,g?x??logaxx0?x?，若

12时，f?x?的图象恒在

?2?2,1??a??2?g?x???. a2图象的下方（如图所示），此时需.综上可得的取值范围是

4.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（（A）

ogl92）·（ogl43）=（ ）

11 （B） （C）2 （D）4 42【解题指南】先利用换底公式将各个对数化为同底的对数，再根据对数的运算性质求值.

【解析】选D.

log29?log34?lg9lg42lg32lg2????4lg2lg3lg2lg3.

5.（2012·天津高考文科·Ｔ6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的

2

为（ ）

（B）y=log2|x|，（A）y=cos2x， x?R x?R且x?0

ex?e?x（C）y=， x?R x?R （D）y=x3+1，2【解题指南】理解偶函数、增函数的概念并熟悉函数y=log2|x|， x?R且x?0 的图象和性质是关键.

【解析】选B.y=log2x(x>0)是增函数，又y=log2|x|， x?R且x?0的图象关于y轴对称，故是偶函数. 二、填空题

6.（2012·北京高考文科·Ｔ12）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a）+f（b）=___________.

【解题指南】利用对数的运算法则化简整理即可. 【

解

析

】

2

2

f(ab)?lg（ab）?1,?ab?10，

f(a2)?f(b2)?lga2?lgb2?lg（a2b2)?lg100?2.

【答案】2

7.（2012·江苏高考·Ｔ5）函数

f(x)?1?2log6x的定义域为 .

【解题指南】解不等式首先要考虑使不等式两边式子有意义，别忘记对数中真数大于零. 【解析】∵1?2log6x?0,?log6x?【答案】(0,6]

8.（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数f(x)?ax(a?0,a?1)在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)?(1?4m)x在[0,??)上是增函数，则a＝ . 【解题指南】本题考查关键是分a?1和0?a?1两种情况讨论，再代入到函数

1,?0?x?6，故定义域为(0,6]. 2g(x)?(1?4m)x内检验是否为增函数.

【解析】当a?1时，有a2?4,a?1?m，此时a?2,m?1，此时g(x)??x为减函数，不合211题意.若0?a?1，则a?1?4,a2?m，故a?,m?，检验知符合题意.

416 3

【答案】

1 4三、解答题

x)?lg(x?1)9.（2012·上海高考理科·T20）已知函数f(． ?f(1?2x)?f(x)?1（1）若0，求x的取值范围；

(x)?f(x)，(x)（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0时，有g求函数y?g?x?1[1,2]）的反函数. （x?【解题指南】本题以对数函数为载体，着重考查不等式的解法、函数的奇偶性、函数的反函数等相关知识.

?2?2x?0,2?2x?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg?1【解析】（1）由?得?.由01?x?1x?1得,?x?1?0?2x?x?11?2?10.因为x，所以x，?2?1?0?1?2?2x?10x?1033. x?1??1?x?1，?x?1 由?2得?233. 1，??x?3?3（2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此

y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x). ?[0,lg2]由单调性可得y.

y?[0,lg2]3?10因为x?，所以所求反函数是y?3?10，x.

x

4

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