关于几种特殊矩阵方程解的存在性及其解法探讨

关于几种特殊矩阵方程解的存在性及其解法探讨

【摘要】：本文通过一般线性矩阵方程的研究引出特殊矩阵方程??????C解的存在性及其解法的研究。利

用矩阵方程的运算性质将矩阵方程??????C的求解转化为方程Gx的?vec(C)，其中G??(?Ti??i)i?1p求解，再将其转化为等价的线性方程组((?n??)?(?T??m))vec(?)?vec(C)，通过求解线性方程组来证明矩阵方程??????C解的存在性，在前人研究的基础上对其解法做一些总结，并与计算机运算相结合给将其化成线

性方程组后的计算机程序，用实例加以说明。

【关键字】：一般线性矩阵方程 矩阵方程??????C Kronecker积 拉直

一. 引言及预备知识

1.引言

本文在一般线性矩阵方程

?1??1??2??2????p??p?C （1） 其中?i?Cm?m,?i?Cn?n(i?1,2,?,p),C?Cm?n是已知矩阵，而??Cm?n是未知矩阵。在研究矩

阵方程（1）的可解性及其解法的基础上，重点考虑（1）的几种特殊情况：AX?C,XA?C, AXB?C,??????C的解的存在条件及其解法。 2.预备知识

定义 1 设矩阵??(aij)?Cm?n，??(bij)?Cp?q，则称如下分块矩阵

?a11?a12?…a1n???a?a?…a??m,n222n?mp?nq?21??????a???C ij??i,j?1?????a31?a32?…a3n??为矩阵?与矩阵?的Kronecker积（直积，张量积），简记为????(aij?)。 定义 2 设??(aij)?Cm?n，记ai?(a1i,a2i,…ami)T(i?1,2,…,n)。令

?a1??a?2 vec(A)???

?????an?则称vec(A)为矩阵A的列拉直（列展开）。 推论 1 由定义1的如下结论，设A?Cm?m,B?Cn?n,X?Cm?n，则

（1）vec(AX)?(In?A)vec(X)；

1

（2）vec(XB)?(BT?Im)vec(X) ；

（3）vec(AX?XB)?(In?A?BT?Im)vec(X)。

二、一般线性矩阵方程解的存在性

定理 1 对一般线性矩阵方程（1），矩阵??Cm?m是方程（1）的解的充分必要条件为

x?vec(?)是如下线性方程组的解：Gx?vec(C) （2）

其中G??(?i?1pTi??i)

证明：对矩阵方程?1??1??2??2????p??p?C两边拉直，并应用拉直的相关性质

vec(?????)?((?n??)?(?T??m))vec?.有：

vec(C)?vec(????)??vec(???)??(?iiiii?1i?1i?1pppTi??i)vec(?)?Gvec(X)

由此矩阵方程（1）的解于线性方程（2）相同。 故定理得证。

推论 1 矩阵方程（1）有解的充分必要条件是rank[G,vec(C)]?rank(G)，矩阵方程（1）

有解的充分必要条件是G非奇异。

三、矩阵方程AX?C解的存在性及其解法 1.

m?nm?1 对于矩阵方程AX?C，其中??(aij)?C,(i?1,2,?,m;j?1,2,?n),C?C解的存在

性我们高等代数中介绍了线性方程有解的判定定理。 定理 3.1 线性方程组

1○

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? （3.1）

??????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm 有解的充分必要条件为它的系数矩阵

?a11?a21 A??????am1 与增广矩阵

a12a22?am2?a1n??a2n??

????amn?2

?a11?a21 A??????am1 有相同的秩。

a12a22??a1n?a2n?am2?amnb1?b2?? ???bm? 证明 先证必要性，设线性方程组3.1有解，就是说，?可已经向量组a1,a2,?,an线性表出。

由此立即推出，向量组a1,a2,?,an，?等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵A与

A有相同的秩。

在正充分性。设矩阵A与A有相同的秩，就是说，它们的列向量组a1,a2,?,an与

a1,a2,?,an，?有相同的秩，令它们的秩为r，a1,a2,?,an中的极大线性无关组是由r个向

量组成，无妨设a1,a2,?,ar是它的一个极大线性无关组。显然a1,a2,?,ar也是向量组

a1,a2,?,an，?的一个极大线性无关组

我们先来讨论一种特殊情况，当C中元素全为零时，即方程AX?C同解与其次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ?

??????????????am1x1?am2x2???amnxn?0

三、矩阵方程??????C解的存在性

设??Cm?m可得到,??Cn?n,C?Cm?m对矩阵方程??????C利用矩阵的拉直将其展开，

等价的线性方程组：

((?n??)?(?T??m))vec(?)?vec(C) （3） 则利用推论1知矩阵方程??????C有解的充分必要条件是：

rank[In????t??m,vec(C)]?rank[In????t??m] （4）

并且矩阵方程??????C有惟一解的充分必要条件是矩阵In????t??m非奇异。 定理 2 设??Cm?m,??Cn?n,?和?的特征值分别为?1,?,?m和?1,?2,?,?n,则矩阵方

程??????C有惟一解的充分必要条件是：

?i??j?0; i?1,2,?,m;j?1,2,?,n （5）

即?和??没有共同的特征值。

3

证明： 因为矩阵方程??????C等价于线性方程组（3） 又矩阵方程In????t??m的特征值是

?i??j(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)由于

??????C有惟一解的充分必要条件是矩阵In????t??m非奇异，即其特征值均非零。

故定理得证。

四、矩阵方程??????C的解法

（一）一般的直接运算法（简）

1.判断矩阵方程??????C是否有解； 2.若有解则按照矩阵乘法逐步运算。如下：

设A?(am?mnij)?C,B?(bij)?Cn?,C?(cij)?Cm?n求??????C 解： ??????C可写为：

??a11a12a1m?x1n??a??x11x1221a22a?2mx?2n??x?????21x22???am1am2a???mm??xm1xm2x?mn???x11x12x1n?b1n??c11c12?x??b11b21x22x?122nb??2n????b21b22???c21c22????xm1xm2x????mn?bn1bn2b????nn?cm1cm2可得：

???mn?a1jxi1??x1jbi1?mna1jxi2??x1jbi2…?mna1jxin??x1jb?inij??11j?1?i?1ij??11ij??11ij??11?ij??11??mn??a2jxi1??x2jbi1?mnmn??ca2jxi2??x2jbi2…?a112jxin??x2jbin??j?1?i?1ij??11ij??11ij??11ij??11ij??11?????c21????mn???amjxi1??xmjbi1?mnmn???cm1amjxi2?xmjbi2…?ij??11ij??11j?1??a?mjxin??xmjbin?i?1ij??11ij??11ij??11??后按对应位置元素相同求出矩阵方程的解。

（二）将矩阵方程??????C转化为线性方程组求解

1.将矩阵方程转化为等价的线性方程组

设 C?(C1,C2,?,Cn),??(X1,X2,?,Xn)并令

c1n?? c2n??c?mn?c12c1n?c22c?2n?然?cm2c?mn?4

?d11?d21d12d22b1n??d2n?? D??????????(D1,D2,?,Dn)

??dm1dm2?d?mn??nn??1???则 D2j??bij?i???1?bijE?i?(b1jE,b2jE,?,bnjE)?ii?1????

???n?其中?为m阶单位阵，由此可得??????C的等价方程组为

????b11Eb21E?bn1E?bE???1??C1

?12??b????22E?bn1E??C??????2?????2????? (7) ?b1nEb?????2nE???bnnE???n??CN?这是一个一般的线性方程组，对次方程组的讨论可得出方程??????C的所有解。

令

????b11Eb21E?bn1E? U??b12E??b22E?b?n1E?????

?b1nEbb?2nE???nnE?由定理2可推出一下结论。

性质 1 若?i??j?0时，则U?0(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)。

???1(?T)b10??2(?T)b?证明： 设

P?1?2?BTP?W,W??????为?T??b??n?1??0?n(?T)??Jordan标准型（b或0,i?1,2,?,n?1)..?(?T)(i?1,2,?,n)为?Ti?1i的特征值。 令Q?P(pijE),E为m?m阶单位阵，则有

?????1(?T)Eb1E0?????T)Eb?2(2E? Q?1?UQ?????? ??b??n?1E??0???Tn(?)E??5

的

所以U?QUQ??1????(?ii?1nTT有因为?与?有相同的特征值，所以，当且仅当??j)E。

为?的特征值时，有U?0,即?i??j?0时U?0。命题的证。 2.矩阵方程??????C的解

当方程求解可以转化为n个m阶线性方程组的求解问题。

??1??C1?????C?2????2?U因为??????所以： ?????C?n??n?????1(?T)E?? ????0????C1?????1??????????2(?T)Eb2E???2??C2???????????3?C3 (8) ??????bn?1E???????????????n(?T)E??????n??Cn????1??1??C1???C1?????????C???C?222???????2??1???3? ?C3???Q?1?C3? (9) 其中：???3?Q???????????????????????n???n??Cn??Cn??????????b1E0于是稀疏矩阵方程（8）可化为

??b1??2?C1??[???1(?T)E]?1???[???2(?T)E]??2?b2??2?C2? （10）

????[???n(?T)E]??n?bn??2?Cn??,??2,?,??由方程（5）依次可求得?1n，最后可求得：

????1???1???????2???2?? ??3??Q???3 （11）

????????????n????n?????

（三）用积分法求解矩阵方程??????C

定理 3 设??Cm?m,??Cn?n,若?和?的特征值均具有非负实部，则矩阵??????C有

6

惟一解，并且解??Cm?n可以表示成

?????0eAtCeBtdt. （6）

证明： 由假设条件知，?和??没有共同的特征值，则矩阵方程??????C有惟一解。因为

d(eAtCeBt)??e?tCeBt?e?tCeBtdt? 两端对t自0到??积分，得

(eAtCeBt)??????0??(?e?tCeBtdt)?(?0e?t0CeBtdt)?

?(?????tBt??0eCedt)?(??0e?tCeBtdt)??C

这说明（7）确定的?为矩阵方程??????C的解。

五、实例

? 例：???10?1??210??21???? ，???， C?(C?21?1,C2)??21?, X?(?1,?2)

?00?1???00???1??1??求：??????C

解：

解法一 ：

?10?1?因为????210?，????21?所以X是一个2行3列的矩阵设X1?(x11,xT12,x13), ???00?1???00??XT2?(x21,x22,x23)则原方程为：

?10?1??x11x1?2?x11x?1

??210????x?21x2??x21x??221??2?1??2??2??00?1????x?021?????21?31x3??2??x31x??32??11? ??计算后得：

??3x11?x3?12?x11?2x1?2x?321 ??2x11?3x2?12 ??2x12?x2?12x?221??x31?1解得：?TT1?(101),?2?(010) 解法二 ：

因为?i(?)?0,2,?j(?)??1,由定理2知矩阵方程??????C有惟一解。

7

对于?可求得P??T?02??00??1T,使得令Q?P(pijE3?3)。据本文介绍的方式，PBP?????11??02?矩阵方程可化为：

???1?C1??(??2E)??? （12）2?C? 2?由式（9）得 C??(001T12),C?1T2?(112),由式（12）得： ??11111?(?21?2)T,??T2?(202)

又据式（11）可解得：

?1?(101)T,?2?(010)T

经证明X?(?1,?2)是矩阵方程的解。 解法三 ：

有定理三可知：?????At0eCeBtdt.

解得：

?1?(101)T,?2?(010)T

六、转化为线性方程后得算法程序：

解法二的MATLAB程序：

输入

Clear[A,C1];

A={{1，0，-1},{2，1，0},{0，0，-1}}; C1={2,2,1}

LinearSolve[A, C1] 输出为

??1??0??? ?1??再输入

Clear[A, C2];

A={{1，0，-1},{2，1，0},{0，0，-1}}; C2={1，1，1}

LinearSolve[A+2E, C2] 输出为

??0??1??? ?0??8

注: 命令LinearSolve只给出线性方程组的一个特解.

七、参考文献

[1] 戴华《矩阵论》，科学出版社 248-263

[2]陈公宁《矩阵理论与应用》科学出版社第二版 144-150

[3]贾春元、毛昭宙《弹性波的散射与动应力集中》北京 科学出版社 1999 [4]郑华盛《关于线性矩阵方程通解的求法》

[5] 王红玉《关于矩阵方程AX+BY+CZ=E的迭代解法研究》赤峰学院学报(自然科学版)第25卷第9

期 [6] 丰茂星， 杜德生 《关于矩阵方程??????C的解法》哈尔滨理工大学学报第5卷第5期 [7] 合恩等著.杨奇 译.矩阵分析——华章数学译丛[M]北京:机械工业出版社，2005.04：301—

321.

[8] 张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社:2004.09:150-170.

[9] 李志林， 徐明华《矩阵方程AX-XB=C的一般解》华东船舶工业学院学报（自然科学版）第3 卷

第15 期

[10] 徐清舟 汪国军 《关于四元数矩阵方程的最小二乘解》许昌学院学报第24卷第2期

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