金山中学2015学年第一学期高三数学双周考试卷

金山中学2015学年第二学期高三数学双周考试（二）

（时间120分钟 满分150分）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1. 函数f?x??2cos2x?1的最小正周期是 。 2. ?x?1?5的展开式中x2的系数是 （结果用数字作答）。

3. 已知线性方程组的增广矩阵为?m4m?2????1mm??，若此方程组无实数解，则实数m的值为 。 ?4. 若直线l1:2x?3y?1?0的方向向量是直线l2:ax?y?2a?0的法向量，则实数a的值等于 。

5．若函数f?x??12x2?x?32的定义域与值域都是?1,b??b?1?，那么实数b的值为 。6. 已知点P在焦点为Fx21,F2的椭圆45?y220?1上，若?F1PF2?90?，则PF1?PF2的值等于 。

7. 【理】在极坐标系中，曲线?2?6?cos??2?sin??6?0与极轴交于A,B两点，则A,B两点间的距离等于____________。

?x,y?0【文】设x,y满足约束条件??x?y??1，则z?x?2y的取值范围为 。

??x?y?38. 从7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4?100米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）。 9．某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 。 10．已知点A?3,2?，F是抛物线y2?2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当PA?PF取最

小值时，点P的坐标为 。

11. 在平行四边形ABCD中，AC?AD?AC?BD?3，则线段AC的长为____________。 12．limn2?3?n?1n?1?1n???n?2?1?n?3??? 。 13. 已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．

14. 对于函数f?x?定义域D内的值x0，若对于任意的x?D，恒有f?x??f?x0?（或

f?x??f?x?x0?）成立，则称x0是函数f?x?的极值点。若函数f?x??2sinm?m?0?在区间

??1?2,1???内恰有一个极值点，则m的取值范围为 。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．“x?1且y?2”是“x?y?3”的 （ ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；

C．充分必要条件； D．既不充分又不必要条件。

16. 对任意复数z?x?yi(x,y?R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是 （ ）

A. z?z?2y B. z2?x2?y2 C. z?z?2x D. z?x?y

17. 某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显

示出来，则下列说法正确的是 （ ）

A. 年龄数据的中位数是40，众数是38 B. 年龄数据的中位数和众数一定相等

C. 年龄数据的平均数x??39,40? D. 年龄数据的平均数一定大于中位数

18. 如图平行四边形ABCD，点M1,M2,M3，?，Mn?1和N1,N2,N3，?，NnBC和DCn等分(n?N?,n?2，)?????AM???????1分别将线段

1?AM2??D N1 N2

?

Nn?i C

???????AM??????????AN????????????n?1?AN1?2???ANn?1?45AC，则n的值为

M（ ）

n?i?A. 29 B. 30 C. 31 D. 32

A MM2

B 1

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19. (本题满分12分) 第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.

如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到

一个长为2?，宽AA1为2的矩形。

A1 （1）求此圆柱的体积；

（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。 A

20.(本题满分14分) 第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.

已知z1?3sinx?isinx，z2?cosx?isinx（i是虚数单位）。 （1）当x?[0,?]且|z1|?|z2|时，求x的值；

（2）设f(x)?z1?z2?z1?z2，求f(x)的最大值与最小值及相应的x值。

21.（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.

在数列{a，an?2n}中，a1?1n?2an?1?n(n?1)(n?2，n?N*)。

（1）若数列{b1n}满足bn?an?n?1(n?N*)，求证：数列{bn}是等比数列； （2）设c2n7n?(n?1)a，记 Sn?c1?c2?c2?c3???cn?cn?1，求使Sn?n?19的最小正整数n的

值。

22．(本题满分16分)第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（2）小题满分6分.

x2已知椭圆C:2m2?y?1（常数m?1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶

点，定点A的坐标为?2,0?。

（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； （2）若m?3，求PA的最大值与最小值；

（3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围。

23. (本题满分18分)第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分.

设函数fbn(x)?xn?x?c(x?(0,??),n?N*,b，c?R)。 （1）当b??1时，对于一切n?N*，函数f1n(x)在区间(2,1)内总存在唯一零点，求c的

取值范围；

（2）若f2(x)在区间[1,2]上是单调函数，求b的取值范围；

（3）当b??1,c?1时，函数f1n(x)在区间(2,1)内的零点为xn，判断数列x1，x2，?，xn，?的增减性，并说明理由。

金山中学2015学年第二学期高三数学双周考试（二）答案

（时间120分钟 满分150分）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1. 函数f?x??2cos2x?1的最小正周期是 。? 2. ?x?1?5的展开式中x2的系数是 （结果用数字作答）。5

3. 已知线性方程组的增广矩阵为?m?2??m4??1mm??，若此方程组无实数解，则实数m的值为 。?-2

4. 若直线l1:2x?3y?1?0的方向向量是直线l2:ax?y?2a?0的法向量，则实数a的值等于 。

32 5．若函数f?x??12x2?x?32的定义域与值域都是?1,b??b?1?，

那么实数b的值为 。3 6. 已知点P在焦点为Fx2y21,F2的椭圆45?20?1上，若?F1PF2?90?，则PF1?PF2的值等于 。40

7. 【理】在极坐标系中，曲线?2?6?cos??2?sin??6?0与极轴交于A,B两点，则A,B两点间的距离等于____________。23 ?x,y?0【文】设x,y满足约束条件??x?y??1，则z?x?2y的取值范围为 。?-3，3?

??x?y?38. 从7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4?100米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为 （结果用最简分数作答）。

1021 9．某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个。为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 。12 10．已知点A?3,2?，F是抛物线y2?2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当PA?PF取最

小值时，点P的坐标为 。?2，2?

11. 在平行四边形ABCD中，AC?AD?AC?BD?3，则线段AC的长为____________。3 12．limn2?3?n?1n???n?1?1n?2?1?n?3??? 。6 13. 已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成

正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．13?

14. 对于函数f?x?定义域D内的值x0，若对于任意的x?D，恒有f?x??f?x0?（或f?x??f?x0?）成立，则称x0是函数f?x?的极值点。若函

数f?x??2sin?x?m?m?0?在区间

?1?2,1???内恰有一个极值点，则m的取值范围为 。??21??22??7，3?????5，3????1，2?

二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．“x?1且y?2”是“x?y?3”的 （ ）D A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；

C．充分必要条件； D．既不充分又不必要条件。

16. 对任意复数z?x?yi(x,y?R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是 （ ）D

A. z?z?2y B. z2?x2?y2 C. z?z?2x D. z?x?y

17. 某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是 （ ）C

A. 年龄数据的中位数是40，众数是38 B. 年龄数据的中位数和众数一定相等

C. 年龄数据的平均数x??39,40? D. 年龄数据的平均数一定大于中位数

18. 如图平行四边形ABCD，点M1,M2,M3，?，Mn?1和N1,N2,N3，?，Nn?1BC和DCn等分(n?N?,n?2，)?????AM??????分别将线段

1?AM2??D N1 N2

?

Nn?i C

???????AM??????????????????????n?1?AN1?AN2???ANn?1?45AC，则n的值为

M（ ）C

n?i?A. 29 B. 30 C. 31 D. 32

A MM2B

1三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19. (本题满分12分) 第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.

如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到

一个长为2?，宽AA1为2的矩形。 A1 （1）求此圆柱的体积；

（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，

A

11n?2，所以an?bn?，代入an?2an?1?得 n?1n?1n(n?1)2?2? V??rh11?n?2?b??2b?n?2,n?N? 化简得：bn?2bn?1 ???nn?1（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1。则绳长的最小值即为n?1n?n?n?1??侧面展开图中的AB1?BC1。 133又b1?a1?? 所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列。

222AB1?BC1?4?2?1。

求绳长的最小值（绳粗忽略不计）。

解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，则2?r?2?,h?2，即r?1，h?2

解：（1）因为bn?an???所以绳长的最小值为24?2?1。 20.(本题满分14分) 第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 已知z1?3sinx?isinx，z2?cosx?isinx（i是虚数单位）。

（1）当x?[0,?]且|z1|?|z2|时，求x的值； （2）设f(x)?z1?z2?z1?z2，求f(x)的最大值与最小值及相应的x值。

解：（1）由|z|?|z222212|，得(3sinx)?sinx?cosx?sinx 即4sin2x?1 因为x?[0,?]，则sinx?0，所以sinx?12

得：x??6或x?5?6。

（2）f(x)?(3sinx?isinx)(cosx?isinx)?(3sinx?isinx)(cosx?isinx)

?23sinxcosx?2sin2x ?3sin2x?cos2x?1

?2sin(2x??6)?1 当2x??6?2k???2，即x?k???3(k?Z)时，f(x)max?3

当2x??6?2k???2，即x?k???6(k?Z)时，f(x)min??1。 21.（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.

在数列{a?1，an?2*n}中，a1n?2an?1?n(n?1)(n?2，n?N)。 （1）若数列{b1n}满足bn?an?n?1(n?N*)，求证：数列{bn}是等比数列； （2）设c?2n7n(n?1)a，记 Sn?c1?c2?c2?c3???cn?cn?1，求使Sn?的最小正整数n的

n?19值。

（2）由（1）得bn?32?2n?1，所以an?32?2n?1?1n?1 n由c24n?(n?1)a，得cn? n?13(n?1) c161611n?cn?1?9(n?1)(n?2)?9(n?1?n?2) 所以Sn?c1?c2?c2?c3???cn?cn?1?169[(12?13)?(11113?4)???(n?1?n?2)] ?161189(2?n?2)?9?169(n?2)。

若S7816n?9，则9?9(n?2)?79，即169(n?2)?19，得n?14 所以满足条件的最小正整数n等于15。 22．(本题满分16分)第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（2）小题满分6分. 2已知椭圆C:x2m2?y?1（常数m?1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶

点，定点A的坐标为?2,0?。

（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；

（2）若m?3，求PA的最大值与最小值；

（3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围。 解：⑴ m?2，椭圆方程为

x24?y2?1，c?4?1?3 ∴ 左、右焦点坐标为(?3,0),(3,0)。

⑵ m?3，椭圆方程为x29?y2?1，设P(x,y)，则 |PA|2?(x?2)2?y2?(x?2)2?1?x28919?9(x?4)2?2(?3?x?3)

∴ x?94时|PA|2min?2； x??3时|PA|max?5。 ⑶ 设动点P(x,y)，则

设fn?1(x)在区间(,1)上的零点为xn?1，所以fn?1(xn?1)?0，即fn?1(xn)?fn?1(xn?1)

2x2m2?12m224m2|PA|?(x?2)?y?(x?2)?1??(x?2)?2?5(?m?x?m) 2mmm?1m?122212m2?12m2?0，∴ 2?m且m?1 ∵ 当x?m时，|PA|取最小值，且

m2m?1解得1?m?1?2。

23. (本题满分18分)第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分.

11??1在区间(,1)上是增函数，所以xn?xn?1 x2即数列x1，x2，?，xn，?是递增数列。

又函数fn?1(x)?xn?1b?c(x?(0,??),n?N*,b，c?R)。 x1*（1）当b??1时，对于一切n?N，函数fn(x)在区间(,1)内总存在唯一零点，求c的

2设函数fn(x)?x?n取值范围；

（2）若f2(x)在区间[1,2]上是单调函数，求b的取值范围；

（3）当b??1函数fn(x)在区间(,1)内的零点为xn，判断数列x1，x2，,c?1时，?，xn，?的增减性，并说明理由。

1211?c在区间(,1)内有唯一零点， x2111n因为函数fn(x)?x??c在区间(,1)上是增函数，所以f()?0且f(1)?0

x22113*即n?2?c?0且c?0，由n?2?c?0对于n?N恒成立，得c? 2223所以c的取值范围为(0,)。

2b2（2）f2(x)?x??c在区间[1,2]上是单调函数，设1?x1?x2?2，

xxx(x?x)?b f2(x1)?f2(x2)?(x1?x2)1212x1x2由题知x1x2(x1?x2)?b?0或x1x2(x1?x2)?b?0对于1?x1?x2?2恒成立 因为2?x1x2(x1?x2)?16，所以b?16或b?2。

111nn?1（3）b??1,c?1时，fn(x)?x??1，fn?1(x)?x??1， fn(x)在区间(,1)上

xx21的零点是xn，所以fn(x)?xnn??1?0

xn111n?1n由?xn?1知，xn?xn，所以fn?1(xn)?xnn?1??1?xnn??1?fn(xn)?0， 2xnxn解：（1）当b??1时，fn(x)?x?n

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