闭区间上二次函数的最值

闭区间上二次函数的最值

朱义华

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。

一. 定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y??x2?4x?2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y??x2?4x?2??(x?2)2?2是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x?2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)?2，最小值为f(0)??2。

图1

2例2. 已知2x?3x，求函数f(x)?x?x?1的最值。 2解：由已知2x?3x，可得0?x?233??，即函数f(x)是定义在区间?0，?上的二22??211?3?次函数。将二次函数配方得f(x)??x???，其对称轴方程x??，顶点坐标

?22?43??13????，?，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间?0，?内，如图2所示。?24?2???3?19函数f(x)的最小值为f(0)?1，最大值为f???。

?2?4第1页（共7页）

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图2

解后反思：已知二次函数f(x)?ax?bx?c（不妨设a?0），它的图象是顶点为

2?bb4ac?b2?x??、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，?，??2a4a??2an]上f(x)的最大值或最小值：

2b?b?4ac?b?m，n时，f(x)的最小值是f????（1）当?，f(x)的最大值

?2a?2a4a??是f(m)、f(n)中的较大者。

（2）当?若?b?m，n时 2a??b?m，由f(x)在m，n上是增函数 2a??则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n) 若n??b，由f(x)在m，n上是减函数 2a??则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

二. 动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

2例3. 已知x?1，且a?2?0，求函数f(x)?x?ax?3的最值。

2解：由已知有?1?x?1，a?2，于是函数f(x)是定义在区间?1，1上的二次函数，将f(x)配方得：

??a?a2? f(x)??x???3???242第2页（共7页）

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二次函数f(x)的对称轴方程是x??a 2?aa2?顶点坐标为??，3??，图象开口向上

4??2由a?2可得x??a??1，显然其顶点横坐标在区间?1，1的左侧或左端点上。 2??函数的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。

图3

例4. 已知二次函数f(x)?ax2?4ax?a2?1在区间?4，1上的最大值为5，求实数a的值。

解：将二次函数配方得f(x)?a(x?2)?a?4a?1，其对称轴方程为x??2，顶点坐标为(?2，a?4a?1)，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间

222????4，1?上。

若a?0，函数图象开口向下，如图4所示，当x??2时，函数取得最大值5 即f(?2)?a?4a?1?5 解得a?2?10

故a?2?10(a?2?10舍去)

2

图4

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若a?0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x?1时，函数取得最大值5 即f(1)?5a?a2?1?5 解得a?1或a??6 故a?1(a??6舍去)

图5

综上讨论，函数f(x)在区间?4，1上取得最大值5时，a?2?10或a?1 解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

三. 定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

2例5. 如果函数f(x)?(x?1)?1定义在区间t，t?1上，求f(x)的最小值。

????解：函数f(x)?(x?1)?1，其对称轴方程为x?1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t?1左侧时，有1?t。当x?t时，函数取得最小值

2??f(x)min?f(t)?(t?1)2?1。

图6

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如图7所示，若顶点横坐标在区间t，t?1上时，有t?1?t?1，即0?t?1。当

??x?1时，函数取得最小值

f(x)min?f(1)?1。

图7

如图8所示，若顶点横坐标在区间t，t?1右侧时，有t?1?1，即t?0。当x?t?1时，函数取得最小值

??f(x)min?f(t?1)?t2?1

综上讨论，f(x)min?(t?1)2?1,t?1???1,0?t?1 ?t2?1t?0?

图8

2例6. 设函数f(x)?x?4x?4的定义域为t?2，t?1，对任意t?R，求函数

??f(x)的最小值?(t)的解析式。

解：将二次函数配方得：

f(x)?x2?4x?4?(x?2)2?8

其对称轴方程为x?2，顶点坐标为(2，?8)，图象开口向上

若顶点横坐标在区间t?2，t?1左侧，则2?t?2，即t?4。当x?t?2时，函数取得最小值

??f(t?2)?(t?4)2?8?t2?8t?8

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若顶点横坐标在区间t?2，t?1上，则t?2?2?t?1，即3?t?4。当x?2时，函数取得最小值

??f(2)??8

若顶点横坐标在区间t?2，t?1右侧，则t?1?2，即t?3。当x?t?1时，函数取得最小值

??f(t?1)?(t?3)2?8?t2?6t?1

?t2?8t?8(t?4)?综上讨论，得?(t)???8(3?t?4)

?t2?6t?1(t?3)?

四. 动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 例7. 已知y2?4a(x?a)(a?0)，且当x?a时，S?(x?3)2?y2的最小值为4，求参数a的值。

解：将y2?4a(x?a)代入S中，得

S?(x?3)2?4a(x?a)?x2?2(3?2a)x?9?4a2 ??x?(3?2a)??12a?8a22则S是x的二次函数，其定义域为x?a，??，对称轴方程为x?3?2a，顶点坐标为(3?2a，12a?8a)，图象开口向上。

若3?2a?a，即0?a?1

则当x?3?2a时，S最小?12a?8a?4 此时，a?1，或a?22??1 22若3?2a?a，即a?1

2则当x?a时，S最小??a?(3?2a)??12a?8a?4

此时，a?5，或a?1（因a?1，a?1舍去） 综上讨论，参变数a的取值为a?1，或a?

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1，或a?5 2

(x?1)2?y2?a2(a?0)，且当x?1?2a时，P?(x?4)2?y2的最例8. 已知

4小值为1，求参变数a的值。

(x?1)2?a2代入P中，得 解：将y?42(x?1)2P?(x?4)??a2425?17?9??x????a24?5?5?

则P是x的二次函数，其定义域为x?1?2a，??，对称轴方程为x?坐标为?若

??17，顶点5?179?，?a2?，图象开口向上。 ?5?5176?1?2a，即a? 551792时，P最小??a?1 55则当x?此时，a?2 5若

176?1?2a，即a? 55则当x?1?2a时，P最小5?17?9??1?2a????a2?1 4?5?56，a?1舍去） 5?此时，a?2，或a?1（因a?综上讨论，a?2，或a?2 5解后反思：例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8中，二次函数的对称轴是固定的。

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。

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