圆盘内的热传导问题

圆盘内的热传导问题

蔡晓君 物理学3班 20082301097

1、引言

圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题，本文通过建立模型并详细的解答问题，得出了此模型的通解，并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究。对我们生活及生产中热传导现象有实际的理解帮助。

2、模型介绍及问题的提出

圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上的温度为0，初始时刻圆盘内温度分布为1-r，其中r是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律。 圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与?无关，故温度U只是r，t的函数，由题意得，归结为下列定解问题

2?u?u1?u2?a(2?) r<1,t>0 ?t?rr?r2Ut?1?0 r?1 Ut?0?1?r2 r?1

运用分离变量法 令U（r,t）=F(r)T(t)

? F(r)T(t)? = a T(t)[F??（r）21F?(r)] r1??（r） F? F?(r) T?(t)r即2? aTF1??（r） F? F?(r) T?(t)r令2?=?? aTF则可得 rF??（r）?rF?(r)??rF(r)?0……① T?(t)??aT(t)?0……②

对②式 当?=0时，T?(t)=k为常数（显然不符合题意） 故T（t）=ce又Ut?1222??a2t

??a2t?T(1)?c e?0

??>0 可使?=?2

?T（t）=ce?a2?2t

则①式可化为r2F??（r）?rF?(r)+?2r2F(r)=0 这是特殊函数贝塞尔方程

则通解F（r）=C1J0(?r)?C2N0(?r) (具体过程见后面解释1) 又U（r,t）是有界的，故C2=0，即F（r）=C1J0(?r) 又Ut?1=0，故J0(?)=0，即?是J（的零点 0x）(0)(0) 对应的本征函数为Fn(r)?CnJn(Kn??=Knr)

从而有Un(r，t)?Cne?(0)2?a2(Kn)t(0)J0(Knr)

形式解为U（r,t）=

2?Cne?an?12(0)2(Kn)t(0)J0(Knr)

又?U?t?0=1-r

(0)r)?1-r2 ??CnJ0(Knn?1?Cn(1?r)rJ(Kr)dr??=

J?rJ(Kr)dr001020(0)n12(0)n2?1rJ(K(0)r)dr?1r3J(K(0)r)dr?+

0n0n2(0)????00??(K)1n又由贝塞尔函数的递推公式

d?xJ1(x)??xJ0(x)得 （具体过程课看后面解释2） dx(0)(0)?rJ1(Knr)?rJ1(Knr)d=rJ(Kr)dr??(0)?0?(0)?00(Kn)?(Kn)?1(0)n110(0)J1(Kn)= (0)Kn再由递推公式

13(0)ndnxJn(x)?xnJn?1(x) 得（具体过程看后面解释） dx??(0)(0)?rJ1(Knr)1r)?r3J1(Kn2rJ(Kr)dr?=?rd0?(0)(0)(0)?00?0?Kn(K)(K)nn??12(0)J1(Knr)2(0)=?r2J2(Knr)10 (0)2(0)(Kn)(Kn)(0)(0))J1(Knr)2J2(Kn= ?(0)(0)2(Kn)(Kn)?10(0)r2J0(Knr)dr

(0)4J2(Knr)从而可有 Cn? 2(0)2(0)(Kn)J1(Knr)因此，所求定解问题之解为

(0)(0)24J2(Kn)-a2(Kn)t(0)U(r,t)= ? J0(Knr)e(0)22(0)(K)J(K)n?1n1n?(0)（其中Kn是J0(X)的正零点）

2.1对方程解的具体解释

解释1：

d2ydy?x?(x2?n2)y?0求解 贝塞尔方程x2dxdx2贝塞尔方程有级数解y?x(a0?a1x?a2x???axx?...)?r2k?axkk?0?k?r（a0?0）

代入原方程得

??a(k?r)(k?r?1)xkk?0?k?r?ak(k?r)xk?r?ak(x2?n2)xk?r?0

?合并同类项得，(r?k)2?n2ak?ak?2?0 当k=0时，（r2?n2）a0?0 （a0?0） r??n

当k=1时，(r?1)?na1?0 a1?0

当k?2时，(r?1)2?n2ak?ak?2?0 当r=n时，ak?????22???ak?2，

k(2n?k) ?a1?0 ?a2m?1?0 而a0?0 ?a2??a0a?20

2(2n?2)2(n?1) a4??a0a0a2?2?4

2(2n?4)2(n?1)4(n?2)2(n?1)(n?2) a2m(?1)ma0 ?2m2m!(n?1)(n?2)..n.(?m)1

2n?(n?1)其中a0为任意常数，a0?而?(x)具有性质?(n?1)?n! （n为整数）

?a2m(?1)m(?1)m?2mn?2m?n 2m!2?(n?1)(n?1)(n?2)...(n?m)2m!?(n?m?1)??贝塞尔函数的特解为

y1(x)??(?1)mm?0?1x()n?2m(n?0)

m!?(n?m?1)21x()n?2m(n?0)为第一类贝塞尔函数

m!?(n?m?1)2定义Jn(x)??(?1)mm?0当r??n时,同理

Jn(x)??(?1)mm?0?1x()?n?2m

m!?(n?m?1)2再定义Nn(x)?J（cosn??J?n(x)nx）

sinn??Jn(x)与Nn(x)线性无关

?一般贝塞尔函数的额通解可表示成y?AJn(x)?BNn(x)

解释2： 证明

dnxJn(x)?xnJn?1(x) dx??(x)2n?2m证明：?Jn(x)??(?1) n?2m2m!?(n?m?1)m?0?m?dnd?x2n?2mxn?2m?1mnmxJn(x)??(?1)n?2m?x?(?1)n?2m?1?xnJn?1(x)dxdxm?02m!?(n?m?1)2m!?(n?m)m?0??

3、结论

本文通过常规方法分离变量法解出了圆盘内的热传导问题的解，知道了所构造的模型通解为所求定解问题之解为

(0)(0)24J2(Kn)-a2(Kn)t(0)U(r,t)= ? J(Kr)e0n(0)22(0)n?1(Kn)J1(Kn)?(0)（其中Kn是J0(X)的正零点）

且作出了圆盘温度分度的图形，更形象了解圆盘内温度分布规律，如下图所示

4、参考文献

《数学物理方程与特殊函数》 李元杰 编 高等教育出版社 《数学物理方法》 刘连涛 王正清 编 高等教育出版社 《数学物理方程》 陈才生 编 东南大学出版社

5、感想

通过这次学习对编程画图有了更进一步的了解，巩固掌握。在解题过程要时刻以老师的思想为指导，解题过程以分离变量法为指导方法，但是思想比解题更重要，在理解的基础上运用这些思想及方法。也使我们更加深刻了解到数学物理

方程对我们掌握知识形象理解具体问题的重要性。

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