教案—必修4三角函数3

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三角函数3 2015-8-19 15:00-17:00 第（1）次课 共（ ）次课 教师姓名 年 级 阶 段 梅海娟 高一 学生姓名 学 科 龚星语 数 学 教学课题 上课时间 课时计划 基础（√） 提高（√）强化（√） 教学目标 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 重难点 运用相关公式进行三角恒等变换 教师评语 及建议

科组长签字:

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一、章节知识梳理

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?; cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan(???)?tan??tan?

1?tan?tan?2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2??2sin?cos?;

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?; tan2??2tan?

1?tan2?要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， cos??3．三角函数式的化简 （1）降幂公式

21?cos2?,2sin2??1?cos2? 这两个形式常用。 2sin?cos??11?cos2?1?cos2?2sin2?；sin2??；cos??。 222（2）辅助角(合一)公式

asinx?bcosx?a2?b2?sin?x???，其中sin??4．在三角函数化简时注意：

ba?b22，cos??aa?b22。

①能求出的值应求出值； ②尽量使三角函数种类最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数；

⑤尽量使被开方数不含三角函数； ⑥必要时将1与sin??cos?进行替换 化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等。

22

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二、例题讲解

1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

132tan13?sin50???例1. 设a?cos6?sin6,b?,c?,则有（ ） 2??221?tan132cos25A.a?b?c B.a?b?c C.a?c?b D.b?c?a

【解析】: 由于a?sin30cos6?cos30sin6?sin24,b?sin26,c?sin25,故选C。 2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口 （1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。 例2．已知

0?0?000π3π123＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值． 24135【解析】：由于

3ππ3ππ＜β＜α＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜． 244245∴ cos（α+β）=－，sin（α－β）=．

513∴ sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β） =（－

3124556）·+（－）· =－． 51351365【点评】：本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，将2α表示为2α=（α－β）+（α+β）。 例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·sin280?． 【解析】：原式=［2sin50°+sin10°（1+3 =［2sin50°+sin10°（

sin10?）］·cos210?

cos10?cos10??3sin10?）］·cos210? cos10?cos50? =（2sin50°+2sin10°·）·cos10°

cos10? =2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°） =2sin60°=3．

【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次

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数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。 （2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等

变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4：已知sin（α+β）=

23tan(???)?tan??tan?，sin（α－β）=，求的值．。 234tan??tan(???)?sin(???)???【解析】：由??sin(???)???22?sin?cos??cos?sin????33?? 33?sin?cos??cos?sin???44?`

17?sin??cos????24 解得?，

1?cos??sin?????24∴

tan?(???)ta?n?2tan??ta?n?(?sin??cos?=－17

cos??sin?t?antan(???)?tan(???)(1?tan??tan?)tan?== 2tan?)tan??tan(???) =

（3）运用换元思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个 式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。 例5：若sin??sin??2,求cos??cos?的取值范围。 2222【解析】：令cos??cos??t，则(sin??sin?)?(cos??cos?)?t?即 2?2cos(???)?t?21, 213?2cos(???)?t2? 22∴ ?2?t?214143171414?cos??cos??，即? ?2,???t2?,???t?2222222【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子cos??cos?看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围。

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3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点

【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识 的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。

????例6：已知：向量a?(3,?1) ，b?(sin2x,cos2x)，函数f(x)?a?b

（1）若f(x)?0且0?x??，求x的值；

（2）求函数f(x)取得最大值时，向量?a与b?的夹角．

【解析】：∵f(x)??a??b＝3sin2x?cos2x

（1）由f(x)?0得3sin2x?cos2x?0即tan2x?33 ∵0?x??, ?0?2x??2 ∴2x??6,或2x?7?6, （2）∵f(x)?3sin2x?cos2x?2(32sin2x?12cos2x) ＝2(sin2xcos???6?cos2xsin6)?2sin(2x?∴f(x)max?2，当f(x)?2时，由?a??b?|?a|?|?6)

b|cos??a,?b??2

得cos??a,??b??a??b|?a|?|?b|?1，?0???a,?b??? 第 6 页 共 12 页

∴x??12或7?12

∴??a,?b??0

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考点分析

考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、sin20cos40?cos20sin40的值等于（ ）

????A.

1133 B. C. D. 42242、若tan??3，tan??4，则tan(???)等于（ ） 311A.?3 B.3 C.? D.

332?的值等于（ ） 5511A． B．

24cos

考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 3、cos

?C．2 D．4

4、 已知0?A?3，那么sin2A等于（ ）

25471224A. B. C. D.

25252525，且cosA??考点3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换

?2?1,tan(??)?,则tan(??)的值等于 （ ）

4544133133（A） （B） （C） （D）

18222218116、已知sin??sin??,cos??cos??,则cos(???)值等于（ ）

2371759109

（A）? （B）? （C）? （D）?

12187272

5、已知tan(???)?7、函数f(x)?cos(x?2?12)?sin2(x??12)?1是（ ）

（A）周期为2?的奇函数 （C） 周期为?的奇函数

（B）周期为2?的偶函数 （D）周期为?的偶函数

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三、强化练习

1．sin165o= （ ） A．

136?2 B． C． D． 2246?2 42．sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（ ） A．

1133 B． C． D．?

22223．已知x?(? A．

?2,0)，cosx?4，则tan2x?（ ） 5724724 B．? C． D．?

2472474．化简2sin（

ππ－x）·sin（+x），其结果是（ ） 44 Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 5．sin

??—3cos的值是 （ ） 12122 D． 2 sin

5? 12 A．0 B． —2 C．

1?tan275?的值为 (6．

tan75? A． 23 B． 7．若cos)

2323 C． ?23 D． ? 33?2?3?4，sin??，则角?的终边一定落在直线（ ）上。 525 A．7x?24y?0 B．7x?24y?0 C．24x?7y?0 D．24x?7y?0 8． cos?????cos??sin?????sin??_________.

1?tan15?9．＝

1?tan15?10．tan20??tan40??3tan20tan40?的值是 . 11．求证：

1?sin2?．

??4cot?tan22cos2??

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12．已知tan2??

13．已知0?x?1，求tan?的值． 3?4,sin(?4?x)?5,求13cos2xcos(?x)4?的值。

14．若A??0,??,且sinA?cosA?5sinA?4cosA7, 求的值。 1315sinA?7cosA

15．设f(x)?asin?x?bcos?x(??0)的周期为T??,最大值f((1) 求?,a,b的值;

?12)?4.

???)的值. (2) 若?,?为方程f(x)?0的两根,且?,?的终边不共线,求tan(第 9 页 共 12 页

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参考答案

考点： 1-7 B D A D B C C 练习： 1-7 D B D B B C D 7. 提示：∵cos?2?2473?4，sin?? ∴sin?=?，cos?=?， 5252525724，?），它在直线24x?7y?0上。 2525则角?的终边上一点为P（?8. cos?； 9.

3； 10. 3 3cos2?cos2?cos2???11．证明：?左边?

??cos???cossincot?tan12?222sin???2sincos2211sin?1 ?cos2?·?sin?cos??sin2??右边， ?原式得证．

42cos?212．解：由tan2??12tan?1?得．这是一个关于tan?的方程，

31?tan2?3 解此方程可求得tan?=?3?10．

????5?x)?(?x)?,?cos(?x)?sin(?x)?， 4424413????120 而cos2x?sin(?2x)?sin2(?x)?2sin(?x)cos(?x)?

2444169120cos2x12 ??169?。

?513cos(?x)41313．解：?(?1212??7?cosA?sinA?????sinA?cosA??131313??14．解法一：由?或?

55?sinA???sin2A?cos2A?1?cosA????13?13??

12?

cosA??85sinA?4cosA?13

?∵A??0,??知?舍去，故 4315sinA?7cosA5?sinA??

?13?

494972① 得(sinA?cosA)?，∴1?sin2A? 131691691202892∴sin2A??，∴(sinA?cosA)?1?sin2A?，∵A??0,??，∴sinA?cosA>0，从

169169解法二：由sinA?cosA?第 11 页 共 12 页

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12?sinA??1785sinA?4cosA?13?而sinA?cosA?②，联立①、②解得? 故

15sinA?7cosA4313?cosA??5?13?15．解：(1) f(x)?a2?b2sin(?x??)，?T??，???2，又 ?f(x)的最大值

?f(?2?2?)?4， ?4?a2?b2 ① ， 且 4?asin?bcos ②， 121212由 ①、②解出 a=2 , b=23.

(2) f(x)?2sin2x?23cos2x?4sin(2x??)， ?f(?)?f(?)?0， 3???4sin(2??)?4sin(2??)，

33?????2???2k??2??， 或 2???2k????(2??)，

3333?即 ??k??? (?、? 共线，故舍去) ， 或 ????k??，

6?3 (k?Z). ?tan(???)?tan(k??)?63第 12 页 共 12 页

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