幂函数的性质,函数综合

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

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14

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例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353

思考：.比较下列各数的大小：(1)1.1,1.4,1.1； (2) 0.16,0.5,6.25.

例3 已知函数f x m 2m x

2

m2 m 1

.则当m为何值时，f x 是

（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？

例4 已知函数画出y x的大致图象。

⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出y x的大致图象。

二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).

方程f(x)=0有实数根

函数

y=f(x)的图象与x轴 有交点 函数y=f(x)有零点

连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

2、二分法

对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a) · f(b)<0，给定精确度ε

2、求区间(a,b)的中点x1 3、计算f(x1);

(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点

23

23

(2) 若f(a) · f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(b)· f(x1)<0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))

4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～

★典型例题

例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1） 解：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表与图象（如下):

此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。

★补充例题：

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)

（2）设a为常数，试讨论方程lg(x 1) lg(3 x) lg(a x)的实根的个数。

解析：

（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。

它们的交点横坐标x0，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，DB还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较x0与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2，3)，故本题应选C。

x 1 0 3 x 0 a x2 5x 3

（2）原方程等价于 即

1 x 3 a x 0

(x 1)(3 x) a x

a

构造函数y x2 5x 3(1 x 3)和y

a线的交点情况可得：

①当1 a 3或a 13时，原方程有一解；

4

②当3 a 13时，原方程有两解；

4

③当a 1或a 13时，原方程无解

4

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

三、综合复习：

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恒成立问题的基本类型： 类 型 1 : 设 f ( x) ax 2 bx c(a 0) , ( 1 ) f ( x) 0在x R 上 恒 成 立 a 0且 0 ; (2)f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 。

类型 2:设 f ( x) ax 2 bx c(a 0)b b b (1)当 a 0 时， f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 2a , 或 或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0 f ( ) 0 (2)当 a 0 时， f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0

b b b 或 或 2 a f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0

类型 3: f ( x) 对一切x I恒成立 f ( x) min f ( x) 对一切x I恒成立 f ( x) max 。 类型 4:f ( x) g ( x)对一切x I恒成立 f ( x)的图象在g ( x)的图象的上方或f ( x) min g ( x) max (x I )

恒成

一、用一次函数的性质 对于一次函数 f ( x) kx b, x [m, n] 有： f ( m) 0 f ( m) 0 f ( x) 0恒成立 , f ( x) 0恒成立 f ( n) 0 f ( n) 0

例 1:若不等式 2 x 1 m( x 2 1) 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的范围。

x (

1 7 1 3 , )。 2 2

二、利用一元二次函数的判别式5

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对于一元二次函数 f ( x) ax 2 bx c 0(a 0, x R) 有： (1) f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ; (2) f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 例 2:若不等式 (m 1) x 2 (m 1) x 2 0 的解集是 R,求 m 的范围。

m [1,9) 。

三、利用函数的最值(或值域) (1) f ( x) m 对任意 x 都成立 f ( x) min m ; (2) f ( x) m 对任意 x 都成立 m f ( x) max 。简单计作： “大的大于最大的，小的小于最小的” 。 由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例 3: 在 ABC 中， 已知 f ( B) 4 sin B sin 2 (

4

B 求实数 m 的范围。 ) cos 2 B, 且 | f ( B) m | 2 恒成立， 2

m (1,3]

例 4: (1)求使不等式 a sin x cos x, x [0, ] 恒成立的实数 a 的范围。

a 2 。

(2)求使不等式 a sin x cos x, x

(0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 26

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a 2。

总结：我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利 用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 1 例 5:已知 a 0, a 1, f ( x) x 2 a x , 当x ( 1,1)时, 有f ( x) 恒成立 ，求实数 a 的取值范围。 2

1 1 解析：由 f ( x) x 2 a x ,得x 2 a x ,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函 2 2 1 1 数分别在 x=-1 和 x=1 处相交， 则由 12 a及( 1) 2 a 1 得到 a 分别等于 2 和 0.5, 并作出函数 2 2 1 1 y 2 x 及y ( ) x 的图象，所以，要想使函数 x 2 a x 在区间 x ( 1,1) 中恒成立，只须 y 2 x 在区 2 2 1 间 x ( 1,1) 对应的图象在 y x 2 在区间 x ( 1,1) 对应图象的上面即可。 当 a 1时, 只有a 2 才能 2

保证，而 0 a 1时，只有a

1 1 才可以，所以 a [ ,1) (1,2] 。 2 2

例 6:若当 P(m,n)为圆 x 2 ( y 1) 2 1 上任意一点时，不等式 m n c 0 恒成立，则 c 的取 值范围是( ) B、 2 1 c 2 1 D、 c 2 1

A、 1 2 c 2 1 C、 c 2 1

解 析 ： 由 m n c 0 , 可 以 看 作 是 点 P(m,n) 在 直 线 x y c 0 的 右 侧 ， 而 点 P(m,n) 在 圆x 2 ( y 1) 2 1 上 ， 实 质 相 当 于 是 x 2 ( y 1) 2 1 在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切 。 0 1 c 0 | 0 1 c | c 2 1 ,故选 D。 1 2 2 1 1

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练习 1、设 f ( x) lg1 2x a4x , 其中 a R ,如果 x ( .1) 时， f ( x) 恒有意义，求 a 的取值范围。 3

2、设函数是定义在 ( , ) 上的增函数， 如果不等式 f (1 ax x 2 ) f (2 a) 对于任意 x [0,1] 恒成立， 求实数 a 的取值范围。

3、

已知当 x R 时，不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数 a 的取值范围。

4、

设 f(x)=x2-2ax+2,当 x [-1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。

5、 、当 x (1,2)时，不等式(x-1)2<logax 恒成立，求 a 的取值范围。

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6、 、已知关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解，求实数 a 的取值范围。

7、对于满足|p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x +px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。2

3 1、 a 。 4

2、 a 1 。 3、 a<2

4、解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当 =(-2a)2-4(2-a)=4(a-1)(a+2)<0 时，即-2<a<1 时，对一切 x [-1,+ ),F(x) 0 恒成立； ⅱ)当

=4(a-1)(a+2) 0 时由图可得以下充要条件： 0 ( a 1)( a 2) 0 f ( 1) 0 即 a 3 0 a 1, 2a 1, 2 y

-1

o

x

得-3 a -2; 综上所述：a 的取值范围为[-3,1]。

5、 (数形结合)解：设 T1: f ( x) = ( x 1)2 ,T2: g ( x) log a x ,则 T1 的图象为 y 右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2), f ( x) < g ( x) 恒成立即 T1 的图 象一定要在 T2 的图象所的下方，显然 a>1,并且必须也只需 g (2) f (2) 1 故 loga2>1,a>1, 1<a 2. 6、解：令 T1:y1= x2+20x=(x+10)2-100, T2:y2=8x-6a-3,则如图 o 所示，T1 的图象为一抛物线，T2 的图象是一条斜率为定值 8,而截距不 定的直线，要使 T1 和 T2 在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 但不包括 l2) 163 当直线为 l1 时， 直线过点 (-20, 0) 此时纵截距为-6a-3=160,a= ; 6 1 当直线为 l2 时，直线过点(0,0) ,纵截距为-6a-3=0,a= ∴a 的范 2

y1=(x-1)2 y2=logax

2 y l1 l

x

9

l2 x

（四）巩固提高

一、选择题:

2,1．已知幂函数f x

的图象经过点 ，则f 4 的值等于（ ） 2 A. 16 B.

116 C. 1

2

D. 2 2．已知幂函数y xa、y xb、y xc、 y xd 在第一象限内的图象分别是C1、C2、C3、C4，

则a、b、c、d的大小关系是____________. 3．下列幂函数中，定义域为（0，＋∞）的是（

2323A. y x3

B. y x2

C. y x 3

D. y x 2

4．若a<0,则下列不等式正确的是（ ）

A. 2a 2 a 0.2a； B. 0.2a 2 a 2a； C. 2 a 0.2a 2a；D. 2a 0.2a 2 a 5．关于幂函数y x ，下列结论正确的是（ ）

A.图象都通过（0，0），（1，1）两点；B.当 0时，幂函数为增函数；

C.当 0时，图象是一条直线； D.幂函数的图象不可能出现在第四象限。

q6．若幂函数y xp

（p、q Z且p、q互质）的图象过点（－1，1），则（ ） A．p为奇数，q为偶数，p q 0 B. q为奇数，p为偶数，p q 0 C. p为奇数，q为偶数，p q 0 D. q为奇数，p为偶数，p q 0 7、已知log1a

3 log1

b3

0，则下列不等式成立的 （ ） A、0 b a 1 B、0 a b 1 C、b a 1 D、a b 1

8、方程log2(x 4) 3x的实根个数为 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3

9、设a 60.7,b 0.76,c log0.76，则 （ ） A．a b c B．b c a C．c b a D．c a b

一、选择题

1．函数f(x) e x 2

x

的零点所在的区间是（ ）

(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 2．函数f(x)=2x 3x的零点所在的一个区间是 ( ) (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）

3．若函数y f(x)在区间 a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若f(a)f(b) 0，不存在实数c (a,b)使得f(c) 0；

B．若f(a)f(b) 0，存在且只存在一个实数c (a,b)使得f(c) 0； C．若f(a)f(b) 0，有可能存在实数c (a,b)使得f(c) 0； D．若f(a)f(b) 0，有可能不存在实数c (a,b)使得f(c) 0； 4．方程lgx x 0根的个数为（ ）

A．无穷多 B．3 C．1 D．0

5．如果二次函数y x mx (m 3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）

A． 2,6 B． 2,6 C． 2,6 D． , 2 6, 6．函数f(x) 2x 3x 1零点的个数为 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设f x 3 3x 8，用二分法求方程3 3x 8 0在x 1,2 内近似解的过程中得

x

x

3

2

f 1 0,f 1.5 0,f 1.25 0, 则方程的根落在区间（ ）

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 8．直线y 3与函数y x 6x的图象的交点个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

x

9．若方程a x a 0有两个实数解，则a的取值范围是（ ） A．(1, ) B．(0,1) C．(0,2) D．(0, )

10．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A．函数f(x)在(1,2)或 2,3 内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点 C．函数f(x)在(2,5)内有零点 D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点 11．若x0是方程式 lgx x 2的解，则x0属于区间 （ ）

（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）

2

12．已知x0是函数f(x)=2x+

1

的一个零点.若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+ ），则 1 x

（A）f(x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0 （C）f(x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0

13．若x1是方程lgx x 3的解，x2是10 x 3 的解，则x1 x2的值为（ ）

A．

x

321 B． C．3 D．233

5

14．函数f(x) x x 3的实数解落在的区间是( )

A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4]

15．在y 2,y log2x,y x,这三个函数中，当0 x1 x2 1时，使f(个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

16．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，

那么下列命题中正确的是（ ）

A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间 2,16 内无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点 17．求f(x) 2x x 1零点的个数为 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

18．若方程x x 1 0在区间(a,b)(a,b Z,且b a 1)上有一根，则a b的值为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

3

3

x2

x1 x2f(x1) f(x2)

恒成立的函数的)

22

二、填空题

19．已知函数f(x) 3 x 5的零点x0 a,b ，且b a 1，a，b N，则a b

x

20．用“二分法”求方程x 2x 5 0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0 2.5，那么下一个有根的区间

是 。

21．函数f(x) lnx x 2的零点个数为。

22．设函数y f(x)的图象在 a,b 上连续，若满足 ，方程f(x) 0在 a,b 上有实根．23．已知函数f(x) x2 1，则函数f(x 1)的零点是

3

24．函数f(x)对一切实数x都满足f( x) f( x)，并且方程f(x) 0有三个实根，则这三个实根的和为 。

25．若函数f(x) 4x x a的零点个数为3，则a 。

2

1212

答案： 1.C,2.B3.C,4.D,5.D,6.C,7.B,8.A,9.A,10.C,11.D,12.B,13.C,14.B,15.B,16.C,17.A,18.C 19. 3 20.[2,2.5)21.f(a)f(b) 023.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/op61.html