函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数

y f(x)，如果存在一个不为零的常数

T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x T) f(x)都成立，那么就把函数y f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数

f( x) f(x)

f(x) f( x) 0

y f(x)关于x a对称 f(a x) f(a x)

f(a x) f(a x)也可以写成f(x) f(2a x) 或 f( x) f(2a x)

通过f(x) f(2a x)可知，y1 f(x1) f(2a x1)，y f(x)上，

简证：设点(x1,y1)在

即点(2a

若写成： （2）函数

x1,y1)也在y f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a x1,y1)关于x=a对称。得证。

f(a x) f(b x)，函数y f(x)关于直线x

(a x) (b x)a b

对称

22

y f(x)关于点(a,b)对称 f(a x) f(a x) 2b

上述关系也可以写成f 简证：设点(x1,y1)在

(2a x) f( x) 2b 或 f(2a x) f(x) 2b

y f(x)上，即y1 f(x1)，通过f(2a x) f(x) 2b可知，

，所以

f(2a x1) f(x1) 2bf(2a x1) 2b f(x1) 2b y1

，所以点

(2a x1,2b y1)也在y f(x)上，而点(2a x1,2b y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得

证。

若写成：

（3）函数

f(a x) f(b x) c，函数y f(x)关于点(

a bc

,) 对称 22

y

y f(x)关于点y b对称:假设函数关于y b对称，即关于任一个x值，都有两个

值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于有可能会出现关于

4、 周期性： （1）函数

y b对称。但在曲线c(x,y)=0，则

y b对称，比如圆c(x,y) x2 y2 4 0它会关于y=0对称。

y f(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T

11

或f(x T)

f(x)f(x)

A、

f(x T) f(x) B、f(x T)

C、

f(x

T1 f(x)T1 f(x)

或f(x ) （等式右边加负号亦成立） )

21 f(x)21 f(x)

D、其他情形 （2）函数

y f(x)

满足

f(a x) f(a x)

且

f(b x) f(b x)

，则可推出

即可

f(x) f(2a x) f[b (2a x b)] f[b (2a x b)] f[x 2(b a)]

以得到

即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，y f(x)的周期为2(b-a)，

则函数一定是周期函数”

（3）如果奇函数满足

f(x T) f(x)则可以推出其周期是

2T，且可以推出对称轴为

x

上T

T

0)(k z)（以 2kT(k z)，根据f(x) f(x 2T)可以找出其对称中心为(kT，

2

0）

f(x T) f(x)则亦可以推出周期是

2T，且可以推出对称中心为

如果偶函数满足

T

根据f(x) f(x 2T)可以推出对称轴为x T 2kT(k z) （以( 2kT,0)(k z)，

2

上T

0）

y f(x)满足f(T x) f(T x)（T 0），则函数y f(x)是以4T为周

y f(x)满足f(T x) f(T x)（T 0），则函数y f(x)

（4）如果奇函数

期的周期性函数。如果偶函数

是以2T为周期的周期性函数。

定理3：若函数

f x 在

R上满足

f(a x) f a x ，且f(b x) f b x （其中

，则函数y f x 以2 a b 为周期. a b）

定理4：若函数

f x 在

R上满足

f(a x) f a x ，且f(b x) f b x （其中

，则函数y f x 以2 a b 为周期. a b）

定理5：若函数则函数

f x 在R上满足f(a x) f a x ，且f(b x) f b x （其中a b），

y f x 以4 a b 为周期.

二、 两个函数的图象对称性

1、

y f(x)与y f(x)关于X轴对称。

换种说法：

y f(x)与y g(x)若满足f(x) g(x)，即它们关于y 0对称。

2、

y f(x)与y f( x)关于Y轴对称。

换种说法：

y f(x)与y g(x)若满足f(x) g( x)，即它们关于x 0对称。

3、

y f(x)与y f(2a x)关于直线x a对称。

换种说法：

y f(x)与y g(x)若满足f(x) g(2a x)，即它们关于x a对称。

4、

y f(x)与y 2a f(x)关于直线y a对称。

换种说法：5、

y f(x)与y g(x)若满足f(x) g(x) 2a，即它们关于y a对称。

y f(x)与y 2b f(2a x)关于点(a,b)对称。

换种说法：

y f(x)与y g(x)若满足f(x) g(2a x) 2b，即它们关于点(a,b)对称。

6、

y f(a x)与y (x b)关于直线x

a b

对称。 2

7、 函数的轴对称：

定理1：如果函数称.

y f x 满足f a x f b x ，则函数y f x 的图象关于直线x a b对

2

推论1：如果函数

y f x 满足f a x f a x ，则函数y f x 的图象关于直线x a对称. y f x 满足f x f x ，则函数y f x 的图象关于直线x 0（y轴）对称.

推论2：如果函数

特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

8、 函数的点对称：

定理2：如果函数称.

y f x 满足f a x f a x 2b，则函数y f x 的图象关于点 a,b 对

推论3：如果函数

y f x 满足f a x f a x 0，则函数y f x 的图象关于点 a,0 对称.

推论4：如果函数

y f x 满足f x f x 0，则函数y f x 的图象关于原点 0,0 对称.特别地，

推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

三、

总规律：定义在Ｒ上的函数y f x ，在对称性、周期性和奇偶

性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

四、试题

1．已知定义为R的函数

f x 满足f x f x 4 ，且函数f x 在区间 2, 上单调递增.如果

x1 2 x2，且x1 x2 4，则f x1 f x2 的值（A ）.

A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.

分析：

f x f x 4 形似周期函数f x f x 4 ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通

过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用

x 2代替x，使f x f x 4 变形为

f 2 x f x 2 .它的特征就是推论3.因此图象关于点 2,0 对称.f x 在区间 2, 上单调递增，在

区间

,2 上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.

2 x2 4 x1，且函数在 2, 上单调递增，所以 f x2 f 4 x1 ，又由f x f x 4 ，

f(4 x1) f x1 4 f x1 4 4 f x1 ，

有

f x1 f x2 f x1 f 4 x1 f x1 f x1 0.选A.

当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.

2：在R上定义的函数

f(x)是偶函数，且f(x) f(2 x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( B )

A.在区间[ 2, 1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[ 2, 1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[

2, 1]D.在区间[

2, 1]分析：由

上是减函数，在区间[3,

4]上是减函数，在区间[3,

4]

上是增函数 上是增函数

f(x) f(2 x)可知f(x)图象关于x 1对称，即推论1

可得到f(x)为周期函f(x)为偶函数图象关于x 0对称，

的应用.又因为

数且最小正周期为2，结合草图.故选B

3.定义在R上的函数

f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如右f(x)

f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x) 0在闭区间

T,T 上的根的个数记为n，则n可能为（ D ）

A.0

分析：

B.1

C.3

D.5

TTTT

f(T) f( T) 0，f( ) f() f( T) f()，

2222

TT

∴f( ) f() 0，则n可能为5，选D.

22

f x 的图象关于直线x 2和x 4都对称，且当0 x 1时，f x x.求f

19.5 的

4．已知函数

值.

分析：由推论1可知，同样，

f x 的图象关于直线x 2对称，即f 2 x f 2 x ，

f x 满足f 4 x f 4 x ，现由上述的定理3知f x 是以4为周期的函数.

f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5 f 4 0.5 f 0.5 ，同时还知f x 是偶函数，所以f 0.5 f 0.5 0.5.

f x f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f 0 ，f 1 ，f 2 ， ，f 999 中

5．

最多有（ B ）个不同的值.

A.165

B.177

C.183

D.199

分析：由已知

f x f 398 x f 2158 x f 3214 x f x 1056

f x 1760 f x 704 f x 352 .

f x f 398 x f 2158 x f 3214 x f x 1056

又有

f 2158 1056 x f 1102 x f 1102 x 1056 f 46 x ，

于是

f(x)有周期352，于是 f 0 ,f 1 , ,f 999 能在 f 0 ,f 1 , ,f 351 中找到.

又

f(x)的图像关于直线x 23对称，故这些值可以在 f 23 ,f 24 , ,f 351 中找到.又f(x)的

图像关于直线x

199对称，故这些值可以在 f 23 ,f 24 , ,f 199 中找到.共有177个.选B.

1 x

f x f1 x fn x ，f1 x f ，f2 x f ， ，fn 1 x f ，则

1 3x

6：已知

f x

f2004 2 （ A ）.

A.

1 7

B.

1

7

C.

3 5

D.3

分析：由

f x

1 xx 1 x 1

，知f1 x ，f2 x f x，f3 x f x .

1 3x3x 1 3x 1

1

. 7

f(x)为迭代周期函数，故f3n x f x ，f2004 x f x ，f2004 2 f 2

选A.

7：函数

f(x)在

R上有定义，且满足

f(x)是偶函数，且f 0 2005，g x f x 1 是奇函数，则

f 2005 的值为g x f x 1 g x f x 1

f x 1 f x 1

解：，，令

y x 1

，则

f y f y2 ，即有f x f x 2 0，令an f x ，则an an 2 0，其中a0 2005，

a1 0，an

2005 n2005 2005n2005

i i ，f 2005 a2005 i i

2 2

0. 或有f x f x 2 ，得f 2005 f 2003 f 2001 f 1999 f 1 0.

8．设函数

f(x)(x R)为奇函数，f(1)

B．1

1

,f(x 2) f(x) f(2),则f(5) （ c ） 2

C．

A．0

5 2

D．5

分析：答案为B。先令f（1）= f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（--1）=--1/2，所以， f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为c。

9． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ B ）

(A)f 1.5 f 3.5 f 6.5 ； (B)f 3.5 f 1.5 f 6.5 ； (C)f 6.5 f 3.5 f 1.5 ； (D)f 3.5 f 6.5 f 1.5

分析：答案为B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f（x）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B。 10．设函数

f(x)与g(x)的定义域是 x Rx 1 ,函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且

f(x) g(x)

1

，则f(x)等于（C） x 1

C.

2x21

A. B.

22

x 1x 1

2

2

x 1

D.

2x

2

x 1

分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(

1

)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有2

x y

f(x)+f(y)=f(1 xy

),试证明: (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

x y

)可令x=y=0,得f(0)=0, 1 xy

证明: (1)由f(x)+f(y)=f(

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(x x)=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)为奇函数.

1 x2

x2 x1

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(

1 x1x2)

x2 x1

∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴1 xx>0,

21

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<

x2 x1x2 x1

<1,由题意知f()<0，

1 x1x21 x1x2

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

12. 已知函数y＝f (x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y f(x)( 1 x 1)是奇函数y＝f (x)在[0,1]

上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值 5. ①证明：f(1) f(4) 0；②求

y f(x),x [1,4]的解析式；③求y f(x)在[4,9]上的解析式.

f(1) f(4) 0

解：∵f (x)是以5为周期的周期函数，∴f(4) f(4 5) f( 1)， 又∵y f(x)( 1 x 1)是奇函数，∴f(1) f( 1) f(4)，∴②当x [1,4]时，由题意可设f(x) a(x 2)2 5 (a 0)， 由f(1) f(4) 0得a(1 2)

2

5 a(4 2)2 5 0，∴a 2，

∴f(x) 2(x 2)2 5(1 x 4)

③∵

y f(x)( 1 x 1)是奇函数，∴f(0) 0，

又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x) kx(0 x 1)，而f(1) 2(1 2)2 5 3， ∴k 3，∴当0 从而当 1 ∴当4

x 1时，f (x)=-3x，

x 0时，f(x) f( x) 3x，故 1 x 1时，f (x)= -3x，.

f(x) f(x 5) 2[(x 5) 2]2 5 2(x 7)2 5

x 6时，有 1 x 5 1，∴0.

当6 x 9时，1 x 5 4，∴

∴

3x 15,4 x 6f(x) 2

2(x 7) 5,6 x 9

1］，都有ｆ（ｘ2

１

13．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０

２

＋ｘ

）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ(

11

),f()； 24

1

），求an． 2n1

∈［０，］，都有ｆ（ｘ

2

(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记an＝ｆ（２ｎ＋(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２所以

１

＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,

xxxx

f(x) f( ) f() f() 0,x [0,1]

222211111

f(1) f( ) f() f() [f()]2

22222

111111f() f( ) f() f() [f()]2

244444

ｆ（１）＝ａ＞0，

∴

11

f() a2,f() a4 24

11

(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R

又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，

将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ

这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵

1111f() f(n ) f[ (n 1) ] 22n2n2n f(

11

) f[(n 1) ] 2n2n

1111n

f() f() f() [f()]

2n2n2n2n1

f() a2 2

∴

1

1

f() a2n 2n

1

∵ｆ（ｘ）的一个周期是2

11

∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=a2n

2n2n

1

函数对称性与周期性几个重要结论赏析

湖南 周友良 黄爱民

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对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数

线

对称。

满足

（T

为常数）的充要条件是

的图象关于直

2、函数

线

对称。

满足

（T为常数）的充要条件是

的图象关于直

3、函数

满足

的充要条件是

图象关于直

线

对称。

4、如果函数

等的常数），则

5、如果奇函数

期的周期性函数。 6、如果偶函数

满足

且

（

， 和

是不相

是以为

为周期的周期函数。

满足

（

），则函数

是以

4T为周

满足

（

），则函数

是以

2T为周

期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线

2、曲线

3、曲线

与

关于

X轴对称。 Y轴对称。

对称。

与

关于

与

关于直线

4、曲线

5、曲线

6、曲线

7、曲线

关于直线

对称曲线为

。

关于直线

对称曲线为

。

关于直线

对称曲线为

。

关于点

对称曲线为

。

二、试试看，练练笔

1、定义在实数集上的奇函数

则

2、已知函数

3、函数

4、设函数

__________对称。 5、设函数

__________对称。

6、设

的定义域为 ________。

恒满足

且

， 时, ,

满足

，则

图象关于__________对称。

与函数

的图象关于关于__________对称。

的定义域为R，且满足

，则

的图象关于

R，且满足

，则

的图象关于

图象关于__________对称。

的定义域为R，且对任意

，有

，则

图象关

于__________对称，

7、已知函数

关于__________对称。

对一切实数x满足

，且方程

有

5个实根，

则这5个实根之和为（ ）

A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数

的定义域为

R，则下列命题中，①若

是偶函数，则

则

是偶函数，

图象关于直线

图

对称；③若

象关于y轴对称；②若

，则函数

图象关于直线

对称；④

与

图象关于直线

对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数

定义域为R，且恒满足

和

，当

时，

，求

解析式。

10、已知偶函数

定义域为R，且恒满足

中的根．

，若方程

在

上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间

附参考答案：

：

：

：

：y

轴即

：①y轴②

：①

②

：C ：②④

：

共

：方程的根为

9个根

抽象函数的对称性与周期性

一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝f(x)。 （3）f(2a＋x)＝f(－x)。

性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝－f(x)。 （3）f(2a＋x)＝－f(－x)。

注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。 y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。 二、复合函数的奇偶性。

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。 复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。 性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。 三、函数的周期性。

性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下 列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a)，

②f(x＋a)＝－f(x)， ③f(x＋a)＝1/f(x)， ④f(x＋a)＝－1/f(x)。 四、函数的对称性与周期性。

性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为 周期函数，且T＝2|a－b|。

性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。

性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称， 则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。 五、复合函数的对称性。

性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线 x＝(b-a)/2轴对称。

性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点 ((b-a)/2,0)中心对称。

推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴 轴对称。

推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点 中心对称。 六、巩固练习

1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝ f(6－x)的图象（ ）。

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称

2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x，则f(7.5)=（ ）。

A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5

3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，

f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 参考答案：D，B，C，T＝2。

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