2013年上海交大工程学院常微分方程考研讲义

第一章 绪论

[教学目标]

1． 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 2． 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 3． 理解积分曲线和方向场的概念。

[教学重难点] 重点微分方程的基本概念，难点是积分曲线和方向场。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 4学时

[教学内容] 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；建立常微分方程模型的具体方法。

[考核目标] 常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。

§1 微分方程模型

1、微分方程的产生和发展

常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。

300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 19世纪末到20世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.

20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法. 解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.

几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族. 数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

2、微分方程模型

微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。

实际问题的信息 抽象、简化 数学模型 求解 数学模型解答解释 验证 实际问题 例1 物体冷却过程的数学模型

将某物体放置于空气中，在时刻t?0时，测得它的温度为u0?150℃，10分钟后测得温度为

u1?100℃.确定物体的温度与时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为ua?24℃.

解 设物体在时刻t的温度为u?u(t),由牛顿(Neweon)冷却定律可得

du??k(u?ua) (k?0, u?ua) (1.1) dt这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1.1)改为

du??kdt (1.2) u?ua? c?为任意常数 两边积分,得到 ln(u?ua)??kt?c令ec?c,进而 u?ua?ce?kt (1.3)

?根据初始条件, 当t?0时, u?u0, 得常数c?u0?ua

于是 u?ua?(u0?ua)e?kt (1.4) 再根据条件t?10分钟时,u?u1,得到 u1?ua?(u0?ua)e?10k k?1u0?ua ln10u1?ua将u0?150,u1?100,ua?24代入上式,得到 k?1150?241ln?ln1.66?0.051 10100?2410?0.051t从而, u?24?126e (1.5)

由方程(1.5)得知,当t?20分钟时,物体的温度u2?70℃,而且当t???时, u?24℃.

温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图(1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了.事实上，经过2小时后，物体的温度已变为24℃，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.

例 2 动力学问题

物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.

解 设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为F?mg?kv2,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式

mdv?mg?kv2 (1.6) dt而且, 满足初始条件t?0时,v?0 (1.7)

例 3 电力学问题

在如图(1.2)所示的R?L?C电路,它包括电感L、电阻R和电容C.设R、L、C均为常数,电源

e(t)是时间t的已知函数,建立当开关K合上后,电流I应满足的微分方程.

解 经过电感L、电阻R和电容C的电压降分别为： L夫第二定律得到

e(t)?L因为I?dIQ、RI和，其中Q为电量，由基尔霍dtCdIQ?RI? （1.8） dtCdQ，于是有 dtd2IRdII1de(t)?? 2? （1.9）

dtLdtLCLdt这就是电流I应满足的微分方程.如果e(t)=常熟，得到

d2IRdII??0 （1.10） 2?

dtLdtLC如果又有R?0，则得到

d2II?0 （1.11） 2?

dtLC例 4 人口模型

英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798年提出了闻名于世的Malthus人口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为r（生命系数）.

在t到t??t这段时间内人口数量N?N(t)的增长量为 N(t??t)?N(t)?rN(t)?t（?t?1,r?N(t??t)?N(t)）

N(t)于是N(t)满足微分方程

将上式改写为

dN?rN （1.12） dtdN?rdt N

于是变量N和t被“分离”，两边积分得

? lnN?rt?c N?cert （1.13）

c其中c?e为任意常数.（因为N?0也是方程（1.17）的解.

?如果设初始条件为

t?t0时,N(t)?N0 （1.14） 代入上式可得c?N0e?rt0，.即方程（1.17）满足初值条件（1.19）的解为

r(t?t0) N(t)?N0e （1.15）

如果r?0，上式说明人口总数N(t)将按指数规律无限增长.将时间t以1年或10年离散化，那么可以说，人口数是以er为公比的等比数列增加的.

当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus模型在N(t)很大时是不合理的.

荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为r?1???N(t)??，即净相对增长率随N(t)的增加而减少，当N(t)?Nm时，净Nm?增长率?0.

按此假定，人口增长的方程应改为

?dNN? 1.16） ?r?1??N （

dtNm??rN2这就是Logistic模型.当Nm与N相比很大时，与rN相比可以忽略，则模型变为Malthus模型；但NmNmrN2与N相比不是很大时，这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来.我们用Logistic模型.来预测

Nm地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为r?0.029,而统计得世界人口在1960年为29.8亿，

?29.8?108?8增长率为1.85%，由Logistic模型.（1.21），有0.0185?0.029??1??，可得Nm?82.3?10，

Nm??即世界人口容量82.3亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以N?增加；当N?NmN为顶点，当N?m时人口增长率22NmN8时人口增长率减少，即人口增长到m?41.15?10时增长率将逐渐减少.这与人口在2220世纪70年代为40亿左右时增长率最大的统计结果相符.

小结：从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.以上我们只举出了常微分方程的一些简单的实例,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题.所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉.此外，常微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具. 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用；.而作为一门数学基础课程，我们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力.但是，按照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具.而解决的过程为：（1）建立方程;（2）求解方程;（3）分析问题.关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初始条件.如果指出了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了.寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题.

§2 基本概念

1、常微分方程和偏微分方程

微分方程：将自变量、未知函数以及它的导数联系起来的关系式.

常微分方程： 只含一个自变量的微分方程.

偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 方程

d2ydy?cy?f(t) （1.17） 2?b

dtdtdy?dy? ? ?t?y?0 （1.18）?dt?dt?d2yg 2?siny?0 （1.19）

dtl是常微分方程的例子，y是未知函数，仅含一个自变量t.

方程

2?2T?2T?2T 2?2?2?0 （1.20）

?x?y?z?2T?2T 2?42 （1.21）

?x?t

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