2013年中考数学模拟试题分类7：反比例函数（三）

2013年中考数学模拟试题汇编 反比例函数(三)

7．已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°23作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－ 的图象上．

x（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；

（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）； （3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？

②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况． y

1

y

Q P O

N M 解：（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0）， 显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限 ∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x

x y 13

∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝ (1－x )，M1H＝ (1－x )

2 2 ∴OH＝－x－

11

(1－x )＝－ (1＋x ) 2 2

Q1 M1 N1 P H O Ny M3 M Q x 13

∴M1（ (1＋x )，(1－x )）

2 2

23

∵点M1在反比例函数y＝－ 的图象上

x

N3 ∴

13

(1＋x )2 (1－x )＝－2 3，解得：x＝3（舍去）或x＝－3 2 2

∴M1（－1，2 3）

（2）k＝－ 3，b＝ 3m

提示：连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60° ∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60° 可得直线MM1的解析式为y＝－ 3x＋b，∴k＝－ 3

若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－ 3x＋ 3m Q3 (Q1) O M1 P N6 M6 Q6 x N1 ∴b＝ 3m

（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点

y 由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝ 3x－ 3m 232令y＝ 3x－ 3m＝－ ，得x －mx＋2＝0

N4 M5 Q5 P N5 M4 Q2 O (Q4) x x△＝m －8＝0，得m＝±2 2

∴当－2 2＜m ＜2 2 时，△＜0，满足条件的菱形有两个 当m＝±2 2 时，△＝0，满足条件的菱形有三个

2

2 N2 M2

当m ＞2 2 或m ＜－2 2 时，△＞0，满足条件的菱形有四个 ②由①知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m＝±2 2 当m＝2 2 时，点P的坐标为（2 2，0）

22

把m＝2 2 代入x －mx＋2＝0，得x －2 2x＋2＝0 解得x＝ 2，∴M1（2，－ 6） 设Q（x，0），由（1）知，解得：x＝4或x＝－4

∴M2（2－ 2，－2 3－ 6），M3（－2＋ 2，2 3＋ 6） 当m＝－2 2 时，由对称性可得：M4（－ 2， 6），M5（－2－ 2，2 3－ 6），M6（2＋

2，－2 3＋ 6）

8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．

（1）填空：B点的坐标为（______，______）；

（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由； y y （3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标． A A

B B

x x O O

解：（1）（3，1） 备用图 y k（2）∵反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A（1，3）

13

(2 2＋x )2 (2 2－x )＝－2 3 2 2

k x

x∴k＝133＝3

∴反比例函数的解析式为y＝

3

x

A P C x 图1 ∵点P在直线y＝x上，∴设P（m，m） ①若PC为平行四边形的边

∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2 ∴若点C在点P下方，则点C的坐标为（m＋2，m－2），如图1 若点C在点P上方，则点C的坐标为（m－2，m＋2），如图2 把C（m＋2，m－2）代入反比例函数的解析式，得：

3

m－2＝ ，解得m＝±7

m＋2 ∵m＞0，∴m＝7 ∴C1（7＋2，7－2）

O B y C A P B

O 图2 3 x

同理可得另一点C2（7－2，7＋2） ②若PC为平行四边形的对角线，如图3 ∵A、B关于直线y＝x对称，∴OP⊥AB

此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝ 3

x

的交点

y＝x???x1＝3?x2＝－3由 ? ?（舍去） 3 解得 ?

y＝ ?y1＝3?y2＝－3? x ?

∴C3（3，3）

综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：

y A C O P B x 图3 C1（7＋2，7－2），C2（7－2，7＋2），C3（3，3）

（3）连接AQ，设AB与OP的交点为D，如图4 ∵四边形AOBP是菱形，∴AO＝AP ∵S△AOP ＝S△AOQ ＋ S△APQ

111

∴ OP2AD＝ AO2QE＋ AP2QF 2 2 2 ∴QE＋QF＝ y OP2AD 为定值 AO

∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值 当QB⊥OP时，QB最小，所以D点即为所求的点 ∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2）

∴当QE＋QF＋QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）

A E F D Q B P O 图4 x 6

9．已知点P（m，n）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分

x别交反比例函数y＝

3

x（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．

（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；

（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；

（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

y 3 y＝x y＝2x

C A P 6

y＝x

B

x O

4

解：（1）P（m，

6

m），A（

m2

，

6

m），B（m，6

3

m） 3

y （2）∵PA＝m－ ∴S△PAB ＝

m2

＝

m

2

，PB＝

m

－

3

m

＝

m

P B x 图1 11m33

33 ＝ PA2PB＝

2 2 2 m 4

A Q O ∴△PAB的面积不变

（3）①若AP是平行四边形的边，如图1、图2 则AP∥BQ且AP＝BQ 得Q（

m2

，3

m）或Q（

3m3，） 2 m

3m 2

∵点Q在直线y＝2x上 ∴3

m＝23

m2

或

3

m＝23y A P y 解得m＝3 或m＝1（舍去负值） ∴P（3，23）或P（1，6）

②若AP是平行四边形的对角线，如图3 则QA∥PB且QA＝PB 得Q（

B Q Q A P B m2

，6

m＋

3

m）

O 图2 ∵点Q在直线y＝2x上 ∴6

x O 图3 m＋

3

m＝23

m

2

，解得m＝3（舍去负值）

∴P（3，2）

∴D（2，－6）或D（－3，4） 易知M为BD的中点

由B（1，0），D（2，－6），得M（

3

，－3） 2

由B（1，0），D（－3，4），得M（－1，2） ∴点M的坐标为（

3

，－3）或（－1，2） 2 y y＝2x－2 y E D A y＝2x－2 A B O C M D E x M O C B x 5

（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C 则∠PCB＝90° 设P（x，－12

，过P作PH⊥y轴于H，易证△CHP∽△BOC x）

12

x x －2

－12

得

－x x ＋2

＝

2

＝

1

（或

1） 2 解得x1＝－2＋2 7，x2＝－2－2 7 ∴P1（－2＋2 7，－1－ 7），P2（－2－2 7，－1＋ 7）

y y＝2x－2 A P O B x C H P 6

（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C 则∠PCB＝90° 设P（x，－12

，过P作PH⊥y轴于H，易证△CHP∽△BOC x）

12

x x －2

－12

得

－x x ＋2

＝

2

＝

1

（或

1） 2 解得x1＝－2＋2 7，x2＝－2－2 7 ∴P1（－2＋2 7，－1－ 7），P2（－2－2 7，－1＋ 7）

y y＝2x－2 A P O B x C H P 6

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