2013年中考数学模拟试题分类7:反比例函数(三)

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2013年中考数学模拟试题汇编 反比例函数(三)

7.已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P重合),以PQ为边,∠PQM=60°23作菱形PQMN,使点M落在反比例函数y=- 的图象上.

x(1)如图所示,若点P的坐标为(1,0),图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN,若另一个菱形为PQ1M1N1,求点M1的坐标;

(2)探究发现,当符合上述条件的菱形只有两个时,一个菱形的顶点M在第四象限,另一个菱形的顶点M1在第二象限.通过改变P点坐标,对直线MM1的解析式y=kx+b进行探究可得k=__________,若点P的坐标为(m,0),则b=__________(用含m的代数式表示); (3)继续探究:①若点P的坐标为(m,0),则m在什么范围时,符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个?

②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时,点M坐标的所有情况. y

1

y

Q P O

N M 解:(1)过M1作M1H⊥PQ1于H,设Q1(x,0), 显然点Q1在x轴的负半轴上,点M1在第二象限 ∵P(1,0),∴M1Q1=PQ1=1-x

x y 13

∵∠PQM1=60°,∴Q1H= (1-x ),M1H= (1-x )

2 2 ∴OH=-x-

11

(1-x )=- (1+x ) 2 2

Q1 M1 N1 P H O Ny M3 M Q x 13

∴M1( (1+x ),(1-x ))

2 2

23

∵点M1在反比例函数y=- 的图象上

x

N3 ∴

13

(1+x )2 (1-x )=-2 3,解得:x=3(舍去)或x=-3 2 2

∴M1(-1,2 3)

(2)k=- 3,b= 3m

提示:连接PM1、PM,则∠M1PQ1=∠OPN=∠MPN=60° ∴∠M1PM=180°,即M1、P、M三点共线且∠M1MN=60° 可得直线MM1的解析式为y=- 3x+b,∴k=- 3

若点P的坐标为(m,0),则直线MM1的解析式为y=- 3x+ 3m Q3 (Q1) O M1 P N6 M6 Q6 x N1 ∴b= 3m

(3)①若符合条件的菱形有三个,则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点

y 由∠QPM=60°或∠PNM=60°,P(m,0),得直线PM或直线PN的解析式为y= 3x- 3m 232令y= 3x- 3m=- ,得x -mx+2=0

N4 M5 Q5 P N5 M4 Q2 O (Q4) x x△=m -8=0,得m=±2 2

∴当-2 2<m <2 2 时,△<0,满足条件的菱形有两个 当m=±2 2 时,△=0,满足条件的菱形有三个

2

2 N2 M2

当m >2 2 或m <-2 2 时,△>0,满足条件的菱形有四个 ②由①知,当符合条件的菱形刚好有三个时,m=±2 2 当m=2 2 时,点P的坐标为(2 2,0)

22

把m=2 2 代入x -mx+2=0,得x -2 2x+2=0 解得x= 2,∴M1(2,- 6) 设Q(x,0),由(1)知,解得:x=4或x=-4

∴M2(2- 2,-2 3- 6),M3(-2+ 2,2 3+ 6) 当m=-2 2 时,由对称性可得:M4(- 2, 6),M5(-2- 2,2 3- 6),M6(2+

2,-2 3+ 6)

8.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O是坐标原点,点A坐标为(1,3),A、B两点关于直线y=x对称,反比例函数y= (x>0)图象经过点A,点P是直线y=x上一动点.

(1)填空:B点的坐标为(______,______);

(2)若点C是反比例函数图象上一点,是否存在这样的点C,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点C坐标;若不存在,请说明理由; y y (3)若点Q是线段OP上一点(Q不与O、P重合),当四边形AOBP为菱形时,过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线,垂足分别为E、F,当QE+QF+QB的值最小时,求出Q点坐标. A A

B B

x x O O

解:(1)(3,1) 备用图 y k(2)∵反比例函数y= (x>0)图象经过点A(1,3)

13

(2 2+x )2 (2 2-x )=-2 3 2 2

k x

x∴k=133=3

∴反比例函数的解析式为y=

3

x

A P C x 图1 ∵点P在直线y=x上,∴设P(m,m) ①若PC为平行四边形的边

∵点A的横坐标比点B的横坐标小2,点A的纵坐标比点B的纵坐标大2 ∴若点C在点P下方,则点C的坐标为(m+2,m-2),如图1 若点C在点P上方,则点C的坐标为(m-2,m+2),如图2 把C(m+2,m-2)代入反比例函数的解析式,得:

3

m-2= ,解得m=±7

m+2 ∵m>0,∴m=7 ∴C1(7+2,7-2)

O B y C A P B

O 图2 3 x

同理可得另一点C2(7-2,7+2) ②若PC为平行四边形的对角线,如图3 ∵A、B关于直线y=x对称,∴OP⊥AB

此时点C在直线y=x上,且为直线y=x与双曲线y= 3

x

的交点

y=x???x1=3?x2=-3由 ? ?(舍去) 3 解得 ?

y= ?y1=3?y2=-3? x ?

∴C3(3,3)

综上所述,满足条件的点C有三个,坐标分别为:

y A C O P B x 图3 C1(7+2,7-2),C2(7-2,7+2),C3(3,3)

(3)连接AQ,设AB与OP的交点为D,如图4 ∵四边形AOBP是菱形,∴AO=AP ∵S△AOP =S△AOQ + S△APQ

111

∴ OP2AD= AO2QE+ AP2QF 2 2 2 ∴QE+QF= y OP2AD 为定值 AO

∴要使QE+QF+QB的值最小,只需QB的值 当QB⊥OP时,QB最小,所以D点即为所求的点 ∵A(1,3),B(3,1),∴D(2,2)

∴当QE+QF+QB的值最小时,Q点坐标为(2,2)

A E F D Q B P O 图4 x 6

9.已知点P(m,n)是反比例函数y= (x>0)图象上的动点,PA∥x轴,PB∥y轴,分

x别交反比例函数y=

3

x(x>0)的图象于点A、B,点C是直线y=2x上的一点.

(1)请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标;

(2)在点P运动过程中,连接AB,△PAB的面积是否变化,若不变,请求出△PAB的面积;若改变,请说明理由;

(3)在点P运动过程中,以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形,若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

y 3 y=x y=2x

C A P 6

y=x

B

x O

4

解:(1)P(m,

6

m),A(

m2

6

m),B(m,6

3

m) 3

y (2)∵PA=m- ∴S△PAB =

m2

m

2

,PB=

m

3

m

m

P B x 图1 11m33

33 = PA2PB=

2 2 2 m 4

A Q O ∴△PAB的面积不变

(3)①若AP是平行四边形的边,如图1、图2 则AP∥BQ且AP=BQ 得Q(

m2

,3

m)或Q(

3m3,) 2 m

3m 2

∵点Q在直线y=2x上 ∴3

m=23

m2

3

m=23y A P y 解得m=3 或m=1(舍去负值) ∴P(3,23)或P(1,6)

②若AP是平行四边形的对角线,如图3 则QA∥PB且QA=PB 得Q(

B Q Q A P B m2

,6

m+

3

m)

O 图2 ∵点Q在直线y=2x上 ∴6

x O 图3 m+

3

m=23

m

2

,解得m=3(舍去负值)

∴P(3,2)

∴D(2,-6)或D(-3,4) 易知M为BD的中点

由B(1,0),D(2,-6),得M(

3

,-3) 2

由B(1,0),D(-3,4),得M(-1,2) ∴点M的坐标为(

3

,-3)或(-1,2) 2 y y=2x-2 y E D A y=2x-2 A B O C M D E x M O C B x 5

(3)假设存在点P,使以PB为直径的圆恰好过点C 则∠PCB=90° 设P(x,-12

,过P作PH⊥y轴于H,易证△CHP∽△BOC x)

12

x x -2

-12

-x x +2

2

1

(或

1) 2 解得x1=-2+2 7,x2=-2-2 7 ∴P1(-2+2 7,-1- 7),P2(-2-2 7,-1+ 7)

y y=2x-2 A P O B x C H P 6

(3)假设存在点P,使以PB为直径的圆恰好过点C 则∠PCB=90° 设P(x,-12

,过P作PH⊥y轴于H,易证△CHP∽△BOC x)

12

x x -2

-12

-x x +2

2

1

(或

1) 2 解得x1=-2+2 7,x2=-2-2 7 ∴P1(-2+2 7,-1- 7),P2(-2-2 7,-1+ 7)

y y=2x-2 A P O B x C H P 6

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