北邮数字信号处理课件第四章

2

北京邮电大学信息与通信工程学院

内容

概述

模拟滤波器设计

模拟滤波器的数字仿真 冲激响应不变法 双线性变换法

高通、带通和带阻IIR DF 的设计(数字频率变换) IIR 数字滤波器的实现结构 IIR 数字滤波器的应用

05_03_noisy.wav

降噪效果

滤波后信号几乎听不到噪声，但有点压抑，高频被滤除的缘故。 若噪声在所有频率上，则不可能不损伤信号而滤除噪声。

滤波后s2=sin(2*pi*t*15);s3=sin(2*pi*t*30);xlabel('Time(seconds)');

'Magnitude');grid on;

11

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2-D 示例低通滤波器

高通滤波器

12

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Original Image

Original Image

Original Image

noise reduction

Histogram equalization

edge sharpening

2-D 示例

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滤波器：选择所需的某一或某些频带的信号，而抑制不需要的其它频带的信号。

通带：滤波器中使信号通过的频带，通带边缘所对应的频率称为通带截止频率。

阻带：抑制信号或噪声通过的频带。

过渡带：从通带到阻带的过渡频率范围。

IIR DF ：概述

通带

阻带

过渡带

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分类：

输入输出信号：模拟和数字滤波器

单位取样响应或实现网络结构：IIR DF 和FIR DF 通频带：

低通滤波器：只允许低频信号通过而抑制高频信号。例如，可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。

高通滤波器：只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如，声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声，保留目标特征。

带通滤波器：允许某一频带的信号通过。例如，数字电话双音多频（DTMF）信号的解码，每个电话键产生一对音频信号，其中一个信号对按键的行编码，另一个对列编码，接收

端通过一组带通滤波器来识别每个按键。

带阻滤波器：抑制某一频带的信号。例如，从复合电视信号中滤除频分复用的色度信号，以便得到亮度信号。

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北京邮电大学信息与通信工程学院 数字域性能指标

通带截止频率ωp

通带波动A p (dB ，相对指标)或通带容限δp (绝对指标) 阻带起始频率ωs

阻带衰减A s (dB ，相对指标)或阻带容限δs (绝对指标）。

容差图

通带波动

过渡带

阻带衰减

ω

11-δp

1+δp

δs

0ωp

ωs

π

绝对指标

通带波动

过渡带

ω

Ap

0As

相对指标

|H(e j ω)|

理想特性

Butterworth, Chebyshev,Cauer(椭圆）

|H(e j ω)|/ dB

性能指标

最重要的设计参数：频带容限（波动）和频带边缘频率

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性能指标

p p s 1()1 () j p j s H e H e ωωδδωωδωωπ

??≤≤+≤??≤≤≤??由于绝对指标|H(e j ω)|max =（1＋δp ），因此，存在如下定义:

jw 10jw max

|H(e )|

20log dB

|H(e )|??p p p

s

s p

1A 20lg 0

(0)

1A 20lg

0 (1)1?δ=?>≈+δδ=?>≥+δ17

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模拟域性能指标：

假定模拟滤波器的频率响应为H a (j Ω)，则基于平方幅度响应的低通滤波器技术指标为：

2

a p 2

1H (j )11≤Ω≤ Ω≤Ω+ε

2

a 2

1

0H (j )s A ≤Ω≤

Ω≥Ω其中: ε为通带内波动系数，Ωp ：通带截止频率

A 为阻带衰减参数，Ωs ：阻带起始频率

Ωc ：3dB 截止频率性能指标

通带波动

过渡带

Ω

10Ωp Ωs

|H a (j Ω)|2

2

1

1+ε

2

1A 模拟滤波器的技术指标

Ωc 0.5

阻带衰减

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IIR DF 概述：设计过程

n 性能指标确定

按需要确定滤波器的性能要求，比如确定所要设计的滤波器是低通、高通、带通还是带阻，截止频率是多少，阻带的衰减有多大，通带的波动范围是多少等。o 系统函数确定

用一个因果稳定的系统函数(或差分方程、脉冲响应h(n)) 去逼近上述性能要求。此系统函数可分为两类，即IIR 系统函数与FIR 系统函数。p 算法设计

用一个有限精度的运算去实现这个系统函数（速度、开销、稳定性等)。这里包括选择算法结构，如级联型、并联型、正准型、横截型或频率取样型等等；还包括选择合适的字长以及选择有效的数字处理方法等。q 实施方法

硬件实现、软件实现。

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IIR DF 概述：设计方法

直接设计

累试(只适用于简单DF 的设计) ；

极点?峰值；零点?谷值

设置其零极点以达到简单的性能要求 特点：简单，但是需要经验。

优化设计CAD

系统函数H(z) 的系数a k , b k 或零极点c i , d i 等参数，可采用优化设计方法确定。 步骤：

n 优化原则：最小均方误差准则，绝对误差准则等;o 赋予初值;

p 根据优化准则计算误差;

q 改变参数赋值，再次计算误差，如此迭代下去，直至误差达到最小。

0.2

0.40.60.80.60.81.21.41.61.8

frequency Unit:pi

M Magnitude Response

-1

-0.5

00.5

1-1

-0.8-0.6-0.4-0.20

0.20.40.60.81

Real Part

m a g n a P a Pole-Zero Plot

0.45

w=0

w=π/2

w=π

e j

w

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(模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程)

模拟-数字滤波器变换方法：冲激响应不变法和双线性变换法

模拟原型法设计流程

用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器（模拟原型法）

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模拟原型法设计流程

(1) 设计归一化的模拟低通滤波器，得到传输函数

)s (H 1(2) 把变换为所要求的数字低通、高通、带通或带阻滤波器的传输函数)s (H 1)

z (H d 频率变换

模拟低通滤波器

设计)

(1s H 模拟频率变换模拟数字滤波器变换)

s (H )s (H d →1)

z (H )s (H d d →IIR 滤波器设计

模拟频率变换

模拟低通滤波器设计)

s (H 1模拟数字滤波器变换数字频率变换)

z (H )s (H 11→)

z (H )z (H d →1IIR 滤波器设计

数字频率变换

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利用模拟原型法设计数字滤波器，遵循以下几个步骤：

所要求的数字滤波器指标；

设计性能相似的模拟滤波器的系统函数H a (S)； 进行滤波器变换（由s 平面?z 平面），得到DF 的系统函数H(z ）；

模拟/数字滤波器变换方法：冲激响应不变法和双线性变换法。也就是根据什么准则把H a (s) 转换为H(z)。

进行数字频率变换，从数字低通滤波器中得到其它类型的数字滤波器。

模拟原型法设计流程

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为什么要研究模拟滤波器？

DF 是数字信号处理中极为重要的应用，但DF 是近几十年发展起来的，它在很多方面要使用模拟滤波器的概念和知识； 模拟滤波器本身也很有用。

因此，在研究DF 之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和用逼近方法求其转移函数。

为什么设计滤波器必须用逼近的方法？

这是由于滤波器的理想特性是不能实现的，而必须用逼近的方法。

模拟滤波器的设计

通带波动过渡带

阻带衰减

Ω

Ωp Ωs

|H(j Ω)|

理想特性

25

北京邮电大学信息与通信工程学院 理想滤波器

设一滤波器输入信号为x(t) ，其输出为y(t)，系统的单位冲激响应为h(t)。若y(t) = kx(t-t d )，k 为常数，则为理想滤波器

频率响应定义为：

()()

()()()

d d

j t j t Y j ke X j H j ke X j X j ?Ω?ΩΩΩΩ===ΩΩ理想滤波器的频率响应

x(t)

y(t)=kx(t-t d )

理想滤波

k

Arg[H(j Ω)]=-Ωt d 相频特性

幅频特性

Ω

|H(j Ω)|

Ω

Ωp 26

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理想滤波器的频率响应

理想滤波器的特性

n 通带内对所有频率分量的放大倍数是相同的（这种

特性称为全通）：|H(j Ω)| = k o 线性相位：arg[H(j Ω)] = -Ωt d p 在阻带范围内|H(j Ω)| = 0q 过渡带的宽度为0。

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理想滤波器的频率响应

可实现性？

理想低通滤波器的冲激响应可以直接由它的频率响应进行傅立叶反变换得到。我们知道，矩形函数和Sinc 函数是一对傅立叶变换。因此，理想低通滤波器的冲激响应为一个Sinc(x) 函数，具有无穷长的持续时间。 在实际应用中，我们如何构建一个理想滤波器？也就是能否得到一个具有因果冲激响应的理想滤波器？答案是否定的。如果我们所要求的滤波器是因果的和实际可实现的，则它就不是理想的。

在离散时间系统中，有类似的理想数字滤波器定义。

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[]

()()() ()arg ()j H j H j e H j ??ΩΩ=ΩΩ=Ω理想滤波器的频率响应

频率响应的性质

在模拟滤波设计中

n 采用不同的多项式去逼近给定的滤波器幅度频率响应o 然后由设计的幅度频率响应，得到模拟滤波器的系统函数H(s)。

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分析证明:

在因果系统中，

[]0

()()()cos()sin()()()

j t H j h t e dt h t t j t dt

P jQ ∞

∞

?ΩΩ==Ω?Ω=Ω?Ω∫∫(1) |H(j Ω)| 是Ω的偶函数理想滤波器的频率响应

如何由幅度频率响应求系统函数H(s) 呢？

式中P(Ω) 是Ω的偶函数，Q(Ω) 是Ω的奇函数。

P 2(Ω) 和Q 2(Ω) 都是Ω的偶函数，故|H(j Ω)| 是Ω的偶函数

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理想滤波器的频率响应

1.若要求稳定且因果，则?将左半平面的极点作为H a (s) 的极点；

2.若要求最小相位，则?将左半平面的零点作为H a (s) 的零点；

2

2

()()H (s)H ((-s)=)

()

|

|

|

s j s j j s H s H s H j H s ?=Ω

==Ω

Ω

∴

=?=?Ω ()()()()()()

H j p jQ p jQ H j ??Ω=?Ω??Ω=Ω+Ω=Ω∵2

()()()()()H j H j H j H j H j ?∴?Ω?Ω=Ω?Ω=Ω(幅度平方函数)

目的：求模拟滤波器的系统函数H a (s)；

H a (s)的构造：性能指标?|H a (j Ω)|2?|H(s)|2s=j Ω?零、极点的分配?H a (s)

逼近多项式

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(2) 系统函数H(s) 的确定

因为冲激响应h(t) 是实函数的，因而H(s) 的极点（或零点）必成共轭对存在。

H(s)H(-s) 的极、零点分布如图所示，成象限对称，虚轴上零点上的“2”表示二阶零点。 H(s)H(-s) 在虚轴上的极点或零点一定是二阶的，但对于稳定系统，H(s)H(-s) 在虚轴上没有极点。

理想滤波器的频率响应

2

2

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由幅度平方函数|H(j Ω)|2确定H(s) 的方法如下：

由得到象限对称的s 平面函数；

求零极点：将H(s)H(-s) 因式分解，得到各个零点和极点； 极点选择：任何可实现的滤波器都是稳定的，因此将左半平面的

极点归于H(s)，右半平面的极点归于H(-s)； 零点选择：如果要求最小相位延时特性，则H(s) 应取左半平面上

的零点；如果没有特性要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为H(s) 的零点；j Ω轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半（应为共轭对）属于H(s)；

增益：按照H(j Ω)和H(s) 的低频特性的对比，即H(j Ω)|Ω=0 = H(s)|s=0，或高频特性的对比，确定系统的增益常数K 0；

由求出的H(s) 的零点、极点和增益常数，确定系统函数H(s)。

理想滤波器的频率响应

2

2

2|()|()()s H j H s H s Ω

=?Ω=?010

01()()()()()()()

m n s z s z s z H s K s p s p s p ???=??? 33

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例：根据以下幅度平方函数确定系统函数H(s)

解：

其极点为：其零点为：

理想滤波器的频率响应

422424(64)|()|10169

H j Ω+Ω=

Ω?Ω+44

24(64)2

()()()

22

10169

s H s H s H j s s s +?=Ω=

++Ω=?23,

23s j s j

=±=?±22, 22s j s j

=±=?±34

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为了系统稳定，选择：左半平面极点

一对共轭零点

作为H(s) 的零、极点，并设增益常数为K 0，则H(s) 为：

H(j Ω)和H(s) 的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由H(j Ω)|Ω=0 = H(s)|s=0的条件可得增益常数为：

K 0= 2

最后得到H(s) 为：

理想滤波器的频率响应

23s j =?±22s j

=?±202(48)()413

K s s H s s s ++=

++2222

2(48)2816

()413413

s s s s H s s s s s ++++=

=++++35

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Ω

Ωs

Ωp 00

|H(j Ω)|A min

A max 通带

过渡带

阻带

A s

问题的提出：滤波器的理想特性无法实现，只能是近似实现。

模拟滤波器的幅频特性

模拟滤波器特性的逼近

36

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模拟滤波器特性的逼近

技术要求

LPF 的技术要求包括：

n 截止频率（或通带的频率上限）Ωp o 通带内所允许的最大衰减或波动αp p 阻带下限频率Ωs

q 阻带内所要求的最小衰减αs

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2

12()

()10lg()10lg ()

110log

20lg ()

2

()P

X j P Y j H j H j αΩΩ==Ω==?ΩΩ注意：这里只提到幅频特性而没有相位问题。因为数字滤

波器的设计中用到的是模拟滤波器的幅频特性，而不考虑其相频特性或群时延。

模拟滤波器特性的逼近

衰减特性

衰减特性α(Ω) 是单调变化的或者是波纹状变化。假设P 1、P 2分别为滤波器输入、输出功率，则定义：

38

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21

2211()()

P k j P H j =+Ω=Ω2

2

1()1()

H j k j Ω=

+Ω2

2

1

()10lg

10lg 1()()

k j H j α??

Ω==+Ω??Ω则有：

模拟滤波器特性的逼近

特征函数

上式不易直接用多项式和有理式来逼近。因此，需要找一

个能够用多项式或有理式逼近的函数，以K(j Ω) 表示，称之为特征函数。()2

10

()10

1

k j αΩΩ=?39

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模拟滤波器特性的逼近

逼近方法

若给定了衰减α(Ω) 或|H d (j Ω)|，则找某种方法逼近

α(Ω) 或|H d (j Ω)|。

使|k(j Ω)|2等于一个以Ω2为自变量的多项式或有理式。

由此，根据逼近函数（多项式或有理式）的不同，有多种不同类型的滤波器：

n 巴特沃思逼近

o 切比雪夫逼近p 逆切比雪夫逼近q 椭圆逼近r ………..

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目的：相应于特定的逼近方法，制定图表以概括所有的逼近结果，从

而简化滤波器的设计。

优点：归一化后，Filter 的计算方法不因频率的绝对高低而异，因此，

归一化后的图表曲线都能统一使用。

模拟滤波器特性的逼近

例如:（1）531030,,,p p s s kHz dB kHz dB

??Ω==Ω==以Ωp 为参考频率，以λ表示归一化频率。

1012

5, s p s p kHz

kHz

λλΩ====Ω（2）3036030,,,p

p s s kHz dB kHz dB

??Ω==Ω==以Ωp 为参考频率，以λ表示归一化频率。

12

,s

p s p

λλΩ===Ω 归一化：按某一特定频率(参考频率) 实施标称化

41

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巴特沃思低通逼近

幅度平方函数：

2

21

()1a N

c H j Ω=

??Ω+??Ω??

Ωc : 3dB 截止频率，单位为rad/s N : 待确定的滤波器阶数

Ω

整个频带内幅度特性单调下降

Ωs

Ωc A p 0|H(j Ω)|

A s

Ωp 3dB

特点：

（1）3dB 点及其不变性；（2）单调下降性；（3）最大平坦性；

N 越大，越逼近于理想低通滤波器

42

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因此，称Ωc 为3dB 带宽（或半功率点截止频率）3dB 点与N 值无关，称为3dB 不变性。

3dB 带宽

2

2

1

2

1

101032

=∴=

?=?≈∵c |H(j )|lg |H(j )|lg dB

ΩΩΩΩ巴特沃思低通逼近

ΩΩc

1

|H(j Ω)|

0.707

N=2

N=4

N=6

巴特沃思幅频特性和阶数的关系

2

21()1a N

c H j Ω=

??Ω+??Ω??

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最平坦函数

因此B 型特性也称为最平坦特性滤波器。 N 的影响

N 越大，B 型滤波器的特性

越接近理想的矩行形状(越陡峭)。 有限平面只有极点。

（“全极点型”滤波器）

22010 |H(j )| |H(j )|Ω→Ω→Ω→∞Ω→当，；当，220011c c

c c

|H(j )|N |H(j )|N →→Ω

<Ω<Ω<<ΩΩΩ

Ω>Ω<

ΩΩ； 随着的增大而趋于平坦； 随着 的增大而快速下降巴特沃思低通逼近

ΩΩc

1

|H(j Ω)|

0.707

N=2

N=4

N=6

巴特沃思幅频特性和阶数的关系

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设计过程

n 性能指标?求滤波器阶数N ；o 性能指标?3dB 频率点Ωc

p 计算极点或查表?归一化系统函数H(p)；q 计算或反归一化?系统函数H(s)；

LPF 技术要求包括：n 通带频率Ωp

o 通带内衰减A p ＝3dB p 阻带下限频率Ωs q 阻带内最小衰减A s

巴特沃思滤波器

45

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巴特沃思滤波器

n 由给定的通带指标Ωp 、A p 和阻带Ωs 、A s ，求得滤波器的阶数N ：

LPF 技术要求包括：n 通带频率Ωp

o 通带内最大衰减A p p 阻带下限频率Ωs q 阻带内最小衰减A s

2

21

1()(/)N

c H j Ω=

+ΩΩ2210lg 1 , 10lg 1N

N

p s p s c c A A ????

Ω??

??

Ω????=+=+??

??

ΩΩ??????

??

????

0.120.1101)101

s

p

A N s A p Ω?=Ω?（0.10.1101lg 10

1N=2lg()s p A A s p ??

?????

????

???Ω??

??

Ω??

滤波器阶数

46

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巴特沃思滤波器

o 如果给定的是其它频率处（例如Ωp ）的指标，则由下列公式求得3dB 截止频率Ωc ：01210

1

.p

p

c A N

ΩΩ=

?0.12101

s s

c A N

ΩΩ=

?由此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。

由此式确定的滤波器通带截止频率处正好满足设计要求。

类似地，也可以由阻带起始频率Ωs 处的衰减As 求得3dB 截止频率Ωc ：

得到滤波器阶数N 后，由A p 或A s 求得3dB 截止频率Ωc 由通带截止频率Ωp 处的衰减A p 求得3dB 截止频率Ωc ：

210lg 1

N p c p A ??

Ω????=+????????

Ω210lg 1c N s s A ??

??Ω??

=+????????

Ω47

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p 求归一化系统函数H(p)

得到了巴特沃思滤波器的阶数N 后，就可以确定零极点形式的

传输函数H(s)。

2|()|()()|s j H j H s H s =Ω

Ω=?221

1

111/()()(/)()(/)N

N

N

c c s j

H s H s s Ω=?==

+ΩΩ+?Ω把拉普拉斯变量s 归一化为p = s/Ωc ，则

21

11()()()()N N

H p H p p ?=

+?巴特沃思滤波器

48

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2122

() k=0,2N-.1

1,...,k j j

N

k p e e

π

π+=令上式分母多项式等于零，得到2N 个极点：

极点的分布特性

2N 个极点均匀地分布在S 平面上半径为1 的圆周上(非归一化时半径为Ωc )；

极点之间相距π/N 弧度；

这些极点一半位于S 平面的左半平面，另一半位于S 平面的右半平面；

极点不落在虚轴上，从π/2 + π/2N 弧度开始。 N 为奇数，实轴上有极点，N 为偶数，实轴上无极点

巴特沃思滤波器

49

北京邮电大学信息与通信工程学院1

()()|

()

c

N

c s N p k

c

k H s H p s p ?=

Ω=Ω==

?Ω

∏q 求系统函数H(s)

把p=s/Ωc 带入H(p) 得到实际需要的H(s)为：

为了使得系统稳定，取p k 在S 平面左半平面的N 个根

作为H(p) 的极点，即：2122

() k=0,1,..1

..,N-k j

j

N

k p e e

π

π+=0111

()()()()

N H p p p p p p p ?=

??? 巴特沃思滤波器

50

北京邮电大学信息与通信工程学院

()()

c

s p H s H p =

Ω= 图表法

模拟滤波器理论已相当成熟，实际中我们更多的是采

用查表法，其设计步骤概括起来有以下几个方面：n 将频率归一化λ（注意：给出的表格都是以

3dB 点频率Ωc 为参考

频率，如果给定的指标不是Ωc ，则需要根据前面的公式计算Ωc ）；

o 由归一化频率—幅频特性曲线(见图4.7)，查得阶数N ；p 查表4.2，得H(p) 的分母多项式；

q 把p=s/Ωc 代入分母多项式中，得到对应于真实频率的系统函数H(s)：

巴特沃思滤波器

51

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巴特沃思滤波器52

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巴特沃思滤波器

53

北京邮电大学信息与通信工程学院

通带截止频率:2(5)

3dB c kHz πΩ=频率

通带最大衰减3P A dB

=阻带起始频率: 2(10)

s kHz πΩ=阻带最小衰减:

30s A d B

=例：技术要求：

巴特沃思滤波器

54

北京邮电大学信息与通信工程学院

1) 将各频率归一化

2) 求N ：查归一化幅频特性图(图4.7) ，得N=5；3) 查表4.2，得H(p) 的分母多项式(c 栏）

22(1)(0.61803401)( 1.61803401)

p p p p p +++++4) 对应于真实频率的转移函数H(s)用4

10c s s p π=

=

Ω?代入分母多项式，得:

图表法

2,1s

s p c

λλΩ=

==Ω巴特沃思滤波器

()

520

24

2

4

4224410()(10)0.618(10)(10) 1.618(10)10H s s s s s s ππππππ?=

????+?+?+?+?+???????

55

北京邮电大学信息与通信工程学院 计算法

巴特沃思滤波器

2

2211

1110000=

=

++()(/)(/)N N

c H j πΩΩΩΩ由Ωs 和As 得滤波器的阶数为：

01010130101101101498

222...lg lg()

.lg lg s

p

A A s c N ΩΩ×?????

????≥==??

????

取整后，得N=5。

H(p)H(-p) 的极点为：

212110

22

2()()

= k=0,1,....,9

k k j

j

j

j N

k p e e

e e

ππ

ππ

++=56

北京邮电大学信息与通信工程学院

巴特沃思滤波器

当0≤k ≤4 时，p k 的相角处于π/2 和3π/2 之间，p k 在S 平面的左半平面。取这些根作为H(p) 的极点，系统是稳定的。

3579210

210

210

210

210

01234()()()()(),,,,j j j j j p e

p e

p e

p e

p e

ππ

ππππππππ+++++=====所以，

35456575221

11

1061801161801////()()()()()()

()(.)(.)

j j j j H p p e p e p p e p e p p p p p ππππ=

??+??=

+++++最后

()()520

22

42442441010061801010161801010()()|

().().()c

s p H s H p s s s s ππππππ=

Ω==

????

+?+??+?+?+?????????

解：例：导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设s

/rad c 1=Ω6

11)()(s s H s H a a ?=

?6

2,1]6

1221[ ==?+k e

s k j π幅度平方函数是：各极点满足

6

2

2

11Ω+=

Ω=Ω)j (H )(A 令：,则有：

2

2

s

?=Ω1

==j e s 23213

21j e

s j +?==π

1

2?==πj e s 2

321343j

e s j ??==π2

321354j e

s j ?==π313

16j e

s j +==π

59

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[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s ’) ：求滤波器的阶数

1）Wp ，通带截止频率；Ws ，阻带起始频率；Rp ，通带最大衰减；Rs ，阻

带最小衰减；在数字滤波器中，wp 和ws 在0~1 之间，而在模拟滤波器中，wp 和ws 可以大于1。2）n, Butterworth 模拟滤波器的阶数；Wn ，3dB 频率点。[z,p,k] = buttap(n)：求归一化滤波器系统函数的零、极点和增益1）n ，Butterworth 低通原型滤波器的阶数；

2）z ，Butterworth 低通原型滤波器的零点，z 是空矩阵（从Butterworth 滤

波器的定义可知，其分子多项式为1，零点在∞）；p ，Butterworth 低通原型滤波器的极点；k ，Butterworth 低通原型滤波器的增益。

12()()()()()()

n z p k

H p p p p p p p p p ==

??? Matlab 实现

60

北京邮电大学信息与通信工程学院

Butterworth 模拟滤波器设计

2

21

1()(/)N

c H j Ω=

+ΩΩ010110110

12..lg lg s p

A A s p N ???????

?≥??Ω????Ω??

1

()()|

()

c

N

c a s N p k

c

k H s H p s p ?=Ω=Ω==

?Ω

∏特点：

（1）3dB 点及其不变性；（2）单调下降性；（3）最大平坦性；

2122

k=0,1,....,N-1

()

k j

j

N

k p e e

π

π+=σ

S 平面s=σ+j Ω

Ω

整个频带内幅度特性单调下降

Ωs

Ωc A p 0|H(j Ω)|

A s

Ωp 3dB

61

北京邮电大学信息与通信工程学院

巴特沃思滤波器小结

B 型滤波器的缺点：

0 频率点附近幅度特性接近理想

3dB 频率处逼近特性不好

解决办法：

将指标精度均匀分布在通带内、阻带内或通带阻带内，即选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。

分析：

将特征函数在0 频率点处的N 个过零点均匀分布在通带内，使幅度函数在通带内多处出现最大值1，以此改善通带总特性。C 型滤波器具有这种特性。

62

北京邮电大学信息与通信工程学院

目的：获取更为快速衰落的幅频特性.

2

2

211()(/)

N p H j C εΩ=+ΩΩε表示|H(j Ω)| 通带内波动范围

幅度平方函数

Ωp : 通带截止频率

切比雪夫滤波器

Chebyshev LPF 设计

Ω

Ωs Ωp 0|H(j Ω)|

通带内等波纹波动

阻带内幅度特性单调下降

A p

A s

C N (Ω/Ωp ) 是N 阶切比雪夫函数或多项式

63

北京邮电大学信息与通信工程学院

1）无论N 为何值，都经过2

11p (,

)

εΩ+2）通带内等波纹；通带外单调下降，下降速度高于同阶的

Butterworth 滤波器；3）2

, (0)1;1, (0)1N H j N H j ε====

+奇数偶数λ

1.0

0|H(j λ)|

1.0

2

1

1ε+n 为偶数(n=6)

切比雪夫滤波器

Chebyshev LPF 特点

2

2

21

1()(/)

N p H j C εΩ=

+ΩΩN ：过中间点的次数

N+1：极值点的数量

λ

1.0

0|H(j λ)|

1.0

n 为奇数(n=5)

2

1

1ε+64

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Chebyshev 多项式

1)由上式可知，切比雪夫滤波器的通带位于频率0≤x ≤1范围内，而阻带位于x>1 范围内；

2)在通带内是等幅度波动的，N 越大波动的次数越多；

3)在通带外是单调上升函数，N 越大上升越快。

x

0C N (x)-1

1

1N=3

N=2

N=4N=5

N=2

N=3N=4N=5[][]1

co cos cos , 0x 1

(s ar cos ,

) N h N h N arc x C x x x >?≤≤=?

?切比雪夫滤波器

当x ≥1 时，即当x 从1 开始无限增长时，C N (x) 定义为双曲余弦函数cosh 的表达式，是无穷单调增加的。利用迭代递归关系，可以得到各阶切比雪夫函数

的曲线。

65

北京邮电大学信息与通信工程学院

Chebyshev 多项式的迭代关系

切比雪夫函数可以写成如下多项式的形式：

切比雪夫滤波器

111122()()cos[()cos ]cos[()cos ]

cos(cos )cos( cos )sin(cos )sin( cos )cos(cos )cos( cos )sin(cos )sin( cos )cos(cos )cos( cos )()

N N N C x C x N arc x N arc x arc x N arc x arc x N arc x arc x N arc x arc x N arc x arc x N arc x xC x +?+=++?=?+?+???=?=即

112()()()

N N N C x xC x C x +?=?其中011(),

()C x C x x

==则利用上述递归关系，得到更高阶的切比雪夫多项式：

2210332142432()2()()2 1 ()

()2()()43 ()()2()()88 1 ()

C x xC x C x x C x xC x C x x x C x xC x C x x x =?=?=?=?=?=?+偶对称奇对称偶对称C N (Ω) 是Ω的N 阶多项式，其首项系数为2N-1。

n=1n=0

n=2C N (x)x

-1

11

-1

n=5

n=3n=466

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切比雪夫滤波器

设计过程

n 性能指标?求波动参数ε；

o 性能指标?求滤波器阶数N ；p 计算极点或查表?归一化系统函数H(p)；q 计算或反归一化?系统函数H(s)；

n 由给定的通带指标Ωp 和A p ，求得通带内的参量ε：

LPF 技术要求包括：

n 通带频率Ωp

o 通带内最大衰减A p p 阻带下限频率Ωs

q 阻带内最小衰减A s 0.1101

p

A ε=?2

22

222110lg ()10lg 1(/)10lg(1(/))

10lg(1)

p

p N p N p A H j C C εεεΩ=Ω??=?Ω=???+ΩΩ????=+ΩΩ=+3,1

p A dB ε==

67

北京邮电大学信息与通信工程学院

()()()

22222

2

101101101lg (/)

lg (/)lg cos [ arcosh(/)]

s N p N

s

p

s

p A C C h N εεε=+ΩΩ=+ΩΩ=+Ω

Ω010101101101101...arcos arcos arcos [/]arcos [/]

s s p

A A A s p s p h h N h h ε????

???????????????=

=ΩΩΩΩ切比雪夫滤波器

o 求滤波器的阶数N

根据给定的滤波器器阻带起始频率Ωs 和阻带最小衰减A s (dB)，可得：

注意：上取整

21cos ()ln()ar h y y y =+

?68

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p 求滤波器归一化系统函数H(p)

确定了ε和N 后，Chebyshev LPF 传输函数H(s)：

切比雪夫滤波器

2

2221

1

11/()()(/)

(

)N p s j

N p

H s H s s C C j εεΩ=?=

=

+ΩΩ+Ω将H(s) 表示为归一化形式H(p) ，令p=s/Ωp ，且令H(p) 的分母多项式为零，得：

[]221

10 cos cos()N p C N arc jp j

j εε??+=?=±????

?得

22212122 sin sin cos cos k k k p h j h N N φπφπ????

++????=+????????

????????式中

211

01221sin ,,,......),(ar h k N N φε

，

=?=1sinh()2x

x y e e ???=

??

?1cosh()2x

x y e e ???=

+?

?sinh()?

ar y =69

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切比雪夫滤波器

如果令2

2

221sin ()cos ()k k

h h σλφφ????+=????????

k k k

p j σλ=+，则

这是一个椭圆方程，这意味着由切比雪夫逼近得到的极点位于S 平面的一个椭圆上。由作图法确定切比雪夫滤波器的极点分布:

(1)分别以半径为a Ωp 和b Ωp 画内外两个圆；

(2)把两个圆周按间隔π/N 等分，各有2N 个点。这些点是虚轴对称的，且一定都不落在虚轴上。N 为奇数时，有落在实轴上的点；N 为偶数时，实轴上也没有；

(3)椭圆上每个极点的纵坐标（垂直）由外圆的相应点的垂直坐标确定，每个极点的横（水平）坐标由内圆的对应点的水平坐标确定。

11

11

a=sin (

arcsin )cos (arcsin )

h h N b h h N εε

=(1) 2N 个极点分布在椭圆上；

(2) 对称性；

(3)选择位于s 左半平面的极点。

S 平面

aΩp

bΩp

/3

π70

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为了系统稳定，选择位于S 平面左平面的p k 作为H(p) 的极点，并且考虑到切比雪夫多项式首项系数的特点，最后得：

切比雪夫滤波器

1

1

()()

N N 1k k H p 2p p ε??==

?∏其中p k 为实部小于零的极点（对应左半平面）：

22212122sin sin cos cos k k k p h j h N N φπφπ????

++????=?+????????

????????

式中φ2与k 只取正值，k ＝0, 1, 2,…., N-1

。

q 求滤波器系统函数H(s)

11

2

()()

()

p

N

p

s

N p N k

p

k H s H p s p εΩΩ

Ω?=?===

?∏71

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()()

p

s p H s H p Ω=

=切比雪夫滤波器

查表法

n 归一化λp , λs ;

o 查曲线(图4.10)，确定滤波器的阶数N;p 查表（表4.3~4.5 上部），得ε

q 查表(表4.3~4.5)，得H(P) 分母多项式的因式形式，求得H(p)；r 求得

注意：

这里的切比雪夫表格曲线，没有特指3dB 频率点，即w p 可以是任意频率点（0.2dB 、1dB 、3dB ）。

72

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归一化频率λ

归一化频率λ

（a ）通带波纹0.2dB (b) 通带波纹1dB

|H(j λ)| (dB)|H(j λ)| (dB)

切比雪夫滤波器

73

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|H(j λ)| (dB)

归一化频率λ（c ）通带波纹3dB

图4.10 切比雪夫低通滤波器归一化的阻带幅频特性（n 为阶数，从1到15）

切比雪夫滤波器74

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切比雪夫滤波器

75

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切比雪夫滤波器76

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切比雪夫滤波器

77

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切比雪夫滤波器

例：设计一个满足下列技术指标的低通切比雪夫滤波器，

技术要求：通频带最高频率f p =3MHz ，通带衰减要小于0.1dB ，阻带起始频率f s =12MHz ，阻带内衰减要大于60dB 。

(1)首先频率归一化

(2)求滤波器的阶数N 及ε

14, s

p s p

λλΩΩ==

=011200110110465

10110101526

..arcos .,cosh .s P

A s

A h N N ar ελε取???

??

??=

===?=?=78

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(3) 求H(p)

由p k 表达式求得p k ，代入上式得

(4) 求H(s)

5

5111

015262()().()

k k H p p p ?==

??∏221

2441053890333111949087198063592().(.)(..)(..)

H p p p p p p =

+++++)

1025946.21064368.1)(102459.41027899.6)(1001580.1(10974852.0)

()(1472146

2

7

35

×+×+×+×+×+×=

=Ω=

s s s s s p H s H P

s p 切比雪夫滤波器

79

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2(5),3,2(10),30p p s s kHz A dB kHz A dB

ππΩ==Ω==例：设计一个模拟chebyshev 滤波器，技术要求如下：

切比雪夫滤波器

同样的性能指标C 型滤波器所用的阶数比B 型要小

80

北京邮电大学信息与通信工程学院(1) 归一化λp =1, λs

=2

(2) 查图4.10 中曲线，得N=4；(4) 查表4.5 栏c ，得H(p) 的分母多项式：

222209030870170341019598004112390125297

0903087017034101959800411239N-1

1

()2(..)(..)

. (..)(..)H p p p p p p p p p ε=

++++=

++++(5) 求H(s)17

8

4

2842

()()

1.13969108.9132100.535010 1.934410 1.291810P

s p H s H p s s s s =Ω=×=

????×+×+×+×+????

切比雪夫滤波器

(3) 根据A p =3dB ，查表4.5，得

ε=0.99763

81

北京邮电大学信息与通信工程学院

[n,Wn] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s ’)：求滤波器的阶数

1）Wp ，通带截止频率；Ws ，阻带起始频率；Rp ，通带最大衰减；Rs ，阻

带最小衰减；在数字滤波器中，wp 和ws 在0~1 之间，而在模拟滤波器中，wp 和ws 可以大于1。2）n, Chebyshev 模拟滤波器的阶数；

[z,p,k] = cheb1ap(n, Rp)：求归一化滤波器系统函数的零、极点和增益1）n ，Chebyshev 低通原型滤波器的阶数；Rp ，通带最大衰减；

2）z ，Chebyshev 低通原型滤波器的零点，是空矩阵[]；p ，Chebyshev 低

通原型滤波器的极点；k ，Chebyshev 低通原型滤波器的增益；

12()()()()()()

n z p k

H p p p p p p p p p ==

??? 切比雪夫滤波器

Chebyshev LPF 的Matlab 实现

82

北京邮电大学信息与通信工程学院

Chebyshev 模拟滤波器设计

2

2

21

1()(/)

N p H j C εΩ=

+ΩΩΩ

Ωs

Ωp 0|H(j Ω)|

通带内等波纹波动

阻带内幅度特

性单调下降

A p

A s

切比雪夫滤波器小结

0110

1

.p

A ε=?01101.arcos arcos [/]

s A s p h N h ε??

???

????=

ΩΩ22212122k=0,1,....,N-1

sin sin cos cos k k k p h j h N N φπφπ????

++????=?+????????????????11

2()()

()

p

N

p

a s N p N k

p

k H S H p s p ε?=

?Ω===

?Ω

Ω∏Ω

σ

S 平面s=σ+j Ω

83

北京邮电大学信息与通信工程学院

Cauer 滤波器又称为椭圆滤波器，原因是其振幅特性是由雅可比椭圆函数来决定。

J N (Ω)是雅可比椭圆函数，N 为滤波器阶数。

特点：在通带和阻带内都有等波纹的振幅特性。过渡

带比较陡。

Cauer 滤波器特性

2

2

2

1()1()

N H j J εΩ=

+Ω84

北京邮电大学信息与通信工程学院

缺点：响应特性对参数的的灵敏度大。 在Matlab 中，可以用

[n,Wn]=ellipod(wp,ws,Rp,Rs,’s’)

求出所需的最小椭圆模拟滤波器的阶数。

此函数也可以用于带通，高通，带阻等滤波器的设计。

Cauer 滤波器特性

85

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三种滤波器的特性比较

2

4

6

8

10

00.511.5Magnitude Part

M a g n i t u d e

Butterworth

02

4

6

8

10

00.20.40.60.81Magnitude Part

M a g n i t u d e

Chebyshev

02

4

6

8

10

00.20.40.60.81Magnitude Part

M a g n i t u d e

Cauer

86

北京邮电大学信息与通信工程学院

三种滤波器特性比较

过渡带

Cauer 陡于> Chebyshev 陡于> Butterworth

N ，相同性能需要的阶次

Cauer 少于< Chebyshevs 少于< Butterworth 滤波器的参数敏感性

Cauer 敏感性> Chebyshevs 敏感于〉Butterworth

87

北京邮电大学信息与通信工程学院

模拟滤波器频率变换

IIR 滤波器的设计过程

模拟频率变换

数字低通原型数字滤波器指标

模拟低通滤波器指标

模拟低通原型

模拟到数字的变换

所求数字滤波器的系统函数

数字到数字的变换

88

北京邮电大学信息与通信工程学院

模拟滤波器频率变换

IIR 滤波器的设计过程

数字频率变

换

模拟数字滤波器变换

模拟数字滤波器变换

双线性变

换

模拟频率变换

所需的DF H d (z) 性能要求

AF H LP (p) 性能要求

模拟低通原型H LP (p)所需的(HP 、BP 、BS) AF 的传输函数H d (s)

所需的DF 传输函数H d (z)

数字低通滤波器H LP (z)

1

1112??+??=z

z T s 1

1

()

z g z ??=①

②

③

④

()

p q s =1

1112??+??Ω=Ω=z

z T s

p r r

89

北京邮电大学信息与通信工程学院

)

s (q p lp d |)p (H )s (H ==模拟滤波器频率变换

频率变换：归一化低通滤波器的传输函数变换为一般的低通、高

通、带通和带阻滤波器的传输函数；反之亦然。

频率变换函数p=q(s)，（q(s) 是s 的有理函数），把归一化低通滤波器传输函数H lp (p)映射为?所要求的H d (s)：

保持频率响应：q(s) 必须使低通滤波器所在的S 平面的j Ω轴映射到要求的滤波器所在的S 平面的j Ω轴。

保持滤波器的稳定性：低通滤波器所在的S 平面的左半平面必须映射到要求的滤波器所在的S 平面的左半平面。

90

北京邮电大学信息与通信工程学院

模拟频率变换

n DF 频率指标变换为AF 频率指标。利用双线性变换的频率预畸变公式Ω= (2/T) tan(ω/2)，把所要求的数字滤波器H d (z) 的数字频率指标转换为相应的模拟滤波器H d (s) 的模拟频率指标；

o AF 指标变换为低通AF 指标。从本章表4.6 中间栏讨论的模拟频率变换方法中，选择相应的频率变换公式，将模拟滤波器H d (s) 的频率指标转换成归一化原型低通滤波器H LP (p) 的频率指标；

p 设计模拟低通滤波器原型，得到模拟低通滤波器的归一化传输函数H LP (p)；

q AF H LP (p) 转换为AF H d (s)。从本章表4.6 最右栏所列的模拟频率变换方法中，选择相应的频率逆变换公式，将模拟低通滤波器归一化传输函数H LP (p) 转换成所要求的模拟滤波器传输函数H d (s)；

r AF H d (s) 转换为DF H d (z)。利用双线性变换得到所要求的数字滤波器传输函数

11

211()()|

d d z s T z H z H s ???=?

+=模拟滤波器频率变换

91北京邮电大学信息与通信工程学院

|H L (j Ω)|

Ωp

Ω

-Ωp

H HP (j Ω)|

Ωp

Ω

-Ωp 在Ωp 处相同的值

低通到高通变换：

|H L (j Ω)|

Ωp

Ω

-Ωp |H BP (j Ω)|

Ω

-Ωl

-Ωu Ωu

Ωl

低通到带通变换：

|H L (j Ω)|

Ωp

Ω

-Ωp |H BS (j Ω)|

Ω

Ωl -Ωl Ωu

-Ωu 低通到带阻变换：

模拟滤波器频率变换

92

北京邮电大学信息与通信工程学院

参数的定义

Ωp ：所要求滤波器的通带截止频率

Ωp 2 和Ω p1：所要求滤波器的通带上下截止频率 Ωs ：所要求滤波器的阻带起始频率

Ωs2和Ωs1：所要求滤波器的阻带上下截止频率

Ω0：滤波器的通带中心频率 α：取决于滤波器类型的归一化参数

B ：滤波器的通带带宽

模拟滤波器频率变换

12

0p p Ω=ΩΩ21

p p B ΩΩ=?21

21

2121

1 s p

p

s

s s p p

p p s s a ??

Ω??Ω

??Ω

??

Ω=??

Ω?Ω??Ω?Ω?

?Ω?Ω

?Ω?Ω??巴特沃茨或切比雪夫滤波器低通椭圆滤波器高通椭圆滤波器带通椭圆滤波器带阻椭圆滤波器93

北京邮电大学信息与通信工程学院

低通←→带阻

低通←→带通

低通←→高通低通←→低通

要求的滤波器H d (s)

归一化低通滤波器H LP (p) 的技术指标要求滤波器类型

()LP H p ()LP H p 1p a

λ=

1s s p a λ=ΩΩ()

()()|

d

LP

p q s H s H p ==1p

s p a =

Ω()

LP H p ()HP H s 1p a

λ=

1p s s

a λΩ=

Ω1p p a s

Ω=

()LP H p ()

BP H s 1p a

λ=21

211s s s

p p a λΩΩΩΩ?=?22

01s p a B s

+Ω=

()

LP H p ()

BS H s 1p a

λ=

2121

1p p s s s a λΩ?Ω=

Ω?Ω22

01 B s p a s =

+Ω模拟滤波器频率变换

r p

ΩΩ=参考频率r p

ΩΩ=参考频率21

r p p B ΩΩΩ==?参考频率21

r p p B ΩΩΩ==?参考频率94

北京邮电大学信息与通信工程学院

非几何对称型滤波器的频率转换

当所求带通或带阻滤波器的两个通带截止频率和两个阻带起始频

率都关于中心频率Ω0 呈几何对称时，有：

由归一化低通滤波器频率转换得到的带通滤波器和带阻滤波器都是关于Ω0 呈几何对称的。 当不满足对称特性时，必须在满足设计指标的前提下，首先调整截止频率，以调整后的几何对称参数进行设计。

0p1p2s1s2

==ΩΩΩΩΩA s2A s1A p

dB

H(j )Ωs1Ωs1

Ωp1Ωp2Ωs2

Ω模拟滤波器频率变换

95

北京邮电大学信息与通信工程学院 非对称带通滤波器设计步骤:

以通带中心频率Ω0为基准，在满足最小阻带衰减要求的情况下，改变阻带起始频率中的一个，使非对称带通滤波器变成几何对称带通滤波器，步骤如下：

n 计算Ω02＝Ωp1Ωp2

o 计算，如果，用代替p 如果，计算，并用

代替q 如果，选择2

s1s2

=ΩΩΩs1s1>ΩΩs1

Ωs1Ωs1s1

Ω≤Ω2

0s2s1

=ΩΩΩs2

Ωs2Ωs1s2A A ≠{}

s s1s2A =

max A ,A 模拟滤波器频率变换

Ω

Ωs2Ωs1

1

s Ω|()|dB

H j ΩΩp1Ωp2Ω096

北京邮电大学信息与通信工程学院

非对称带阻滤波器设计步骤:

以阻带中心频率Ω0为基准，在满足通带衰减要求的情况下，改变通带截止频率中的一个，使非对称带阻滤波器变成几何对称带阻滤波器，步骤如下：n 计算Ω02＝Ωs1Ωs2

o 计算

，如果，用代替p 如果，计算

，并用代替q 如果，选择{}

p p1p2

A =min A , A p1p2A A ≠p 1p 1Ω≤Ω20p 2

p 1

=

ΩΩ

Ωp2Ωp2

Ω20p 1

p 2

=

ΩΩ

Ωp1p1>ΩΩp1Ωp1

Ω模拟滤波器频率变换

Ω

Ωs2Ωs12Ωp |()|ΩdB

H j Ωp1Ωp2Ω0

97

北京邮电大学信息与通信工程学院

用频率变换法设计模拟滤波器的步骤:

n 确定低通、高通、带通、带阻模拟滤波器的技术要求，（若带通、带阻是非几何对称时，要首先作参数调整，使其呈对称）；

o 根据参数表确定归一化低通滤波器的技术指标：通带截止频率λp ，阻带起始频率λs ，阻带衰减A p (dB)，阻带衰减A s (dB)；

p 根据上述四个技术指标，用巴特沃思、切比雪夫或椭圆逼近法来设计归一化低通滤波器；

q 查变换关系表得到要求的非归一化模拟滤波器。

模拟滤波器频率变换

98

北京邮电大学信息与通信工程学院

模拟滤波器频率变换

例：设计一个巴特沃思带阻滤波器，其性能指标要求如下：

阻带的起始频率和截止频率分别为3.8MHz 和4.8MHz ，阻带最小衰减为20dB ；通带的起始频率和截止频率分别为3.1MHz 和5.5MHz ，通带内最大衰减为3dB 。解：首先确定所要求的带阻滤波器是否是几何对称的。

1214

122 3.12 5.510 6.731110p p ππΩΩ=××××=×1214

122 3.82 4.8107.200910s s ππΩΩ=××××=×因为Ωp1Ωp2≠Ωs1Ωs2，而且设计的是带阻滤波器，所以需要调整这个带阻滤波器的通带起始频率或截止频率。1211

2

2 3.82 4.8

2 3.

3 2 5.5

s s p p p MHz ππππΩΩ×××Ω=

=

=×>ΩΩ×因为

99

北京邮电大学信息与通信工程学院模拟滤波器频率变换

1

p Ω1

p Ω112 3.3p p MHz πΩ=Ω=×用

值代替值，即令

根据表4.6中间栏的变换关系式，将上述给定的带阻滤波器指标要求

转化为相应的归一化低通技术要求，有

1

p λ=2121

25523322248238

.....p p s s s ππλππΩ?Ω×?×=

==Ω?Ω×?×根据上面的技术要求，可以采用查表法或计算法来设计归一化的巴特沃思低通滤波器，这里采用计算法。由式子(4.9) 得滤波器的阶数为：

01010120101101101291

2222×?????

????≥==??

????

...lg lg()

.lg .lg s p

A A s c N λλ取整后，得N=3。

100

北京邮电大学信息与通信工程学院

H(p)H(-p) 的极点为：

21216

22

2()()

= k=0,1,2

k k j

j j

j

N

k p e e

e e

π

π

ππ

++=模拟滤波器频率变换

所以，低通滤波器的归一化传输函数H LP (p) 为：

()()()()01223

2

1

11

(p+1)(p +p+1)221

LP H p p p p p p p p p p =

???=

=+++()

260-0.5000 + 0.8660j

j

p e

ππ+==()

3261-1.0000 + 0.0000j

j

p e

ππ+==()

5262-0.5000 - 0.8660j

j

p e

ππ+==101

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所以，根据表4.6最右边栏的变换关系式，把归一化低通滤波器变成所要求的带阻滤波器的传输函数H BP (s)：

模拟滤波器频率变换

22

s 6

154

30

2

44

6

7

5

1542233023744

()() 2.160310 1.555610 3.733910

2.764610 2.542410 4.245610 1.830810 1.433510

3.733910Bs BP LP p H s H p s s s s s s s s s =+Ω=+×+×+×=

+×+×+×+×+×+×102

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频率变换的Matlab 实现

低通到高通的频率变换[bt,at] = lp2hp(b,a,Wo)

此高通滤波器的截止频率为W 0。

低通到带通的频率变换[bt,at] = lp2bp(b,a,Wo,Bw)

此带通滤波器的中心频率和带宽分别为W0、Bw 。当滤波器通带的下截止频率为ω1，上截止频率为ω2 时，W0 = sqrt(ω1*ω2)，Bw = ω2 –ω1。

低通到带阻的频率变换[bt,at] = lp2bs(b,a,Wo,Bw)

此带通滤波器的中心频率和带宽分别为W0、Bw 。当滤波器通带的下截止频率为ω1，上截止频率为ω2 时，W0 = sqrt(ω1*ω2)，Bw = ω2 –ω1。

在上述的三个模拟滤波器频率变换中，b 、a 都是按降序排列的传输函数的分子分母多项式的系数：

模拟滤波器频率变换

1111nn nd b(p)b()p b(nn)p b(nn )

a(p)a()p a(nd)p a(nd )

++++=

++++

103

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利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是要把s 平面映射到z 平面，使模拟系统函数Ha(s)变换成所需的数字滤波器的系统函数H(z)，这种由复变量s 到复变量z 之间的映射(变换)关系，必须满足两条基本要求：

1.H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，即s 平面的

虚轴必须映射到z 平面的单位圆上。2.因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。

即s 左半平面Re[s ] < 0 映射到z 平面的单位圆内|z |< 1。

104

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根据要保留的模拟和数字滤波器的特性不同。主要有以下映射方法：9保留脉冲响应的形状-?冲激响应不变法9保留阶跃响应的形状-?阶跃响应不变法

9保留从模拟到数字的系统函数表示--?双线性变换法

105

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模拟滤波器的数字化（3）

模拟滤波器的数字仿真

设计一个数字滤波器H(z) 使其输入x(n) 等于模拟滤波器(AF) 输入x(t) 的取样x(nT)，输出y(n) 等于AF 输出y(t) 的取样y(nT)。

y(n) = y(nT)

则称H(z) 系统为H a (Ω) 系统的数字仿真。

x(t)

x(t)

x(n)=x(nT)

H(z)

H a (Ω)

y(t)

y(n)=y(nT)

取样

取样

取样？106

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从时域确定S 平面和Z 平面之间的映射关系

数字性能指标?模拟滤波器的性能指标；（ω= ΩT ）

时域仿真（1）

设h a (t) 和h(n) 分别是AF 和DF 的冲激响应。若h(n)= Th a (nT)（即h(n) 等于Th a (t) 的取样）,

当T 足够小时，y(n)=y(nT)（即DF 是AF 的数字仿真）。

结论

107

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τ

0 T 2T 3T kT

时域仿真（2）

证明：线性非移变因果系统h a (t)，其输入x(t) 和输出y(t) 的关系：

()()()()()()∞

∞

=?=

?=

≈∫

∫

求和表示

a a y t x t h t x t h d W d τττ

ττa W()x(t )h ()

τττ=?其中上述积分为τ≥0 区间内曲线W(τ)下的面积，可近似的用求和来计算：

108

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对y(t) 取样:

(即令t =nT )

时域仿真（3）

0020()

[()()()()]

[()()()()()()]

()()()

a a a a T k y t T W W T W T W kT T x t h x t T h T x t kT h kT T x t kT h kT y t ∞

=≈+++++=+?++?+=?=∑ 0

00

()()()()

()()

(())()

T a k a k k y nT y nT T x nT kT h kT x nT kT Th kT x n k T h k ∞

=∞

=∞

=≈=?=?=?∑∑∑令h(k)=Th a (kT)

109

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对于DF h(n)，其输入输出关系为：

若令x(n) = x(nT)，即DF 输入是AF 输入的取样，则y(n)=y(nT)。

这就证明了若h(n)=Th a (nT)，则当x(n)=x(nT) 时，y(n)=y(nT)。

时域仿真（4）

()()*()()()

k y n x n h n x n k h k ∞

===?∑0()()(())()

T k y nT y nT x n k T h k ∞

=≈=?∑110

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时域仿真（5）

结论：从时域观点看，数字仿真的条件：

h(n) = Th a (nT)

称之为冲激响应不变准则。由此准则出发，我们得到设计IIR DF 的冲激响应不变法（Impulse Invariance Method ）。

注意：在上述过程中，取样周期T 要足够小(满足取样

定理，避免频谱混迭；减小积分的逼近误差）。

111

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频域仿真（1）

前面已讲过，对x a (t) 取样，则取样后的信号x a (nT) 的频谱是原来模拟信号频谱X a (Ω) 的周期延拓，即：

x a (t) 取样

x a (nT)

1?()()a

a

s n X X n T ∞

=?∞Ω=Ω?Ω∑2s T

πΩ=

而

?()()()j j T a

X X e X e ωΩΩ==数字频率表示

模拟频率表示

()()j jn n X e x n e

ωω

∞

?=?∞

=

∑或()()j T jn T

n X e x n e

∞

Ω?Ω=?∞

=

∑DTFT 定义：

112

北京邮电大学信息与通信工程学院

频域仿真(2)

因此：

1()()

jn T

a s n n x n e

X n T

∞

∞

?Ω=?∞

=?∞

=Ω?Ω∑

∑

或

()()

jn T

a

s n n Tx n e

X

n ∞

∞

?Ω=?∞

=?∞

=

Ω?Ω∑∑离散信号频谱表示周期延拓

其中，T x(n) 是对Tx a (t)的取样。

113

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频域仿真（3）

同样的，对冲激响应h a (t) 也有同样的过程。

h a (t)

H a (Ω)

h a (nT)

∑∑∞

?∞

=Ω?∞

?∞

==

Ω?Ωn T

jn a

n s a

e nT Th

n H

)()(离散傅氏变换

周期延拓，有常数1/T

令h(n)=Th a (nT)()()

j T

h n H e

Ω→则

()()()

j T jn T a

s n n H e h n e H

n ∞

∞

Ω?Ω=?∞

=?∞

=

=

Ω?Ω∑

∑取样

114

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结论：DF 的频响是它所仿真的AF 的频响

H a (Ω) 的周期延拓，因此，为防止混迭，H a (Ω) 必须限带。()()j T j H e H e ωΩ=从频域讲，数字仿真的条件：

当2,a s

H ()0T

π

ΩΩ>=Ω=综合上述时域、频域的数字仿真条件，得到仿真定理。

)

(T j e H Ω-Ωs -Ωs/2

Ωs/2

Ωs

Ha(Ω)

s Ω()

T

j e H Ω()

s a H Ω?Ωs

Ω?2s Ω?

2

s Ω()

Ωa H 频域仿真（4）

115

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时域、频域的数字仿真条件：

(1)若h a (t) 是限带信号，当|Ω|>Ωm 时，H a (Ω)=0(2)若h(n) = Th a (nT)

(3)取样频率：2πf s = Ωs ≥2Ωm ，即f s ≥2f m （取样

定理）

则当|Ω|<(Ωs /2)=π/T 时，

()()()

j T

j a H e

H e H ω

Ω==Ω即数字仿真成立。

仿真定理

116

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1. 冲激响应不变法的设计方法

2. Z 平面与S 平面的映射关系

3. 冲激响应不变法的特点

()

t x a ()

t h a ()s H a ()

t y a ()

n x ()n h ()z H ()

n y 从时域确定S 平面和Z 平面之间的映射关系

冲激响应不变法

117

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冲激响应不变法原理

变换原理

冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t)。将模拟滤波器的冲激响应加以等间隔的抽样，使h(n)正好等于ha(t)的抽样值，即满足：

h(n)= h a (nT)，其中T 是抽样周期。

冲激响应不变法将模拟滤波器的s 平面变换成数字滤波器的z 平面.

sT

e z =118

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n 对已知的H a (s) 进行拉氏反变换，求得h a (t)；o 对h a (t) 进行取样，得h a (nT)；

p 根据冲激响应不变，令h(n) = T h a (nT)，以求得h(n)；q 对h(n) 进行z 变换，得H(z)。

即：

()1 ()(()())[]a h t n a t H Z Z T nT L H s δ∞∞?=???????

??=??

???????

????∑()()

()()

a h n Th nT a H s H z =?????→冲激响应不变法：设计方法（1）

冲激响应不变法的设计步骤

119

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n 模拟滤波器的系统函数可表示为：

10

1()()()

M

M

i

i

qi

i i a N

N

i

i pi

i i a s

s s H s A

b s

s s

====?=

=?∑∏∑∏?一般M

1

1

()N

N

i

i a i i pi

i

A A H s s s s s ===

=

??∑

∑

?对H a (s) 两边进行拉氏反变换得：

1

1

()[()]()

i N

s t

a a i

i h t L H s A e

u t ?===

∑冲激响应不变法：设计方法（2）

120

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o 对h a (t) 以周期T 进行取样，有：

1

()()

i N

s n T a i i h n T A e u n T ==

∑

p 由冲激响应不变准则，可得：

1

()()()

i N

s nT a i i h n Th nT T A e u nT ===∑q 对上式两边进行Z 变换，便得数字滤波器的系统函数：

1

111

1

11()()()()()i i i i N

s nT

n

n

i

n n i N

N

s nT s T n n

i

i i n n i N

i

s T i u nT H z h n z

T A e

u nT z T A e z T A e z A T e

z ∞

∞??=?∞

=?∞

=∞

∞

??=?∞

=?====

=

===?∑∑∑∑∑∑∑∑

|

e ||| 1|e :|ROC 1T s T s i i z z >

冲激响应不变法：设计方法 （4）由 H(z) 可以看到，H(z) 也是部分分式形式，且有：（1）各系数 Ai 分别与 Ha(s) 部分分式系数相同 （2）各极点分别对应于 Ha(s) 的各极点 Si
冲激响应不变法：设计方法 （6）对于给定数字低通滤波器技术指标 wp、ws、Rp 和 As，采 用冲激响应不变法设计数字滤波器的过程如下：Ω = 确定 T，并选择模拟频率：Ω = T , T 根 据 指 标 Ω p 、 Ω s 、 Rp 、 As ， 设 计 模 拟 低 通 滤 波 器 Ha(s) 。这个模拟滤波器可以是前面讲过的原型滤波器 （Butterworth、chebyshevI/II、 Cauer ）之一。p s
ωp
ωs
因此，只要将 AF 的 Ha(s) 分解为部分分式之和的形 式，就可以立即得到相应的 DF 的系统函数 H(z)。
Ha (s) = ∑i =1
N
N Ai Ai =∑ s ? s pi i =1 s ? si
把 Ha(s) 展成部分分式形式：
Ha ( s) = ∑i =1
N
重要!
Ai s ? si
H (z) = T ∑i =1北京邮电大学信息与通信工程学院
N
Ai 1 ? e siT z ?1121
把模拟极点{si}转换成数字极点{esiT}，得到数字滤波器的 传输函数：
H (z) = T ∑北京邮电大学信息与通信工程学院
N
i =1
Ai 1 ? e siT z ? 1122
冲激响应不变法：映射关系 (1)S 平面与 Z 平面之间的映射关系在冲激响应不变法中，S 域和 Z 域极点间的映射关系：
冲激响应不变法：映射关系 (2)σT ST S平面与Z平面之间的映射关系: Z = e ? r = e ,ω = ΩT
S 平面的实部
zi = esiT将极点的映射关系推广到 S 平面与 Z 平面间的映射关系：
(1)当 σ=0 时，r=1， 即 S 平面虚轴映射为 Z 平面的单位圆，临界稳定的情况.S 平面 jΩ Z 平面 Im 1 Re
z=e令: 则: 所以：
sT
z = re jω , s = σ + jΩ
0
σ
z = re
jω
= e sT = e σ T e
jΩ T
(2) 当σ>0 时，r>1， 即 S 平面右半平面映射到 Z 平面的单位圆之外，系统不稳定.
r = eσ T ,ω = Ω Tω 是数字角频率，也是复变量 Z 的幅角； Ω 是模拟角频率，也是复变量 S 的虚部。S 平面北京邮电大学信息与通信工程学院
Z 平面124
北京邮电大学信息与通信工程学院
123
冲激响应不变法：映射关系 (3)(3)当σ<0 时，r<1， 即 S 平面左半平面映射到 Z 平面的单位圆之内，系统稳定.
冲激响应不变法：映射关系 (4)(1) S 平面上?
S 平面的虚部 ω = Ω T π πT ≤Ω≤ TjΩ
映射为 Z 平面上 -π≤ω≤πIm r=eσT Re
S 平面
Z 平面
(4）平行于虚轴 jΩ 的线段 S1=σ1 + jΩ1 映射为 Z 平面上半径为
r = eσ 1T
σ
的圆周。S 平面σ1
(2) S平面上 | Ω |>
π
r = eσ1TZ 平面125
对应的， z=e ，产生混迭现象。在 S 平面上，任何一个宽度 为（2π/T）的水平带，映 射为 Z 平面周期函数 H(ejω)； 北京邮电大学信息与通信工程学院126
T sT
映射为 Z 平面上圆周重复，即不是单值
北京邮电大学信息与通信工程学院
21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oo9e.html