一题多解的培养

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培养学生的一题多解

管数学习题浩如烟海头绪万千，但正如一切事物都有自己的规律一样，解数学题也有规律可循有方法可依，某些习题由于他们所反映的数量关系和空间形式存在着纽带关系，则可以串连起来考虑某些题的解决过程，给我们解决另一些习题宝贵的启示等等.为此应该在学习中重视探索自觉摸索解不同类型题目的规律，并依据这个规律去思考分析不断丰富解题经验.长期的坚持遇到新问题就能思维活跃判断准确，有法可循，就能掌握一题多解的金钥匙.具体要从以下几个方面来养成探索的习惯：

1、解题前的探索

再解数学题前须认真审题充分了解该题的条件和要求探索的内容包括以下几方面：

第一题设中题设中包含有哪几个条件?有没有隐含着数量或图形的位置的特殊关系(不少问题中包含着隐性条件,需仔细挖掘才能提炼)?有没有结构特点?针对特定的题设条件于结论间的关系,应计划编排怎样的顺序.选择怎样的方法解题?

第二命题能否简化,能否更换成常见的问题或将问题归结到基本性质基本定义上去?

第三对于比较复杂的问题,围绕你的知识网络与命题的条件结构作详细的对照,想想可能会用到那些有关的概念定理性质?想一想在过去做过的习题中那些揭发能够借鉴?那些结论能够直接采用？ 2、解体后的探讨

一道习题解完后只是形式上的了结我们不能就此草率的收兵而应回顾解题的过程并思考以下问题：

第一解决本题遇到了那些难关？你是怎样找到突破口的？由此有什么收益填补了那些知识缺陷？

第二本题可归属于哪一种类型的问题有哪几种解法？其中以那种揭发最基本最典型？哪种解法最简单？哪种解法的技巧最大？哪种解法涉及到新知识有新特点？权衡各种解法各有什么可取之处？

第三本题的解法还可以处理哪些类型的题？本题的结论有没有作为简化其他问题解法的价值？

第四这道题的逆命题否命题各怎样？是否成立？在条件不变的情况下还能退的哪些新结论？这些平行结构之间有什么联系?若能等价替换原命题的条件或结论会得到怎样的新命题？减弱原命题的条件或加强原命题的结论是否可行？

3、按题型分类归纳各自的解法

把主要类型的一些问题分门别类地归纳、整理各自的解法，这样能健全信息网络，扩大解题视野，提高一题多解的能力.

例如数列求和的一般方法是：利用等差、等比数列的求和公式；分拆项法；并项法；逐差法；先猜想后用数学归纳法进行证明的方法等.经过这样的多向分类梳理我们就掌握了大把的解题钥匙，一旦遇到此类问题时，就能从储存的信息中取出所需要的解题办法，逐一筛选，择优而用，积累的越多越齐全，多解的本领就越大.

再如证明整除问题的一般方法是：公式法；用二项式定理法；用余数定理法；数学归纳法；余数分类法等如对这些方法都很熟悉

发散思维能力是创新思维能力的重要组成部分．在数学教学中，教师应启发学生对问题从不同角度进行分析，从多个侧面进行思考，通过一题多解、一题多变、一题多用、多解归一等形式让学生从单一的思维模式解放出来，促进学生对数学知识的灵活运用，拓宽学生的解题思路，引导学生从众多解决问题的方案中找出最佳方案，开阔学生的创新视野，培养学生的创新思维能力．

一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。首先我们要启发联想诱发一题多解

联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。

例：某厂有工人126人，男女工人之比是5∶4，男工有多少人？

读题后，引导学生根据“男女工人数之比是5∶4”展开联想：

①男工人数是女工人数的；

②女工人数是男工人数的；

③男工人数占全厂工人的；

④女工人数占全厂工人的；

⑤男工人数比女工人数多；

⑥女工人数比男工人数少；

⑦男工人数占5份，女工人数占4份。

学生的联想越丰富，思路就越宽阔，解题方法也就越新颖、越多样：

其次,巧设提问诱发一题多解

学生学习的实质是在教师的启迪下自主探索建构的过程。解题时巧设问题，如“这题还有别的解法吗？” “如果??会怎样？”等势必扩大学生思考的范围，拓宽学生解决问题的视野，促使学生开动脑筋，更深入地思考，去发现解决问题的新思路、新途径。

例：客车和货车同时从甲乙两地相对开出，客车每小时行50千米，货车每小时行40千米4小时相遇。甲乙两地相距多少千米？

学生按常规用①50×4+40×4=360(千米)、②(50+40)×4=360(千米)两种方法解答后,教师及时设问：“如果假设客车和货车速度相同会怎样？这道题还有其它的解法吗？”启迪学生思考，从而得出几种新颖奇特、富有思维价值的解法。

方法1：假设客车和货车每小时都行40千米，客车就少行4个10千米，于是可得：40×8+4×10=360（千米）。

方法2：假设客车和货车每小时都行50千米，货车就多行4个10千米，于是可得：50×8-4×10=360（千米）。

方法3：假设客车和货车都每小时行40千米，而客车多行的也正好是40千米，就可以得出解法：40×9=360（千米）。

再者教学中要注重培养学生解题过程中举一反三的能力,例如在六年级上的几何中有

公式：圆的周长c=d,c=2r.圆的面积s=l=

引导学生由公式可得：半径，直径扩大或缩小n倍，周长就扩大或缩小n倍，面积就扩大或缩小n倍。

两圆的半径（直径）之比为1：n,则两圆周长之比为1：n,面积之比为1：n

反之，已知周长（面积）间的关系，求半径（直径）的关系。半径不变，圆心角扩大n倍，弧长也扩大n倍。圆心角不变，半径扩大n倍，弧长也扩大n倍

,n=

,r=

.扇形的面积s=

.弧长

圆心角不变，半径扩大n倍，扇形面积扩大n倍半径不变，圆心角扩大n倍，扇形面积扩大n倍.

总之教师自己在平时的教学中要钻研教材，精心设计一题多解和一题多变的练习题，培养学生举一反三的能力，让学生在有趣的学习中探索知识，使他们灵活运用知识的技能技巧得到提高。而在课堂上，要进一步关注学习有困难的学生，他么其实也渴望得到老师的表扬，师生互助，生生互助，共同努力，从自身做起不断提高教学质量，为学生撑起一片灿烂的天空，让他们快乐的成长！

对于同一道物理题，由于分析角度及使用的物理规律不同，就会产生不同的解法，解法不同．解题的繁简上会有所区别．这种变换角度和方法来解同一道题，对于开阔解题思路，熟练掌握有关物理知识很有好处，而且比较不同解法，针对不同情况，确定最优解法，有助于认识不同方法的特点，使得在考试中能有针对性地采取较方便的方法解题，达到快速解题的目的，这培养了学生的解题及处理问题优化思维的能力。下面本人举一例来说明以上观点。

题：如图l所示，两个质量完全一样的小球，从光滑的a管和b管由静止滑下，设转弯处无能量损失，

比较两球用时的长短．(B、D两点在同一水平线上)

方法一：(平均速度法)

设AB长为L，AB与水平方向之夹角为α，由图可知0<α<45，则AD长为Ltgα，因为B、D两点在同一水平线上，据机械能守恒可知小球在B、D两点速度大小相等，到达C点的速度大小也相等，故有小球通过AB与AD段的平均速度相等，现设其平均速度为v1；小球通过BC与DC段的平均速度也相等，设其平均速度为v2，由运动学知识可知v1< v2，则有：

从管a下落的时间为：

。

从管b下落的时间为：

因为0<α<45，v1< v2，所以可得：ta>tb 方法二：(相同路程法)

。

由图二可知AB边比AD长，故可在AB边上取一点E使AE=AD，过B点作BF平行于ED交CD于

F，由几何知识知BE=DF、BC=CF．

在AE与AD段，由于小球在AD段的加速度大于AE段的加速度且AE=AD，据位移公式可得： tAE>tAD ①

在BE与DF段加速度相同，因为vEB＝vD且BE=DF，又据位移公式可得：tBE>tDF ②

在BC与CF段，vB=vDF，由机械能守恒可知小球从不同管道到达C点速度大小相等，故有BC段的平均速度小于CF段的平均速度，又因为BC＝CF，所以有：tBC>tCF ③ ．

由①，②，③ 可得：ta = tAE + tBE+ tBC>tb＝tAD+ tDF+ tCF 方法三：(图象法)

小球从a管或b管下落，到达C点时速度大小相等，且位移也相同，故可构建v—t图象如图3，由图

可知：ta>tb．

从此题可以看出，三种不同的思路导致了三种不同的解法，从而使解题过程产生了很大的区别，方法三明显简单，但同时思维能力要求高．

一题多解培养能力

赵根厚

例1标况下，ＣＯ与ＣＯ2组成的混合气体13．44Ｌ，质量20ｇ，则混合气体中C与O两原子的物质的量之比为（）。

分析：欲求两原子的物质的量之比，只需求出两气体的物质的量之比，因此只要求出两气体各自的质量或物质的量或标况下的体积就行了。

方法1：设标况下ＣＯ气体的体积为ｘ，则ＣＯ2的体积为13.44Ｌ－ｘ。根据气体质量可列方程：ｘＬ／（22.4Ｌ·mol1）×28g ·mol1＋［（13.44Ｌ－ｘ）／（22.4 L·mol1）］×44 g·mol1＝20g

－

解方程即可求出ｘ，进而得到答案Ｂ。

方法2：设ＣＯ的质量为ｘ，则ＣＯ2的质量为（20－ｘ）ｇ，则有：（ｘ／28）×22.4＋［（20－ｘ）／44］×22.4＝13.44 解方程求出ｘ，进而得到答案。

上面两种方法计算量太大，仅有思考价值。

方法3：标况下混合气体的物质的量为：13．44 L／22．4 L·mol1＝0.6ｍｏｌ

－

设：混合气体中ＣＯ的物质的量为ｘ，则有： 28g·mol1ｘ＋（0.6 mol－ｘ）44g·mol1＝20g

－

解方程求出ｘ。这样解计算量较小，较为简便。

方法4：知道标况下混合气体的质量及物质的量，可求出混合气体的平均摩尔质量，用十字交叉法求解之。

＝20 g／0.6 mol＝33.g·ｍｏｌ1

－

10.6／5.2＝2／1

 得答案为Ｂ。

方法5：思维角度：已知混合气体物质的量为0.6ｍｏｌ，根据极限思想，假设混合气体全部为ＣＯ，则质量ｍ＝16.8 ｇ，若全部为ＣＯ2，则质量ｍ＝26.4ｇ，利用十字交叉法

6.4／3．2＝2／1  进而求出答案。

方法6：已知混合气体的质量为20ｇ，根据极限思想，假设混合气体全部为ＣＯ，则标况下的体积为：（20 g／28 g·mol1）×22.4 L·mol1＝16Ｌ

－

若混合气体全部为ＣＯ2，则标况下的体积为：（20 g）／（44 g·mol1）×22.4Ｌ·mol1＝10.18Ｌ 利用

－

十字交叉法：

ｍＣＯ∶ｍＣＯ2＝163∶128

由两种气体的质量比，可求得答案。

此法虽较为烦锁，但它能很好的训练十字交叉法的应用。

方法7：若混合气体全部为ＣＯ，则质量为：0.6ｍｏｌ×28ｇ·ｍｏｌ1 ＝16.8ｇ

－

△ｍ＝20 g－16.8 g＝3.2ｇ

则3.2ｇ为ＣＯ2比ＣＯ多出的氧原子的质量。则ＣＯ2的量为0．2ｍｏｌ。ｎＣＯ＝0.6 mol－0.2 mol＝0.4ｍｏｌ 进而可求出答案Ｂ。

方法8：设混合气体的平均化学式为ＣＯｘ， 则有：ＣＯｘ————Ｃ 1ｍｏｌ 1ｍｏｌ 0． 6ｍｏｌｎＣ＝0.6ｍｏｌ

ｎO＝（20 g－7.2 g）／（16 g·mol1）＝0．8ｍｏｌ，则Ｃ，Ｏ比0.6∶0．8＝3∶4

－

 方法9：该题既为选择题，它的正确答案便在选项之中。因混合气体是由ＣＯ和ＣＯ2组成的，则碳原子的物质的量肯定小于氧原子的物质的量，因而可排除答案A，又因是混合气体，则可排除D；若为答案C，则两气体的物质的量之比为1∶1，平均式量应为36，但20／0．6≈33.，所以C错，只能选B。 该题虽为一道简单而常见的题目，但对此类题目从不同角度的研究，更能激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题的能力。 例2．120°时，Ｈ2Ｓ与Ｏ2混合气体全部燃烧后恢复至原状况体积减少30%，求原混合气体中Ｈ2Ｓ的体积含量。

分析：该题仅知燃烧前后气体的体积差，因而可用差量法求解。 依题意可知，Ｈ2Ｓ全部反应，有关反应方程式如下： (1)2Ｈ2Ｓ＋3Ｏ2＝2ＳＯ2＋2Ｈ2Ｏ（气) △Ｖ  2 3 2 2 1 (2)2Ｈ2Ｓ＋Ｏ2＝2Ｓ＋2Ｈ2Ｏ（气) △Ｖ 2 1 2 1

若反应全部按(1)进行，则体积减少20%，若反应全部按(2)进行，则体积减少33.3％。由题意可知，体积减少30%，则Ｈ2Ｓ一部分充分燃烧，一部分不充分燃烧。

方法1：设充分燃烧耗Ｈ2Ｓａｍｏｌ，不充分燃烧耗Ｈ2Ｓｂｍｏｌ。 因同一条件下，物质的量之比等于体积之比，则有： 2Ｈ2Ｓ＋3Ｏ2＝2ＳＯ2＋2Ｈ2Ｏ( 气) △Ｖ 2 3 2 2 1 ａ（3／2）ａａ ａ（ａ／2） 2Ｈ2Ｓ＋Ｏ2＝2Ｓ＋2Ｈ2Ｏ（气) △ Ｖ 2 1 2 1 ｂ （ｂ／2）ｂｂ／2

（ａ／2）＋（ｂ／2）＝30％［（5／2）ａ＋（3／2）ｂ］解得ｂ＝5ａ，则得答案60％。 方法2：设混合气体总体积为Ｖ，充分燃烧耗气体ｘ体积。 2Ｈ2Ｓ＋3Ｏ2＝2ＳＯ2＋2Ｈ2Ｏ（气) △Ｖ 2＋3＝5 1  ｘｘ/5 2Ｈ2Ｓ＋Ｏ2＝2Ｓ＋2Ｈ2Ｏ（气) △Ｖ  2＋1＝3 2 1

 Ｖ－ｘ（Ｖ－ｘ）／3

据题意则有：（ｘ／5）＋（Ｖ－ｘ）／3＝0.3Ｖ解得Ｖ＝4ｘ

Ｈ2Ｓ的体积含量为：｛（2／5）ｘ＋［（ 2／3）（Ｖ－ｘ）］／Ｖ｝×100％代入Ｖ＝4ｘ，得答案60％。方法3：设反应前混合气体中Ｈ2 Ｓ为ａｍｏｌ，Ｏ2为ｂｍｏｌ。根据氢原子守恒可知：

反应后Ｈ2 Ｏ（气)的物质的量为ａｍｏｌ，根据氧原子守恒，反应后ＳＯ2 的物质的量为（2ｂ－ａ）／2ｍｏｌ，依题意知：

ａ＋（2ｂ－ａ）／2＝0.7（ａ＋ｂ）解得，ａ＝（3／2）ｂ，则Ｈ2Ｓ体积含量为：［ａ／（ａ＋ｂ）］×100％＝［（1.5ｂ）／25ｂ］×100％＝60％。

方法4：该反应既为氧化还原反应，则化合价升降必然相等；仍设混合气体中Ｈ2Ｓ为ａｍｏｌ，Ｏ2为ｂｍｏｌ，根据H原子守恒：ｎＨ2Ｏ＝ａｍｏｌ，ｎＳＯ2＝0.7（ａ＋ｂ）－ａ＝0.7ｂ－0.3ａ，根据硫守恒： ｎＳ＝ａ－ｎＳＯ2＝1.3ａ－0.7ｂ 反应后氧元素化合价降低：4ａ

硫元素化合价共升高：（0.7ｂ－0.3ａ）×6＋（1.3ａ－0.7ｂ）×2 根据化合价升降相等，解得ａ＝（3／2）ｂ，代入则可算出答案。

方法5：把混合气体的体积做为研究对象，根据极限的思想可用十字交叉法求解。 已知反应：

（1）2Ｈ2Ｓ＋3Ｏ2＝2ＳＯ2＋2Ｈ2Ｏ（气) （2）2Ｈ2Ｓ＋Ｏ2＝2Ｓ＋2Ｈ2Ｏ（气) 若全部按(1)反应，体积减少20%。

若混合气体全部按(2)反应，则体积减少：33.3％。

利用十字交叉法：则得二者之比为1∶3。