高数第五章空间解析几何

《高等应用数学实训教程》

- 1 - 第五章 空间解析几何

一、学习要点：

1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；

2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；

3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；

4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；

5.知道空间一点到平面的距离公式；

6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法

7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；

8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.

二、相关知识总结：

1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.

2.空间直角坐标系中任意两点11112222(,,),(,,)p x y z p x y z 间的距离公式： 21221221221)()()(z z y y x x p p d -+-+-==.

3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.

4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.

5.空间向量模的坐标表示：

设向量{,,}x y z a a a a =，其模2x a a =+

向量a 的单位向量：0{cos ,cos ,cos }a i a j a k a αβγ++==.

6.向量的数量积：对于给定的向量a ，b ，数c os ,a b a b ∧

<>称为向量a 和b 的数量积，记作cos ,a b a b a b ∧?=<>.

7.向量的向量积：两个向量a 和b 的向量积是一个向量，记作a b ?，

它的模和方向分别定义为：

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- 2 -

（1）sin ,a b a b a b ∧

?=<>；

（2）a b ?垂直于a 和b ，且a ，b ，a b ?成右手系. 8.数量积、向量积的坐标运算法： 设{,,}x y z a a a a =，{,,}x y z b b b b =，

则x x y y z z a b a b a b a b ?=?+?+?，x

y z x

y

z

i

j k a b a a a b b b ?=. 9.两向量垂直、平行的条件及判定：

（1）两向量//a b ?b a λ=?0a b ?=?a 与b 的对应坐标成比例

y x z

x y z

a a a

b b b ==； （2）两向量a b ⊥?0a b ?=?0x x y y z z a b a b a b ?+?+?=.

10.方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设{,,}x y z a a a a =，{,,}x y

z b b b b = 则向量a 的方向余弦：

cos

α=

cos

a β=

，cos γ=

且 222cos

cos cos 1αβγ++=.

投影公式：0cos ,b a b

prj a a a b a b b

∧???==

=? ???. 11.空间曲线的一般方程：(,,)0

(,,)0F x y z G x y z =??=?

.

12.空间曲线的参数方程：()()()x x t y y t z z t =??

=??=?

（t 为参数）.

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- 3 - 13.空间曲线在坐标平面内的投影：(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??

=? --① ①消去z 得(,)0H x y =，则(,)00

H x y z =??=?是曲线①在坐标面xoy 面上投影.

同理，(,)00R x z y =??=?和(,)00T y z x =??=?

是曲线①分别在xoz 面和yoz 面上的投影. 14.平面的点法式方程：),,(000z y x M 是平面的一点，n Ai B j Ck =++ 是该平面的法向量,则此平面的方程为:0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .

15.平面的一般式方程：0=+++D Cx By Ax （A ，B ，C 不能同时为0）.

16.平面外一点),,(1111z y x p 到平面0:=+++D Cz By Ax π的距离d 的公式：则有：222111C B A D

Cz By Ax d +++++=.

17.平面1π和平面2π的夹角为θ： （20π

?<<）

1π的法向量1n 和2π的法向量2n

则有：cos =θ18.直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法.

一般式 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=??

+++=?， 对称式 000x x y y z z m n p

---==， 参数式 000x x mt y y nt z z pt =+??=+??=+?

（t 为参数），

三种方程形式的相互转化.

19.两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式：

设直线1L 和直线2L 的方向向量依次

为：1111{,,}S m n p =，2222{,,}S m n p =，

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- 4 -

若两直线垂直有：12L L ⊥?1212120m m n n p p ++=； 若两直线平行有：12//L L ?111

222

m n p m n p ==

；

若两直线相交有：cos ?=

，(0)2

π

?<<

.

20.空间直线与平面的位置关系：

设直线L 的方向向量{,,}s m n p =，平面π的法向量{,,}n A B C =， 直线L 与平面π垂直有：L π⊥?

A B C

m n p

==； 直线L 与平面π平行有：//L π?0Am Bn Cp ++=； 直线L 与平面π的夹角?（02

π

?≤<

）由下列公式给出：

sin ?=

三、重点例题剖析 （一）基础题

1.一向量a 与x 轴正向，y 轴正向的夹角相等．与z 轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量a 同方向的单位向量．

【分析】 与向量a 同方向的单位向量就是以向量a 的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量a 的方向余弦．

解 设向量a 与x 轴正向、z 轴正向的夹角为α，则它与y 轴的正向夹角为α2，那么，

a 的方向余弦分别是cos α，cos α，cos 2α．故

1)2(cos cos cos 222=++ααα

即 0)2(cos 1cos 222=+-αα

由此得到 0)12(c o s 2c o s =+αα

02cos =∴α或|2cos -=α 又 ],0[2πα∈ ，4

π

α=∴或

2

π

，

则

cos 2α=

，cos 2

β=，cos 0γ=或cos 0α=，cos 0β=，cos 1γ=-， 因此，所求的单位向量为 ???

?

??0,22,22或()1,0,0-．

2.设(4,5,3)a =-，(2,3,6)b =，求a 对应的单位向量

0a 及b 的方向余弦．

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- 5 - 解 与a 对应的单位向量0a 是与a 方向相同的单位向量．因此

023)4a a a ==-=+ 同上，可求出与b 方向相同的单位向量0b ： 02236,,7772b b b ??=== ???+ 从而，b 的方向余弦为：

2cos 7α=，3cos 7β=，67

coa γ=． 3.设未知向量x 与22a i j k =-+共线，且满足18a x ?=-，求x ． 解（方法1）

由于x 与a 共线，故设 (2,,2)x a λλλλ==-

(2,1,2)(2,,2)221()22918a x λλλλλλλ?=-?-=?-?-+?==- 2-=∴λ

故 (4,2,x =--．

(方法2)

由于x 与a 共线，故可设x a λ=,则 2222()()2(1)2918a x a a a a a λλλλλ???=?=?==+-+==-??

2-=∴λ

故 (4,2,x =--． 4.已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=,证明：a b b c c a ?=?=?. 证 ()a b c =-+，()b a c =-+

()()a b b c b b b c b c b b c ∴?=-+?=-?+?=-?=?

()()b c a c c a c c c a c c a ?=-+?=-?+?=-?=?

a b b c c a ∴?=?=?

5.已知三角形三个顶点坐标是(2,1,3)A -，(1,2,3)B ，(0,1,4)C ，求ABC ?的面积．

【分析】 以向量a ，b 为邻边的三角形的面积12S a b =?． 解 由向量积的定义，可知ABC ?的面积为：

11sin 22

ABC S AB AC A AB AC ?=??∠=? 由于(1,3,0)AB =-，(2,2,1)AC =-，因此

13034221

i j k

AB AC ?=-=++-i j k

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- 6 - 2113432ABC S i j k ?∴=

++=+= 6.指出下列二次曲面的名称，并作草图． (1)222169925x y z --=-； (2)222169925x y z --=；

(3)224y z x +=； (4)2222(1)(2)(3)0x y z -+---=．

【分析】 对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．

解 (1)可以将方程写成如下的标准形式：

222

2221555423

x y z -++=?????? ? ? ???????

该方程表示单叶双曲面，其草图如图5-1；

图5-1

(2)方程可写成如下的标准形式：

222

222155543

3x y z --=?????? ? ? ???????

该方程表示双叶双曲面，其草图如图5-2；

图5-2

(3)方程可写成如下的标准形式：

22

2222

y z x =+ 该方程表示椭圆抛物面，其草图如图5-3；

图5-3

(4)方程可写成如下的标准形式：

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- 7 - 22222(1)(2)(3)1x y z --+=-??

该方程表示椭圆锥面，

它是由标准椭圆锥面22

2221x y z +=??

的图形平移到使锥面的顶点为(1,2,3)时得到的．其草图如图5-４；

图5-４

7.一动点M 到平面01=-x 的距离等于它与x 轴距离的两倍，又点M 到(0,1,2)A -的距离为1，求动点M 的轨迹方程．

解 设点M 的坐标为),,(z y x ，则M 到平面01=-x 的距离为1-x ．到x

轴的距离为

|1|x -=，即)(4)1(222z y x +=-，又M 到)2,1,0(-A 的距离为l ， 即

22221)2()1(=-+++z y x

∴动点M 的轨迹方程满足：?

??=-++++=-1)2()1()(4)1(222222z y x z y x 注 此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．

8.求二次曲面22

22x z y a c

=-与三个坐标平面的交线． 解 求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立． 此二次曲面为双曲抛物面，它与xOy 面的交线为

?????=-=02222y c z a x y ，即??

???==022z a x y ． 这是xOy 面上的抛物线 22

a x y =．

曲面与zOx 面的交线为?????=-=0

2222y c z a x y ，即?????==??? ??+??? ??-00y c z a x c z a x ．

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- 8 - 这说明曲面与zOx 面的交线是zOx 面上的两条相交直线x a c z =和x a

c z -=． 曲面与yOz 面的交线为22220x z xy a c y ?=-???=?，即?????=-=022x c z y ． 这是yOz 面上的抛物线．

9.一平面与原点的距离为6 ，且在三坐标轴上的截距之比::1:3:2a b c =，求该平面方程．

解 因为截距之比为 ::1:3:2a b c =，故可设截距 a t =，3b t =，2c t =，则平面

方程可设为 132x y z t t t

++=． 此平面与原点的距离：

6d == 解得 7t =±，则所求平面的方程为： 172114

x y z ++=± 即 62342x y z ++±=

10.设直线l 过点0(1,1,1)P ，并且与直线1l ：23

y z x ==相交，与直线2l ：123214

x y z ---==垂直，试求直线l 的方程 解 直线2l 的方向向量为2(2,1,4)s =，过0(1,1,1)P 以2s 为法向量的平面方程为： π：2(1)(1)4(1)0x y z -+-+-=

由题意知，所求直线l 在平面π上．因直线1l 与直线l 相交，故1l 与平面π也相交，我们可求出1l 与π的交点．

将1l 转化为参数式23x t y t z t =??=??=?，代入平面方程，得716t =． 故交点1P 的坐标为7721,,16816?? ???

． 由于直线l 过0(1,1,1)P 和17721,,16816P ?? ???两点，其方向向量s 与01P P =925,,161616-??- ???

平行，可选择(9,2,5)=-s ．

所以，直线l 的方程为

111925

x y z ---==- 11.判定下列各组平面与直线间的位置关系：

（1）1l ：223273

x y z -+-==--与π：4223x y z --=

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- 9 - （2）2l ：121312

x y z -++==与π：1x y z -+= 解 （1）1l 的方向向量(2,7,3)=--s ，π的法向量(4,2,2)=--n ．因为 ()()()()2472320?=-?+-?-+?-=s n

所以1//l π．

将直线1l 上的定点(2,2,3)P -，代入平面方程不满足，即P 点不在平面π上，因此直线平行于平面但不在平面上．

（2）2l 的方向向量(3,1,2)=s ，π的法向量(1,1,1)-n =，因为

()3111210?=?+?-+?≠s n ，且312111

≠≠- 所以2l 与π既不平行也不垂直，故2l 与π斜交．

（二）提高题

1.设空间四边形ABCD 各边的中点依次为P 、Q 、R 、S ．证明：

（1）四边形PQRS 是平行四边形；

（2）四边形PQRS 的周长等于四边形ABCD 的两对角线的长度之和． 证 设在四边形ABCD 中，AC 、BD 为两条对角线．

（1）在ABD ?中，由中位线定理知，12PS BD =，同理，12

QR BD =， PS QR ∴= 即 //PS QR 且PS QR = 故PQRS 是平行四边形． （2）分别在ABC ?及DAC ?中应用中位线定理，得

12

PQ AC SR == 同理，12PS QR BD == PS SR QR PQ AC BD ∴+++=+ 即四边形PQRS 的周长等于四边形ABCD 的两条对角线的长度之和． 2.已知a i =,2b j k =-,22c i j k =-+,求一单位向量m ,使m c ⊥,且m 与a ，b 共面．

解 设所求向量{},,m x y z =,依题意,有

1m = 即 2221x y z ++=

由m c ⊥知，0m c ?= 即 022=+-z y x ，

由m 与a ,b 共面知，()[]abc a b c =??=02210001=+=-z y z

y x ．

以上三式联立，解得23x =

,13y =,23z =-,或 23x =,13y =23z =-

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- 10 - 212,,333m ??∴=±-????

． 3.设{}1,1,1a =-,{}3,4,5b =-c a b λ=+，问λ取何值时，c 最小？并证明：当c 最小时，c b ⊥．

解 2()()()()c c c a b a b a a a b b a b b λλλλλλ=?=+?+=?+?+?+?

2222()b a b a λλ=+?+ ∴ 当2222()

13(1)(4)1512650253(4)5a b b λ??+-?-+?=-=-=-=-+-+时，c 最小．此时 6()13(1)(4)1550025c b a b b a b b b λλ-???=+?=?+?=?+-?-+?+?= ???

c b ∴⊥

4.试用向量方法证明正弦定理：

sin sin sin a b c A B C

==． 【分析】 由于正弦定理涉及到三角形的边与它们的夹角，并且是夹角的正弦，这使我们容易想到涉及正弦运算的向量积． 证 在ABC ?中，()

0AC CB AB +?= AC AB CB AB BC BA BA BC ∴?=-?=-?=? 两边取向量的模，有

sin sin AC AB b c A BA BC c a B ?=??=?=??

由此得到

sin sin a b A B

=． 同理可得 sin sin b c B C

= 故在ABC ?中，有sin sin sin a b c A B C

==． 5.根据p ，q 的不同取值情况，说明二次曲面222z x py qz =++的类型． 解 (1)当0p q ==时，2z x =是抛物柱面．

(2)当0q =，0p ≠时，若0p >，22z x py =+是椭圆抛物面；若0p <，22z x py =+是双曲抛物面．

(3)当0p =，0q ≠时，若20q a =>，则方程可化为2

221124x az a a ??+-= ???是椭圆柱面；若20q a =-<，则方程可化为2

221124az x a a ??+-= ???是双曲柱面． (4)当0p q ?≠时，若20p a =>，20q b =>，方程可化为22

2221122x a y bz b b ????++-= ? ?????

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- 11 - 是椭球面；若20p a =-<，20q b =-<，方程可化为22

2221122a y bz x b b ????+--= ? ?????是单叶双曲面；若20p a =>，20q b =-<，方程可化为22

2221122x a y bz b b ????+-+=- ? ?????是双叶双曲面；若20p a =-<，20q b =>，方程可化为22

2221122x a y bz b b ????-+-= ? ??

???是单叶双曲面． 6.试求到球面1∑：222(4)9x y z -++=与2∑：222(1)(1)(1)4x y z +++++=的距离之比为3:2的点的轨迹，并指出曲面的类型．

解 设所求的动点坐标为(,,)M x y z ，点M 到1∑的球心(4,0,0)的

距离

为1d =M 到2∑的球心(1,1,1)---的距离为：

2d =

则点M 到1∑

的球面距离为133d -，点M 到2∑

的球面距离为

222d -=．由已知

123322d d -=-，得1223d d =．两边平方，得 2222224(4)9(1)(1)(1)x y z x y z ????-++=+++++????

化简，得 ()

222550189370x y z x y z +++++-=．

这是一个球面方程．

7.求直线01

x y z βα-==绕z 轴旋转而成的曲面的方程，并按,αβ的值讨论它是什么曲面．

【分析】 此类问题，应先将所给的曲线方程化为参数方程，再根据旋转轴来求解． 解 直线的参数方程为x t y z t αβ=??=??=?

，绕z 轴旋转而成的曲面的方程为22222x y t z t αβ?+=+??=??，消去t ，得22222x y z αβ+-=．

当0α=，0β≠时，222x y β+=为圆柱面；

当0α≠，0β=时，22221()z x y α

=+为圆锥面； 当0α≠，0β≠时，22222x y z αβ+-=为旋转单叶双曲面．

8.求曲线C ：2220x y z x y z ?=+??+-=??

在三个坐标平面上的投影曲线方程． 【分析】 从空间曲线C 的方程2220x y z x y z ?=+??+-=??

中分别消去x ，y ，z 即可得曲线C 在三个坐标面上的投影柱面方程．再与坐标面方程联立方程组，即得投影曲线方程．

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- 12 - 解 在???=-++=0

22

2z y x z y x 中，消去x ，得

0222=-++z y z y

这是曲线C 向yOz 平面的投影柱面．此投影柱面与yOz 面的交线即为曲线C 在yOz 面上的投影曲线，故

???==-++0

0222x z y z y 即为所求．

同理，消去y 可得曲线C 向zOx 面的投影曲线()?????=+-=0

412

2y z x z x ． 消去z 可得曲线C 向xOy 面的投影曲线()?????=++=0

222x y x y x ． 9.求与平面632120x y z +++=平行，而使点(0,2,1)-与这两平面的距离相等的平面方程．

解 由题意，所求平面方程可设为

6320x y z D +++=

由点(0,2,1)-到这两个平面的距离相等，即

=得 416D += 所以 12D =或20D =-

从而所求平面的方程为：

632120x y z +++=（与已知平面重合）或632200x y z ++-=.

10．求通过直线50:40

x y z l x z ++=??-+=?且与平面π：48120x y z --+=成045角的平面方程. 解 设过直线l 的平面束方程为

5(4)0x y z x z λ+++-+=

整理得：(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=

在平面束中确定所求平面，使其与已知平面π成045角，故

cos 4π==所以 34

λ=- 故所求平面为 20712x y z ++-=

值得注意的是，平面束中未包含平面40x z -+=，此平面与已知平面π的夹角为

cos θ==

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- 13 - 因此，该平面与π的夹角045θ=，亦为所求．

所以，所求平面为207120x y z ++-=和40x z -+=．

11.设平面方程为1x y z a b c

++=，证明： （1）22221111d a b c

=++（其中d 为原点到平面的距离）； （2

）平面被三坐标面所截得的三角形面积为A = 证（1）平面的一般式为：11110x y z a b c

++-=，所以，原点到平面的距离为

d ==从而 2222

1111d a b c =++ （2）方法1 平面与x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为：(,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c 则

(,,0)PQ a b =-，(,0,)PR a c =-

0(,,)0PQ PR a b bc ac ab a c

?=-=-i j k

所以 22

112A PQ PR =

?=方法2 平面与三坐标面所围的体积为 1163

V abc Ad =

= 所以

11122A abc abc d =?==12.求过点0(2,2,4)M =，且与两个平面1π，2π都平行的直线方程，其中 1π：210x y z +--=，2π：210x y z +-+=

解 设直线的方向向量为s ，根据题设条件知，s 与1π和2π的法向量都垂直，可取 112(3,1,1)121

=-=--i j k

s

所求直线方程为

24311

x y z --==- 13.求与已知直线1l ：35211x y z +-==和2l ：31141

x y z -+==都相交，且与3l ：

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- 14 - 213321

x y z +--==平行的直线方程． 分析：所求直线l 的方向向量为(3,2,1)=s ，只要在l 上找到一个定点P ，即可使问题获解.最好选择l 与1l 或2l 的交点．

解 将1l 和2l 化为参数方程：

1l ： 235x t y t z t =-??=+??=? 2l ：341x t y t z t =+??=-??=?

设l 与1l 和2l 的交点分别对应参数1t 和2t ，则知交点分别为111(23,5,)P t t t -+，222(3,41,)Q t t t +-，由于//PQ s ，故

()()()()

121212233541321

t t t t t t --++---== 整理成方程组1212

2626t t t t -=-??+=?，解得10t =． 所以，P 的坐标为(3,5,0)-． 故所求直线方程为：35321

x y z +-== 14.设矩阵111222333a b c a b c a b c ??? ? ???是满秩的，则直线333122121x a y b z c a a b b c c ---==--- （ ） A.相交于一点 B.重合 C.平行但不重合 D.异面

【分析】 记111(,,)A a b c =，222(,,)B a b c =，333(,,)C a b c =

由于矩阵111222333a b c a b c a b c ??? ? ???

满秩，所以A 、B 、C 三点不共线．

第一条直线过点C 且平行于AB ，第二条直线过点A 且平行于BC ，故两条直线相交． 所以，正确答案为（A ）．

15.求两条直线：250240x y y z ++=??--=?

，2l ：0240y x z =??++=?的公垂线方程． 【分析】 公垂线l 既在由1l 与l 确定的平面1π上，又在由2l 与l 确定的平面2π上，因此1π和2π的交线即为公垂线

解 为求1π的平面方程，可在1l 上选取一个定点，如(5,0,4)A -，至于1π的法向量可作如下考虑：

若直线1l 的方向向量为1s ，直线2l 的方向向量为2s ，则公垂线方向为2?1s =s s ，那么，由1l 与所确定的平面1π，其法向量为1?1n =s s ．

(1,2,0)(0,2,1)(2,1,2)=?-=-1s

(0,1,0)(1,0,2)(2,0,1)=?=-2s

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- 15 - 2212(1,2,2)201

?=-=---1i j k

s =s s

11122(6,6,3)3(2,2,1)212

?=--==-i j k

n =s s

所以1π的方程为：2(5)2(4)0x y z ++++= 即 22140x y z +++=． 同理，在2l 上选取一个定点(0,0,2)B -，又2π的法向量为

22122(2,5,4)201

?=--=----i j k

n =s s

从而得平面2π的方程为

25480x y z +++=

故所求公垂线的方程为

2214025480x y z x y z +++=??+++=?

16.求直线l ：11111

x y z --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0l 的方程，并确定0l 绕y 轴旋转一周的旋转面方程．

解 首先求出l 在平面π上的投影直线0l ，0l 位于过l 且与π垂直的平面1π上．1π的法向量1n 与π的法向量n 垂直，且与l 的方向向量s 垂直，故

1112(1,3,2)111

?=-=--i j k

n =n s

所以1π的方程为(1)32(1)0x y z --++-=，即3210x y z --+=．

由于0l 位于平面π上，因此得其一般式方程2103210x y z x y z -+-=??--+=?

下面求直线0l 绕y 轴旋转的旋转曲面方程，将0l 化为参数方程形式 21(1)2

x t y t z t ??=?=???=--? 旋转面方程应满足

22221(2)(1)4x z t y t R y t ?+=+-?∈??=?

消去参数，得旋转面一般方程

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- 16 - 222214(1)4

x z y y +=+- 通过配方可进一步化为222217144()41717

x z y y +=+

-+，即 222221717117()141744

x y z +-+= 此曲面为单叶双曲面． 四、测试题

1．填空题：

（1）若向量a 与b 之间的夹角为

23

π，且3a =，5b =，则a b += ，a b -= ； （2）已知{}3,1,2a ={}1,2,3b =-，则(2)a b ?= ； （3）已知向量{},5,1a m =-和{}3,1,b n =共线，则m = ，n = ；

（4）直线1L ：

123231x y z -+-==-与直线2L ：1123

x y z +==的夹角?= ； （5）直线11236

x y z -+==与平面2230x y z +--=的夹角?= ； （6）曲线22241x y z z z ?++=??=??在xOy 平面的投影曲线的方程是 ； （7）已知2a =，5b =，2,3

a b π∧??= ???，且向量17a b αλ=+与3a b β=-垂直，则λ= ； （8）已知α,β,γ都是单位向量，且满足0αβγ++=， 则αββγγα?+?+?= ． 2．选择题：

（1）设a ，b 为非零向量，且a b ⊥，则必有（ ）. A ．a b a b +=+ B ．a b a b +=- C ．a b a b +=- D ．a b a b +=-

（2）a b a b +-成立的的是（ ）.

A ．2a b π∧??< ???，

B ．2a b π∧?? ???，

C ．2a b π∧??= ???，

D ．a b ∧?? ???，任意 （3）下列说法正确的是（ ）. A ．2i j > B ．a b a b +=-

C ．i j k ++不是单位向量

D ．i -不是单位向量

（4）设三向量a ，b ,c 满足关系：a b c ++，则a b ?=（ ）.

A ．c b ?

B ．2b b c +?

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- 17 - C ．

0 D. b c ?

（5）已知有向直线L 与向量{}2,2,1a =-平行，则下列各组数中不能作为L 的方向数的是（ ）.

A ．{}2,2,1--

B ．{}1,1,2-

C ．221,,333??-????

D ．22,,3

33πππ??--???? （6）设有直线L :321021030x y z x y z +++=??--+=?

及平面π:4220x y z -+-=，则直线L （ ）. A ．平行于π B ．在π上

C ．垂直于π

D ．与π斜交

（7）已知直线L 的方程为11112222

00A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?，其中所有系数均不为零，如果1212

A A D D =，则直线L （ ）. Ａ．平行于x 轴

B ．与x 轴相交 Ｃ．通过原点 Ｄ．与x 轴重合

（8）给定四点1(1,1,1)M ，2(2,3,4)M ，3(3,6,10)M ，4(4,10,20)M ，则四面体1234

M M M M 的体积为（ ）.

A ．1

B ．13

C ．12

D ．16 （9）螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=??=??=?

上任一点处的切线与Oz 轴的夹角为（ ）. A

． B

．C

． D

．（10）下列方程中，其图形是旋转曲面的是（ ）

A ．22214

y x z +-= B ．2224x y += C ．22212

y x z -+= D ．222123y z x ++= 3．计算题： （1）已知向量a 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，且23=a ，若a 的终点坐标为()4,3,5-，求a 的起点坐标．

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- 18 -

（2）求一平面，它平行于向量{}2,1,1l =-，且在x 轴，y 轴上的截距分别是3a =，2b =-．

（3）已知平面通过直线L ：23303210x y z x y z -+-=??+++=?

且在x 轴上的截距为２，求此平面方程．

(4)在直线0210x y z x y z ++=??+--=?

上求一点，使其到两平面210x y z +++=和230x y z ++-=的距离相等．

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- 19 -

（5）求通过点()03,1,2P -且与直线L ：1021103

x y z -+-==-垂直相交的直线方程．

（6）求曲线2

40x z y ?=???=?

绕z 轴旋转所形成的旋转曲面的方程，并求此曲面与平面1z =的交线在xOy 平面投影曲线的方程．

（7）设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且2=-AB a c ，3=+BC b c ，

568=+-CD a b c （a ，b ，c 是不共面的向量），求连接四角形ABCD 两对角线中点的向量．

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- 20 -

（8）求通过点()2,0,0-和()0,2,0-且与锥面222x y z +=的交线为抛物线的平面方程．

4．证明题：

（1）证明三平面230x y z +-+=，3210x y z -++=，23320x y z -+-=共线．

（2）若三向量p ，q ，r 不共面，求证：23+p q ，35-q r ，25+p r 必共面．

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- 21 -

第五章测试题参考答案

1．填空题：

（1

7； （2）{}14,22,10-；（3）15m =，15

n =-；（4）1

arccos 14?=；

（5）5arcsin 21?=；（6）2230x y z ?+=?

?=??；（7）40λ=；（8）32?+?+?=-αββγγα．

2．选择题：

（1）B ；（2）A ；（3）C ；（4）D ；（5）B ；（6）C ；（7）B ；（8）A ；（9）B ；（10）C ． 3．计算题：

（1）解 cos cos cos 0αβγ==>，又222cos cos cos 1αβγ++=

，故cos α=

．设a 的起点坐标为000(,,)x y z ，于是

，04c o

32

x a α-===

，03cos 2y a β-

-==

=，05cos 2z a γ-===，解得02x =，05y =-，

03z =，故a 的起点坐标为(2,5,3)-．

（2）解 可设平面方程为

132x y z c -+=，

因此，所求平面的法向量为111,,32a c ??

=-????

．又所求平面与向量l 平行，即n l ⊥，所以0n l ?=，即111

2()1(1)032c

?+-?+?-=，解得6c =，

于是所求平面方程为1326

x y z

-+=，即2360x y z -+-=．

（3）解 用平面束方程求解．

()2333210x y z x y z λ-+-++++=，整理得

()()()()2331230x y z λλλλ++-+++-=，以点()2,0,0代入，得310

λ+=，即

13

λ=-．故所求的平面方程为

()1

23332103

x y z x y z -+--

+++=，即512100x y z -+-=． (4)解 已给直线可写成对称式方程：211321x y z -++==-，再写成参数式：32

211

x t y t z t =-+??

=-??=-?

，

将其代入两平面的法式方程即为距离：

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