低温实验讲义_霍尔效应测量

变温霍尔效应

实验8—1变温霍尔效应

引言

1879年，霍尔(E.H.Hall)在研究通有电流的导体在磁场中受力的情况时，发现在垂直于磁场和电流的方向上产生了电动势，这个电磁效应称为“霍尔效应”。在半导体材料中，霍尔效应比在金属中大几个数量级，引起人们对它的深入研究。霍尔效应的研究在半导体理论的发展中起了重要的推动作用。直到现在，霍尔效应的测量仍是研究半导体性质的重要实验方法。

利用霍尔效应，可以确定半导体的导电类型和载流子浓度，利用霍尔系数和电导率的联合测量，可以用来研究半导体的导电机构(本征导电和杂质导电)和散射机构(晶格散射和杂质散射)，进一步确定半导体的迁移率、禁带宽度、杂质电离能等基本参数。测量霍尔系数随温度的变化，可以确定半导体的禁带宽度、杂质电离能及迁移率的温度特性。

根据霍尔效应原理制成的霍尔器件，可用于磁场和功率测量，也可制成开关元件，在自动控制和信息处理等方面有着广泛的应用。

实验目的

1. 了解半导体中霍尔效应的产生原理，霍尔系数表达式的推导及其副效应的产生和消除。 2. 掌握霍尔系数和电导率的测量方法。通过测量数据处理判别样品的导电类型，计算室温

下所测半导体材料的霍尔系数、电导率、载流子浓度和霍尔迁移率。

3. 掌握动态法测量霍尔系数（RH）及电导率（σ）随温度的变化，作出RH～1/T，σ～1/T曲

线,了解霍尔系数和电导率与温度的关系。 4. 了解霍尔器件的应用,理解半导体的导电机制。

实验原理

1．半导体内的载流子

根据半导体导电理论,半导体内载流子的产生有两种不同的机构：本征激发和杂质电离。 （1）本征激发

半导体材料内共价键上的电子有可能受热激发后跃迁到导带上成为可迁移的电子，在原共价键上却留下一个电子缺位—空穴，这个空穴很容易受到邻键上的电子跳过来填补而转移到邻键上。因此，半导体内存在参与导电的两种载流子：电子和空穴。这种不受外来杂质的影响由半导体本身靠热激发产生电子—空穴的过程，称为本征激发。显然，导带上每产生一个电子，价带上必然留下一个空穴。因此，由本征激发的电子浓度n和空穴浓度p应相等，并统称为本征浓度ni，由经典的玻尔兹曼统计可得

ni=n=p=(NcNv)1/2exp(-Eg/2kBT)=K’T3/2 exp(-Eg/2kBT)

式中Nc，Nv分别为导带、价带有效状态密度，K’为常数，T为温度，Eg为禁带宽度，kB为玻尔兹曼常数。

（2）杂质电离

在纯净的第IV族元素半导体材料中，掺入微量III或V族元素杂质，称为半导体掺杂。掺杂后的半导体在室温下的导电性能主要由浅杂质决定。

如果在硅材料中掺入微量III族元素（如硼或铝等），这些第III族原子在晶体中取代部

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变温霍尔效应

分硅原子组成共价键时，从邻近硅原子价键上夺取一个电子成为负离子，而在邻近失去一个电子的硅原子价键上产生一个空穴。这样满带中电子就激发到禁带中的杂质能级上，使硼原子电离成硼离子，而在满带中留下空穴参与导电，这种过程称为杂质电离。产生一个空穴所需的能量称为杂质电离能。这样的杂质叫做受主杂质，由受主杂质电离而提供空穴导电为主的半导体材料称为p型半导体。当温度较高时，浅受主杂质几乎完全电离，这时价带中的空穴浓度接近受主杂质浓度。

同理，在IV族元素半导体（如硅、锗等）中，掺入微量V族元素，例如磷、砷等，那么杂质原子与硅原子形成共价键时，多余的一个价电子只受到磷离子P+的微弱束缚，在室温下这个电子可以脱离束缚使磷原子成为正离子，并向半导体提供一个自由电子。通常把这种向半导体提供一个自由电子而本身成为正离子的杂质称为施主杂质，以施主杂质电离提供电子导电为主的半导体材料叫做n型半导体。

2． 霍尔效应和霍尔系数

设一块半导体的x方向上有均匀的电流Ix流过，在z方向上加有磁场Bz，则在这块半导体的y方向上出现一横向电势差UH，这种现象被称为“霍尔效应”，UH称为“霍尔电压”，所对应的横向电场EH称为“霍尔电场”。见图一。

图一 霍尔效应产生原理图

实验指出，霍尔电场强度EH的大小与流经样品的电流密度Jx和磁感应强度Bz的乘积成正比

EH?RH?Jx?Bz

（1）

式中比例系数RH称为“霍尔系数”。

下面以p型半导体样品为例，讨论霍尔效应的产生原理并推导、分析霍尔系数的表达式。 半导体样品的长、宽、厚分别为L、a、b，半导体载流子（空穴）的浓度为p，它们在电场Ex作用下，以平均漂移速度vx沿x方向运动，形成电流Ix。在垂直于电场Ex方向上加一磁场Bz，则运动着的载流子要受到洛仑兹力的作用

F＝qv?B

（2）

式中q为空穴电荷电量。该洛仑兹力指向-y方向，因此载流子向-y方向偏转，这样在样品的左侧面就积累了空穴，从而产生了一个指向+y方向的电场－霍尔电场Ey。当该电场对空

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穴的作用力qEy与洛仑兹力相平衡时，空穴在y方向上所受的合力为零，达到稳态。稳态时电流仍沿x方向不变，但合成电场E＝Ex＋Ey不再沿x方向，E与x轴的夹角称“霍尔角”。在稳态时，有

qEy＝qvxBz

若Ey是均匀的，则在样品左、右两侧面间的电位差

UH＝Ey·a＝vxBza

而x方向的电流强度

Ix＝q·p·vx·ab

将（5）式的vx代入（4）式得霍尔电压

（5）

（4）

（3）

UH?(由（1）、（3）和（5）式得霍尔系数

RH?1IxBz)

qpb (6）

1 qp （7）

对于n型样品，载流子（电子）浓度为n，同理可以得出其霍尔系数为

RH??1 qn （8）

上述模型过于简单。根据半导体输运理论，考虑到载流子速度的统计分布以及载流子在运动中受到散射等因素，在霍尔系数的表达式中还应引入一个霍尔因子A，则（7）、（8）式应修正为

p型： RH?A1 qp1 qn （9）

n型： RH??A (10）

A的大小与散射机理及能带结构有关。由理论算得，在弱磁场条件下，对球形等能面 的非简并半导体，在较高温度（此时，晶格散射起主要作用）情况下，A?3??1.18。 一8般地，Si、Ｇe等常用半导体在室温下属于此种情况，A取为1.18。在较低温度（此时，电离杂质散射起主要作用）情况下，A?315??1.93。对于高载流子浓度的简并半导体以及512强磁场条件，A＝1；对于晶格和电离杂质混合散射情况，一般取文献报道的实验值。

上面讨论的是只有电子或只有空穴导电的情况。对于电子、空穴混合导电的情况，在计 算RH时应同时考虑两种载流子在磁场下偏转的效果。对于球形等能面的半导体材料，可以证明：

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A(p?nb'2)? RH? 22q(p?p?n?n)q(p?nb')22A(p?p?n?n) (11）

式中b’＝μn／μp，μn和μp分别为电子和空穴的迁移率。

从霍尔系数的表达式可以看出：由RH的符号（也即UH的符号）可以判断载流子的类型，正为p型，负为n型（注意，所谓正、负是指在xyz坐标系中相对于y轴方向而言，见图一。I、B的正方向分别为x轴、z轴的正方向，则霍尔电场方向为y轴方向。当霍尔电场方向的指向与y正向相同时，则RH为正。）；RH的大小可确定载流子的浓度；还可以结合测得的电导率σ算出如下定义的霍尔迁移率μH

μH＝｜RH｜·σ

（12）

μH的量纲与载流子的迁移率相同，通常为cm2／V·s（厘米2／伏秒），它的大小与载流

子的电导迁移率有密切的关系。

霍尔系数RH可以在实验中测量出来，若采用国际单位制，由（6）、（7）式可得

RH?UHb (m3／Ｃ） IxBz （13）

但在半导体学科中习惯采用实用单位制（其中，b：厘米，Bz：高斯或Gs），则

RH?

3．霍尔系数与温度的关系

UHb×108 (cm3／C） IxBz （13’）

图二 霍尔系数与温度的关系图

RH与载流子浓度之间有反比关系，因此当温度不变时，RH不会变化；而当温度改变时，载流子浓度发生变化，RH也随之变化。图二是RH随温度T变化的关系图。图中纵坐标为RH的绝对值，曲线A和B分别表示n型和p型半导体的霍尔系数随温度的变化曲线。

下面简要地讨论曲线B：

（1）杂质电离饱和区。在曲线（a）段，所有的杂质都已电离，载流子浓度保持不变。p型半导体中p>>n，（11）式中nb’2可忽略，可简化为

RH?A

11?A>0 qpqNA4

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式中NA为受主杂质浓度。

（2） 温度逐渐升高，价带上的电子开始激发到导带，由于μn＞μp，所以b’＞1， 当温度升到使p＝nb’2时，RH＝0，出现了图中（b）段。

（3） 温度再升高时，更多的电子从价带激发到导带，p＜nb’2而使RH＜0，（11）式 中分母增大，RH减小，将会达到一个负的极值，图中（c）点。此时价带的空穴数p＝n＋NA，将它代入（11）式，并对n求微商，可以得到当 n?NA时，RH达到极值 (RH)M： b'?1 (14)

RH?A11 ?AqpqNA由此式可见，当测得(RH)M和杂质电离饱和区的RH，就可定出b’的大小。

（4） 当温度继续升高，达本征范围时，半导体中载流子浓度大大超过受主杂质浓度， 所以RH随温度上升而呈指数下降，RH则由本征载流子浓度Ni来决定，此时杂质含量不同或 杂质类型不同的曲线都将趋聚在一起，见图中（d）段。

4．半导体的电导率

在半导体中若有两种载流子同时存在，则其电导率σ为

σ＝qp?p+qn?n

（15）

图三 电导率与温度的关系图

实验得出σ与温度T的关系曲线如图三。 现以p型半导体为例分析：

（1）低温区。在低温区杂质部分电离，杂质电离产生的载流子浓度随温度升高而增加，而且?p在低温下主要取决于杂质散射，它也随温度升高而增加。因此，σ随T的增加而增加，见图的a段。室温附近。此时，杂质已全部电离，载流子浓度基本不变，这时晶格散射起主要作用，使?p随T的升高而下降，导致σ随T的升高而下降，见图的ｂ段。

（2）高温区。在这区域中，本征激发产生的载流子浓度随温度升高而指数地剧增，远远超过?p的下降作用，致使σ随T而迅速增加，见图的ｃ段。

实验中电导率σ可由下式计算出：

??

1??I?l

U??ab (16）

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式中ρ为电阻率，I为流过样品的电流，Uσ、l分别为两测量点间的电压降和长度。

对于不规则形状的半导体样品，常用范德堡（Van der Pauw）法测量，它对电极对称性的要求较低，在半导体新材料的研究中用得较多。感兴趣的读者可参阅文献［4］。

5． 霍尔效应中的副效应及其消除

在霍尔系数的测量中，会伴随一些热磁副效应、电极不对称等因素引起的附加电压叠加在霍尔电压UH上，下面作些简要说明：

（1）爱廷豪森（Ettinghausen）效应。在样品x方向通电流Ix，由于载流子速度分布的统计性，大于和小于平均速度的载流子在洛仑兹力和霍尔电场力的作用下，沿y轴的相反两侧偏转，其动能将转化为热能，使两侧产生温差。由于电极和样品不是同一种材料，电极和样品形成热电偶，这一温差将产生温差电动势UE，而且有

UE∝Ix·Bz

这就是爱廷豪森效应。UE方向与电流I及磁场B的方向有关。

（2）能斯脱（Nernst）效应。如果在x方向存在热流Qx（往往由于x方向通以电流，两端电极与样品的接触电阻不同而产生不同的焦耳热，致使x方向两端温度不同），沿温度梯度方向扩散的载流子将受到Bz作用而偏转，在y方向上建立电势差UN，有

UN∝Qx·Bz

这就是能斯脱效应。UN方向只与B方向有关。

（3）里纪-勒杜克（Righi-Ledue）效应。当有热流Qx沿x方向流过样品，载流子将倾向于由热端扩散到冷端，与爱廷豪森效应相仿，在y方向产生温差，这温差将产生温差电势URL，这一效应称里纪勒杜克效应。

URL∝Qx·Bz

URL的方向只与B的方向有关。

（4）电极位置不对称产生的电压降U0。在制备霍尔样品时，y方向的测量电极很难做到处于理想的等位面上，见图四。即使在未加磁场时，在Ａ、Ｂ两电极间也存在一个由于不等位电势引起的欧姆压降U0：

U0＝Ix·R0

其中R0为Ａ、Ｂ两电极所在的两等位面之间的电阻，U0方向只与Ix方向有关。

图四 电极位置不对称产生的电压降

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样品所在空间如果沿y方向有温度梯度，则在此方向上产生的温差电势UT也将叠加在UH中，UT与I、B方向无关。

要消除上述诸效应带来的误差，应改变Ｉ和Ｂ的方向，使UN、 URL、U0和UT从计算结果中消除，然而UE却因与Ｉ、Ｂ方向同步变化而无法消除，但UE引起的误差很小，可以忽略。

实验时在样品上加磁场B和通电流I，则y方向两电极间产生电位差U，自行定义磁场和电流的正方向改变磁场和电流方向，测出四组数据：

加+B、+I时，U1＝＋U H＋U E＋U N＋U RL＋U 0＋U T 加+B、-I时，U 2＝－U H－U E＋U N＋U RL－U 0＋U T 加-B、-I时，U 3＝＋U H＋U E－U N－U RL－U 0＋U T 加-B、+I时，U 4＝－U H－U E－U N－U RL＋U 0＋U T 由以上四式可得

UH?UE?UH?U1?U2?U3?U4

4 (17）

将实验时测得的U 1、U 2、U 3和U 4代入上式，就可消除U N、U RL、U 0、U T等附加电压引入的误差。

实验仪器

1．样品制备

在霍尔系数的测量中样品的制备是一个重要环节，样品电极位置的对称性、电极接触电阻的大小以及对称性等都直接影响到测量结果。此外，为了避免两电流电极的少数载流子注入和短路作用对测量结果的影响，两个端面要磨毛，并做成长度比宽度及厚度大得的矩形样品。实验中把一定厚度的硅、锗单晶片或外延硅薄层（外延层和衬底的掺杂浓度不一样）样品采用切割或腐蚀方法做成如图五中所示的1-5矩（或桥）形样品，在1、2、3、4、5、6电极处用蒸发、光刻、合金化等平面工艺技术制成欧姆接触电极。对于硅、锗半导体电极金属材料可用铝、金铟合金（对p-Si）、金锑合金（对n-Si）、镍等。也有更为简单的四头样品，即纵向有5、6电极，横向只有位于中部的1、3电极。也可购买商品化的四头样品有锗、硅、砷化镓的样品。

2．实验仪器

实验仪器包括电磁铁、变温设备、测量线路、特斯拉计、可自动换向恒流电源、计算机数据采集系统及软件等。

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图五 霍尔效应实验用样品形状及电极布置示意图

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磁场可采用电磁铁或永久磁场。为避免磁阻效应对霍尔测量的影响，必须选用弱磁场，弱磁场条件为μ·B<<104，迁移率μ的单位为cm2／V·s，B的单位为特斯拉T或高斯Gs。本实验中磁场固定为0.2Ｔ（200mT或2000Gs）。

3 可换向恒流源 1 2 数字电压表 4

图六 霍尔效应测量线路图

测量线路见图六，流过样品的电流由恒流源提供，实验中选用1mA，电流过大会使样品发热，电流过小则检测信号太弱。霍尔电压U12和样品电导率的压降U34都利用数据采集仪在计算机上显示。样品电流的换向和磁场换向由计算机控制自动完成或采用手动操作。变温设备可使样品温度由77K到420K范围之间连续变化。把样品架放入紫铜套内，外面包上绝缘材料，再绕以加热用的电阻丝，或在铜套外加热。

实验内容

1．测量室温下锗样品的霍尔系数和电导率

首先熟悉样品架、磁场、测量线路，仪器和软件。把样品（商品化四头样品）置于电磁铁两磁极间的中心，样品与磁场方向垂直，B固定为0.2Ｔ。样品电流定为1mA（3、4两电极间）。测1、2电极间的电压U12，改变磁场和电流的方向，共测四次。根据式(17)可求出霍尔电压UH。测U12，不加磁场，电流换向后再测一次，取两次的平均值，得平均值得Uσ。

2．变温霍尔系数及电导率的测量

把样品连同样品架放入装有液氮的杜瓦瓶内，冷到77K后将样品架放入磁场中固定，由计算机控制自动测量随样品自动升温的霍尔系数，并测量高温霍尔系数。测完后再放入液氮中降温，动态测量电导率随温度的变化。

3．数据处理

（1） 判断样品的导电类型。

（2） 计算室温下的霍尔系数及电导率，并计算样品的载流子浓度，霍尔迁移率。 （3） 由变温测量的数据，作出以下几条随温度变化的曲线：

11 ??1； ??； ?H?；

TTT定性说明之。由曲线求出禁带宽度Eg。

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变温霍尔效应

操作步骤：

1．打开实验仪器及电脑程序，单击《数据采集》 2．将样品放入机座，对好槽口固定。

3．将测量方式拨至“稳态”，样品电流换向方式拨至“手动”，磁场测量和控制仪换向转换开关拨至“手动”，调节电流至磁场为设定值（200mT）（用磁场测量探头测量）

4．测量选择拨至“RH”测得分别正向磁场+H、样品正向电流+I时霍尔电压U1；+H、-I时U2；-H、-I时U3；-H、+I时U4。

5．将电磁铁电流调到零，测量选择拨至“σ”测得+I时U5，-I时U6值 6．将样品架拿出放入液氮中（装有液氮的保温杯或杜瓦瓶）降温。

7．测量选择拨至“RH”，样品电流换至“自动”，测量方式换至“动态”，磁场控制换至“自动”并调节电流至磁场设定值（200mT）（如无电流可安“复位”按钮后调节）温度显示为77K时，将样品架放回电磁铁中，单击“数据采集”和“电压曲线”，可看到测量数据，随着样品自然升温，可测得如图七四条曲线。当温度接近室温时，调节温度设定至加热指示灯亮，并继续调大，升温至420K时，保存数据。

8．将调节温度设定调至最小（逆时针）将样品再放入液氮中降温。 9．测量选择拨至“σ”，，单击“数据采集”和“电压曲线”，可看到测量数据，当温度降至77K时拿出，随着样品自然升温，可测得如图两条曲线（图八）。当温度接近室温时，调节温度设定至加热指示灯亮，并继续调大，升温至420K时，保存数据。将调节温度设定调至最小（逆时针）。

10．打开保存的霍尔数据，单击霍尔曲线可得霍尔系数随温度变化的曲线。（图九） 11．打开保存的电导率数据，打击电导曲线可得电导率随温度变化的曲线。（图十）

图七

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图八

图九

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图十

注： 样品尺寸 锗材料（n型），长l ＝ 6ｍｍ，宽a = 4mm，厚b = 0.6 mm。

预习思考题

１．分别以p型、n型半导体样品为例，说明如何确定霍尔电场的方向。

２．霍尔系数的定义及其数学表达式是什么？从霍尔系数中可以求出哪些重要参数？ ３．霍尔系数测量中有哪些副效应，通过什么方式消除它们？你能想出消除爱廷豪效应的方法吗？

参考资料

[1] [2] [3] [4] [5]

黄昆、谢希德著，半导体物理学，§12，§17，§19，科学出版社，1958。 刘恩科、朱秉升、罗晋生编著，半导体物理学，§１２，国防工业出版社，1994。 E.H.Putley, The Hall effect and related phenomena, London Butterworths, 1960. 中科院理化测试中心，半导体检测与分析，p.430，科学出版社，1984。 L.J. Van der Pauw, Philips Technical Review, 20, 200（1958—1959）.

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图十

注： 样品尺寸 锗材料（n型），长l ＝ 6ｍｍ，宽a = 4mm，厚b = 0.6 mm。

预习思考题

１．分别以p型、n型半导体样品为例，说明如何确定霍尔电场的方向。

２．霍尔系数的定义及其数学表达式是什么？从霍尔系数中可以求出哪些重要参数？ ３．霍尔系数测量中有哪些副效应，通过什么方式消除它们？你能想出消除爱廷豪效应的方法吗？

参考资料

[1] [2] [3] [4] [5]

黄昆、谢希德著，半导体物理学，§12，§17，§19，科学出版社，1958。 刘恩科、朱秉升、罗晋生编著，半导体物理学，§１２，国防工业出版社，1994。 E.H.Putley, The Hall effect and related phenomena, London Butterworths, 1960. 中科院理化测试中心，半导体检测与分析，p.430，科学出版社，1984。 L.J. Van der Pauw, Philips Technical Review, 20, 200（1958—1959）.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ono7.html