金融经济学中的组合数学问题

金融经济学中的组合数学问题

第 1章 绪论

1.1 选题背景和意义

在金融分析中，投资方案的确定以及怎样找出好的投资组合以降低投资风险等，都涉及到组合优化模型。例如在股票中，有些炒股的人应用组合数学模型，得到一个实用性的结论：每周四下午二点后买入优选的股票后，于每周五收盘前抛出。再优选一只股票，于下周一开盘后 10 点半买入，到下周三抛出。这样操作得到的收益是天天进出收益的四倍以上。这说明天天进出，是零和游戏中收益最不佳的。而对于中线操作者而言，一旦选不好股票，其所承担的风险也较大。所以上述应用组合数学模型得到的操作方法是最佳的。从而揭示了组合数学在现实应用中的意义。

1.2 前人的研究成果

美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者马科维茨于 1952 年在《金融杂志》上发表了题为《证券组合选择》的论文，把证券组合风险和收益之间的替代关系数量化，提出了均衡分析的理论与方法，建立了现代证券组合理论的基本框架。这一理论的重要意义在于它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。马科维茨曾经在其诺贝尔经济学奖授奖演讲词中说道：“我寻求投资者们——至少有充分计算资源的投资者们事实上能遵循的一组规则。所以，我认为在计算上可行的一个近似方法优于一个不能计算的精确方法。我相信肯尼斯·阿罗的不确定经济学著作与我的著作的分歧之点是他寻求一个精确的一般解，我寻求一个能实施的好近似法。我相信两条研究路线都有价值。”现代资产组合理 论主要研究如何度量不同的投资风险，组合投资收益与风险之间的关系，以及如何选择资产以最大化组合收益等。 Samuelson 和 E.Fama分别于 1969 年和 1970 年研究了离散时间的投资消费问题。在投资者具有不变弹性效用函数的假设下，Samuelson得到投资组合选择与投资者的财富水平及消费选择无关。Merton 在连续时间下提出了最优投资消费问题，该问题假设投资者拥有两种可供选择的资产——风险资产和无风险资产，投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通过消费这些财富使自己的效用最大化。Merton 证明了投资消费模型有解析解的充分必要条件是效用函数（双曲绝对风险厌恶），对常系数模型得到了最优消费策略的显式解，在此之后，这个问题得到广泛的推广和研究。Merton 一系列的工作为后续进一步的研究奠定了基石，所以习惯上把连续时间的投资消费问题成为 Merton问题。在同样的模型假定下，Karatzas推广了 Merton的结果，对投资者的一般性效用函数得到了闭式解。上述这些结果都是利用了随机最优控制理论而获得的。

在二十世纪 60 年代和 70 年代初，数学家们应用贝尔曼最优化原理，并采用测度论和泛函分析方法，对随机最优控制理论进行数学研究，并做出了重要贡献。在金融经济学中的主要应用是解决投资决策、投资方式和投资期间的股息策略问题。随机最优控制研究的是一种动态方程，它的状态方程式是 Ito型随机微分方程（也称扩散模型）。随机最优控制问题是指在 Ito 型随机微分方程中的不确定因素，相应的决策控制是基于大量的已知信息变量，当其满足投资者的最优期望时，决策者如何从中找出一个最优的决策控制变量的问题。对于证券组合的研究，国外一些学者研究的情形包括：有外来收入流的情形，有交易费的情形，考虑破产的情形，消费品为可存品的情形，风险资产价格过程为半鞍的情形，不允许卖空或者不允许财富为零等有限制的情形，多人投资消费的情形，市场信息不完全的情形，终止时间不确定的情形等。

第 2章 市场问题

2.1 普通商品市场问题

在市场经济条件下，任何经济利益的主体都是为了追求利益的最大化，为了获取各自的经济利益，各个利益主体都汇集到市场上来。在市场上，他们通过等价交换，共同协商他们供求双方各自的经济利益，最终形成对双方都有利，供求各方都能满意接受的公正、公平的交易。所以只有通过市场，通过商品市场，各种市场主体才能利用市场信息对各种商品的价格、数量、规格、品牌、质量等各方面进行比较，通过对比选择，最终达到各自利益的最大化。所以商品市场通过自身功能的进一步发挥，能够为各种市场经济主体提供其所需的各种市场条件和市场环境，使各经济利益主体实现其利润的最大化，也只有通过商品市场，各市场主体之间的各种复杂但又惟妙惟肖的经济利益关系才能比较好地得到协调，各经济利益主体之间的矛盾也能得到更好地解决。

金融市场交易的对象是银行存款单、债券、股票、期货等证券。例如，卖方发行债券换取货币，买方用货币换取债券。与普通商品交易的不同之处在于，金融交易大多数只是货币资金使用权的转移，而普通商品交易是所有权和使用权的同时转移。在金融市场上，每一项交易都有一个买方和一个卖方，无论是买方市场，还是卖方市场，在已经成为事实的交易中，买进的和卖出的资产总和是一样多的。例如，在证券市场上，卖出一股就一定有一股买入。既然买入的总量和卖出的总量永远一样多，那么一个人获利只能以另一人的付出为基础。一个高的价格使购买人受损而卖方受益；一个低的价格使购买人受益而卖方受损，一方得到的与另一方失去的一样多，从总体上看双方收益之和等于零。在这种情况下，双方都按自利行为原则行事，谁都想获利而不是吃亏。这就涉及了怎样投资决策的问题。

2.2 金融市场组合投资问题——证券投资组合的优化问题

风险的理论含义：风险是指在人类社会中各种难以预测因素的影响，使得行为主体的期望目标与实际状况之间发生的差异，从而给行为主体造成利益损失的可能性。1901 年美国学者 H.A.威利特第一次对风险进行了实质性的分析，他认为风险是关于不愿发生的不确定性质的可观体现。1921 年美国经济学家 F.H.奈特在《风险，不确定性和利润》一书中，将风险与不确定性进行了重要区分。他认为风险是“可测定的不确定性”，而不可测定行才是真正意义上的不确定性。这表明风险是可以通过一定的途径、方法、手段进行计量和测定的。20 世纪中期，美国明尼苏达大学教授 C.A.威廉和 R.M.汉斯进一步将风险和人们的主观意思联系起来。他们认为，当人们对未来事件的发生和变化有一致的看法时，其风险就以客观存在的状况体现出来，人们对之不确定性判断统一化，如果人们的判断有差异时，人们面临的风险就产生了同样的差异。1983 年，日本学者武井勋在《风险理论》一书中，归纳出风险定义应该有的三个基本因素：①风险与不确定性有所差异；②风险是客观存在的；③风险可以被测算。

证券投资风险是指实际收益和预期收益之间的差额。证券投资的风险来源是多种多样的，不同的风险由不同的特点，从而对投资者产生不同的影响。 证券投资风险可以分为两大类：系统风险和非系统风险。

1952 年马科维茨最早以收益率和方差进行了资产组合研究，揭示了在不确定条件下投资者如何通过对风险资产进行组合建立有效边界，如何从自身的偏好出发在有效边界上选择最佳决策，以及如何通过分散投资来降低风险的内在机理，从而开创了现代投资组合理论的先河。 均值方差模型为了分散投资风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用证券投资方式，即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券。投资者最关心的问题有两个：一是预期收益率的高低，二是预期风险的大小。在马科维茨建立的这一模型中，预期收益率是证券组合收益率的期望值，预期风险是指证券组合收益率的方差。马科维茨假定投资者厌恶风险，理性的投资者总是希望在抑制风险的条件下获得最大的期望收益；而在抑制期望收益的条件下是投资风险达到最小。具有这种性质的证券成为有效证券组合。

第3章 单项基金分离现象的研究 ············· 29 3.1 预备知识 ········· 29

3.2 单项基金分离现象存在的充分必要条件及证明 ············· 32 3.3 单项基金分离的具体例子 ····················· 34 总结 ········ 37

第 3章 单项基金分离现象的研究

3.1 预备知识 （一）消费计划

假设从现在开始只有两个时期，0 时期和 1 时期，只有一个消费品，并且只能在 1 时期消费。经济当中的不确定性都体现在 1 时期具有的众多可能发生的状态。一种自然状态是 0 时期到 1 时期的不确定状态的一个完整描述。我们将所有可能的自然状态的集合记为w，其中的元素记为w。在 0 时期，我们只知道未来真实的自然状态只可能是w中的一个，但并不知道在 1 时期哪种自然状态会发生。

本节内容主要是依据两项基金分离现象存在的充分必要条件，推导出单项基金分离现象存在的充分必要条件，并给出证明。 总结

本文主要基于对基础知识的研究和探讨，研究组合分析理论在市场中的应用。

针对普通商品市场问题求解过程中的证明，本文给出了简化的证明，并进一步证明了,Beach s 原始问题。但找出一个与之相对应的具体实例，仍需更深步的研究。

针对金融市场，本文分析金融市场中组合投资优化问题，建立相关模型，帮助人们树立正确的投资理念。

针对单项基金分离成立的充分必要条件的推导，本文假设不存在无风险资产，由于存在无风险资产的情形更加复杂，涉及更多的金融知识以及组合数学方面的知识，因此本文对于存在无风险资产的情形没有考虑。 参考文献（略）

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