二次函数导学案
更新时间:2024-05-09 17:35:01 阅读量: 综合文库 文档下载
第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
一、阅读教科书第28—29页 二、学习目标:
1.知道二次函数的一般表达式; 2.会利用二次函数的概念分析解题; 3.列二次函数表达式解实际问题. 三、知识点:
一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。其中x是________,a是__________,b是___________,c是_____________. 四、基本知识练习
3
1.观察:①y=6x2;②y=- x2+30x;③y=200x2+400x+200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的
2或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次.一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的_____________.
2.函数y=(m-2)x2+mx-3(m为常数). (1)当m__________时,该函数为二次函数; (2)当m__________时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y=1-3x2 (2)y=3x2+2x (3)y=x (x-5)+2
(4)y=3x3+2x2
五、课堂训练 1.y=(m+1)x
m2?m6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
六、目标检测
1.若函数y=(a-1)x2+2x+a2-1是二次函数,则( ) A.a=1 B.a=±1 C.a≠1 2.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y=x2-1
B.y=x-1
8
C.y=
x
D.a≠-1
8
D.y=2
x
1
(5)y=x+
x
-3x+1是二次函数,则m的值为_________________.
2.下列函数中是二次函数的是( ) 1
A.y=x+
2
B. y=3 (x-1)2
C.y=(x+1)2-x2
1
D.y=2 -x
x
3.在一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为 s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为( ) A.28米 B.48米 C.68米 D.88米
4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
_______________________.
5.已知y与x2成正比例,并且当x=-1时,y=-3. 求:(1)函数y与x的函数关系式;
(2)当x=4时,y的值;
1
(3)当y=- 时,x的值.
3
1
3.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
4.已知二次函数y=-x2+bx+3.当x=2时,y=3,求 这个二次函数解析式.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象与性质
一、阅读课本:P29—31上方 二、学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物线; 2.会画二次函数y=ax2的图象;
3.掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用. 三、探索新知:
画二次函数y=x2的图象.
【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】 列表: x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? y=x2 ? ? 描点,并连线
由图象可得二次函数y=x2的性质:
1.二次函数y=x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y=x2中,二次函数a=_______,抛物线y=x2的图象开口__________. 3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y=x2与它的对称轴的交点( , )叫做抛物线y=x2的_________. 因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________. 6.抛物线y=x2有____________点(填“最高”或“最低”) .
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中,画出函数y=1
x2,y=x22,y=2x2的图象.
解:列表并填:
x ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ? y=1 x2 2 ? ?
2
y=x2的图象刚画过,再把它画出来. x ? -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ? y=2x2 ? ?
归纳:抛物线y=1
2 x2,y=x2,y=2x2的二次项系数a_______0;顶点都是__________; 对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”) .
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y=-x2,y=-1
2 x2, y=-2x2的图象.
列表: x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? y=x2 ? ?
x ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ? y=-12 x2 ? ?
x ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ? y=-2x2 ? ?
归纳:抛物线y=-x2,y=-1
2
x2, y=-2x2的二次项系数a______0,顶点都是________, 对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”) .
五、理一理
1.抛物线y=ax2的性质 图象(草图) 开口 有最高或方向 顶点 对称轴 最低点 最值 a>0 当x=____时, y有最_______ 值,是______. 当x=____时,a<0 y有最_______ 值,是______.
2.抛物线y=x2与y=-x2关于________对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于_______ 对称,开口大小_______________.
3.当a>0时,a越大,抛物线的开口越___________; 当a<0时,|a| 越大,抛物线的开口越_________;
因此,|a| 越大,抛物线的开口越________,反之,|a| 越小,抛物线的开口越________.
六、课堂训练 1.填表: 开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值 y=2当x=____时,y有最3 x2 _______值,是______. y=-8x2
2.若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是___________. 3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则m____________. 4.如图, ① y=ax2 ② y=bx2 ③ y=cx2 ④ y=dx2
比较a、b、c、d的大小,用“>”连接. ___________________________________
七、目标检测
1.函数y=3
7 x2的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________,
当x=___________时,有最_________值是_________.
2.二次函数y=mxm2?2有最低点,则m=___________.
3.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值 范围为___________.
4.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.
3
22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象与性质
一、阅读课本:P32—33上方 二、学习目标:
1.会画二次函数y=ax2+k的图象;
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质,并会应用; 3.知道二次函数y=ax2与y=的ax2+k的联系. 三、探索新知:
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1,y=x2-1的图象. 解:先列表
x y=x2+1 y=x2-1 描点并画图
观察图象得: 1. y=x2 y=x-1 y=x2+1 2 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 y=ax2 y=ax2+k a>0时,当x=______时,y有最____值为________; a<0时,当x=______时,y有最____值为________. ? ? ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? ? ? 最值 增减性
2.抛物线y=2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________; 抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.
因此,把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线_______________; 把抛物线y=ax2向下平移m(m>0)个单位,就得到抛物线_______________.
3.抛物线y=-3x2与y=-3x2+1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,由此可得二次函数y=ax2
开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 最值 与y=ax2+k的形状__________________.
五、课堂巩固训练
1.填表 函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 y=3x2
2.可以发现,把抛物线y=x2向______平移______个单位,就得到抛物线y=x2+1;把抛物线y=x2向_______平移______个单位,就得到抛物线y=x2-1.
3.抛物线y=x2,y=x2-1与y=x2+1的形状_____________.
四、理一理知识点 1.
4
y=-3x2+1 y=-4x2-5 2.将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________. 3.写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y=-x2的方向相反,形状相同的抛
物线解析式____________________________.
4.抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________.
六、目标检测
1.填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性 y=-5x2+3 y=7x2-1
2.抛物线y=-1 x2-2可由抛物线y=-1
x233+3向___________平移_________个单位得到的.3.抛物线y=-x2+h的顶点坐标为(0,2),则h=_______________. 4.抛物线y=4x2
-1与y轴的交点坐标为_____________,与x轴的交点坐标为_________.
5
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
一、阅读课本:P33—34页 二、学习目标:
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象;
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质,并要会灵活应用; 三、探索新知:
11
画出二次函数y=- (x+1)2,y- (x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性.
y=ax2 y=ax2+k y=a (x-h)2 开口方向 顶点 22先列表:
x ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ? y=-12 (x+1)2 ? ? y=-12 (x-1)2 ? ? 描点并画图.
1.观察图象,填表: 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 y=-1 (x 2+1)2 y=-1 (x-1)2 2 2.请在图上把抛物线y=-1
2
x2也画上去(草图).
①抛物线y=-111
2 (x+1)2 ,y=-2 x2,y=-2 (x-1)2的形状大小____________.
②把抛物线y=-12 x2向左平移_______个单位,就得到抛物线y=-1
2 (x+1)2 ;
把抛物线y=-11
2 x2向右平移_______个单位,就得到抛物线y=-2 (x+1)2 .
四、整理知识点
1.
对称轴 最值 增减性 (对称轴左侧)
2.对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状_________,只是_________不同. 五、课堂训练
1.填表 图象(草图) 开口 对称方向 顶点 轴 最值 对称轴 右侧的增减性 y=1 x22 y=-5 (x+3)2 y=3 (x-3)2
2.抛物线y=4 (x-2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________. 3.把抛物线y=3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 把抛物线y=3x2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 4.将抛物线y=-1
3
(x-1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.
5.写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y=-2x2都相同的二次函数解析式___________________________.
6
六、目标检测
1.抛物线y=2 (x+3)2的开口______________;顶点坐标为__________________;对称轴是_________;当x>
-3时,y______________;当x=-3时,y有_______值是_________.
2.抛物线y=m (x+n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y=-4 (x-4)2,则 m=__________,n=___________.
3.若将抛物线y=2x2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_______________. 4.若抛物线y=m (x+1)过点(1,-4),则m=_______________.
2
7
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
一、阅读课本:第35-37页. 二、学习目标:
1.会画二次函数的顶点式y=a (x-h)2+k的图象; 2.掌握二次函数y=a (x-h)2+k的性质;
3.会应用二次函数y=a (x-h)2+k的性质解题. 三、探索新知:
画出函数y=-1
2 (x+1)2-1的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.
列表:
x ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 ? y=-1 2 (x+1)2-1 ? ?
由图象归纳: 1. 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 y=-1 2 (x+1)2-1
2.把抛物线y=-11
2 x2向_______平移______个单位,再向_______平移_______个单位,就得到抛物线y=-2 (x+1)2-1.
四、理一理知识点
y=ax2 y=ax2+k y=a (x-h)2 y=a (x-h)2+k 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 (对称轴右 侧)
2.抛物线y=a (x-h)2+k与y=ax2形状___________,位置________________. 五、课堂练习 1. y=3x2 y=-x2+1 y=12 (x+2)2 y=-4 (x-5)2-3 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 (对称轴左 侧)
2.y=6x2+3与y=6 (x-1)2+10_____________相同,而____________不同. 3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=1
2 x2相同的解析式为( )
A.y=1
(x-2)22+3
B.y=1
2 (x+2)2-3
C.y=1
2
(x+2)2+3
D.y=-1
2
(x+2)2+3
4.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为__________________.
5.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为
8
_______________________.
6.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a、k的值. 7.若抛物线y=a (x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________.
六、目标检测
1. y=x+1 y=2 (x-3) y=- (x+5)-4
2.抛物线y=-3 (x+4)2+1中,当x=_______时,y有最________值是________.
3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示( )
222开口方向 顶点 对称轴
A
B
C
D
9
4.将抛物线y=2 (x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为
________________________.
5.一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为
____________________________.(任写一个)
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
一、阅读课本:第37-39页. 二、学习目标:
1.配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴; 2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式; 3.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象. 三、探索新知:
1.求二次函数y=1
2 x2-6x+21的顶点坐标与对称轴.
解:将函数等号右边配方:y=1
x22-6x+21
2.画二次函数y=1
2
x2-6x+21的图象.
解:y=1
x22-6x+21配成顶点式为_______________________.
列表: x ? 3 4 5 6 7 8 9 ? y=12 x2-6x+21 ? ?
3.用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
四、理一理知识点: y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 (对称轴 左侧)
五、课堂练习
1.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
2.用两种方法求二次函数y=3x2+2x的顶点坐标. 3.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=________,c=_________. 4.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当___________时,y随x的增大而增大;当x=________时,y有_________值是___________.
六、目标检测
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=1
2 x2-2-1的顶点坐标.
2.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的性质
一、复习知识点:“理一理知识点”的内容. 二、学习目标:
1.懂得求二次函数y=ax2+bx+c与x轴、y轴的交点的方法; 2.知道二次函数中a,b,c以及△=b2-4ac对图象的影响. 三、基本知识练习
1.求二次函数y=x2+3x-4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________. 2.二次函数y=x2+3x-4的顶点坐标为______________,对称轴为______________. 3.一元二次方程x2+3x-4=0的根的判别式△=______________. 4.二次函数y=x2+bx过点(1,4),则b=________________. 5.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0),△>0时,一元二次方程有_______________, △=0时,一元二次方程有___________,△<0时,一元二次方程_______________. 四、知识点应用
1.求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点(含y=0时,则在函数值y=0时,x的值是抛物
线与x轴交点的横坐标).
例1 求y=x2-2x-3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点(含x=0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵
坐标).
例2 求抛物线y=x2-2x-3与y轴交点坐标.
3.a、b、c以及△=b2-4ac对图象的影响. (1)a决定:开口方向、形状
(2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与-b
2a
共同决定b的正负性
??0与x轴有两个交点 (4)△=b2-4ac???0与x轴有一个交点
???0与x轴没有交点 例3 如图, 由图可得: a_______0 b_______0 c_______0 △______0
例4 已知二次函数y=x2+kx+9.
①当k为何值时,对称轴为y轴;
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点; ③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
五、课后练习
1.求抛物线y=2x2-7x-15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______. 2.抛物线y=4x2-2x+m的顶点在x轴上,则m=__________. 3.如图: 由图可得: a_______0 b_______0 c_______0 △=b2-4ac______0
六、目标检测
1.求抛物线y=x2-2x+1与y轴的交点坐标为_______________.
2.若抛物线y=mx2-x+1与x轴有两个交点,求m的范围.
3.如图:
由图可得:a _________0 b_________0 c_________0
△=b2-4ac_________0
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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c解析式求法
一、阅读课本:第39~40页. 二、学习目标:
1.会用待定系数法求二次函数的解析式; 2.实际问题中求二次函数解析式. 三、课前基本练习
1.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,2),则m的值为________________. 2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________. 七、课堂训练
1.已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求这个二次 函数的解析式. 3.将抛物线y=-(x-1)2+3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的 解析式为____________________.
4.抛物线的形状、开口方向都与抛物线y=-1
2
x2相同,顶点在(1,-2),则抛物线的解
析式为________________________________.
四、例题分析
例1 已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3),求抛物线的解析式.
例2 已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.
例3 已知抛物线与x轴的两交点为(-1,0)和(3,0),且过点(2,-3). 求抛物线的解析式.
五、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法: 1.已知抛物线过三点,设一般式为y=ax2+bx+c.
2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y=a(x-h)2+k.
3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),
设两根式:y=a(x-x1)(x-x2) .(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)
六、实际问题中求二次函数解析式
例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形
水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与 y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.
A
P BQC
八、目标检测
1.已知二次函数的图像过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,求这个二次函数解析式.
12
2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的位置关系:
22.2 二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac.
(1)当△=b2-4ac>0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点; 一、阅读课本:第43~46页 (2)当△=b2-4ac=0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点; 二、学习目标: (3)当△=b2-4ac<0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.
1.知道二次函数与一元二次方程的关系. 五、基本知识练习 2.会用一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac判断二次函数y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y=________;当y=0时,x=_______.
数. 2.二次函数y=x2-4x+6,当x=________时,y=3.
三、探索新知 3.如图,
1.问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h=20t-5t2. 一元二次方程ax2+bx+c=0 考虑以下问题: 的解为________________
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间? 4.如图
一元二次方程ax2+bx+c=3 的解为_________________
2.观察图象:
(1)二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有____个交点,则一元二次方程x2+x-2=0的根的判别式△=5.如图 填空:
_______0; (1)a________0
2
(2)二次函数y=x-6x+9的图像与x轴有___________个交点,则一元二次方程 (2)b________0
x2-6x+9=0的根的判别式△=_______0; (3)c________0
(3)二次函数y=x2-x+1的图象与x轴________公共点,则一元二次方程x2-x+1=0的根的判别式△ (4)b2-4ac________0
_______0.
六、课堂训练 1.特殊代数式求值: ①如图 看图填空: (1)a+b+c_______0 (2)a-b+c_______0 (3)2a-b _______0
四、理一理知识
1.已知二次函数y=-x2+4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程
__________________.反之,解一元二次方程-x2+4x=3又可以看作已知二次函数 __________________的函数
值为3的自变量x的值. ②如图 2a+b _______0
一般地:已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2+bx
+c=m.反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变 4a+2b+c_______0
量x的值.
13
2.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程ax2+bx+c=0的根为___________; (2)方程ax2+bx+c=-3的根为__________; (3)方程ax2+bx+c=-4的根为__________; (4)不等式ax2+bx+c>0的解集为________; (5)不等式ax2+bx+c<0的解集为________; (6)不等式-4<ax2+bx+c<0的解集为________.
七、目标检测
根据图象填空: (1)a_____0;(2)b_____0;(3)c______0; (4)△=b2-4ac_____0;(5)a+b+c_____0; (6)a-b+c_____0;(7)2a+b_____0; (8)方程ax2+bx+c=0的根为__________; (9)当y>0时,x的范围为___________; (10)当y<0时,x的范围为___________;
八、课后训练
1.已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上,则k=____________.
2.已知抛物线y=kx2+2x-1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
3.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图所示,则关于x的方程 ax2+bx+c-4=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根
4.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随x的增大而增大.
正确的说法有__________________(把正确的序号都填在横线上).
14
22.3 实际问题与二次函数(1)
一、阅读教科书:P49的问题 二、学习目标:
几何问题中应用二次函数的最值. 三、课前基本练习
1.抛物线y=-(x+1)2+2中,当x=___________时,y有_______值是__________.
1
2.抛物线y= x2-x+1中,当x=___________时,y有_______值是__________.
2
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中,当x=___________时,y有_______值是__________. 四、例题分析:(P49的探究1)
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大?
五、课后练习
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少?
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t2
-5t.小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
3.如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=10,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD
D的面积最大?
C
A B
15
4.一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应造在何处?
A
ED
CFB
六、目标检测
如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当 点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?
GDC
H
F
ABE
22.3 实际问题与二次函数(2)
商品价格调整问题
一、阅读课本:第50页(探究2) 二、学习目标:
1.懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法; 2.会应用二次函数的性质解决问题. 三、探索新知
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 分析:调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢? 解:(1)设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元. (2)设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
四、课堂训练
1.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,应如何定价才能使利润最大?
2.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月
份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:
上市时间x/(月份) 市场售价P(元/千克) 1 10.5 2 9 3 7.5 4 6 5 4.5 6 3 这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式; (2)若图中抛物线过A、B、C三点,写出抛物线对应的函数关系式;
(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大?最大值为多少? (收益=市场售价-种植成本)
16
五、目标检测
某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w有最大值?最大值是多少?
22.3 实际问题与二次函数(3)
一、阅读课本:第51页探究3 二、学习目标:
1.会建立直角坐标系解决实际问题; 2.会解决桥洞水面宽度问题. 2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不
计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
三、基本知识练习
1.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线
的关系式为___________________________________.
2.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为y=-1
4
x2,当拱桥下水位线在AB位置时,水面宽为
12m,这时水面离桥拱顶端的高度h是( )
A.3m B.26 m C.43 m D.9m
3.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为46 米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时
水面宽为43 米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶 端M处?
四、课堂练习
1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y=ax2+c的形式,请根据所给的数据求出
a、c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,
高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
图①
17
二次函数综合应用
一、复习二次函数的基本性质 二、学习目标:
灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题. 三、课前训练
1.二次函数y=kx2+2x+1(k<0)的图象可能是( )
2.如图:
(1)当x为何范围时,y1>y2?
(2)当x为何范围时,y1=y2?
(3)当x为何范围时,y1<y2?
3.如图,是二次函数y=ax2-x+a2-1的
图象,则a=____________.
135
4.若A(- ,y1),B(-1,y2),C( ,y3)为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点,则y1、y2、y3的大小
43关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3
5.抛物线y=(x-2) (x+5)与坐标轴的交点分别为A、B、C,则△ABC的面积为__________.
18
6.如图,已知在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动,同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动.当点P运动到点D时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动. (1)求点P从点A运动到点D所需的时间. (2)设点P运动时间为t(秒)
①当t=5时,求出点P的坐标. ②若△OAP的面积为S,试求出S与
t之间的函数关系式(并写出相应 的自变量t的取值范围).
四、目标检测
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0)两交点,且交y轴于 点C.
(1)求b、c的值;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点,试确定△MCD的形状.
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