2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试

2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试

1、若分数1/5的分子、分母各加X，分数变成2/3，则X的值是 7 。 解：（1+X）/（5+X）=2/3 =>3（1+X）=2（5+X）=>X=7

2、数30可以写成3个不同正整数的平方和：30=1^2+2^2+5^2，试将数42、46也写成3个不同正整数的平方和：

42 = 5^2+4^2+1^2 、46 = 6^2+3^2+1^2 。 解：由大到小试数6^2=36、5^2=25、4^2=16、3^2=9、2^2=4、1^2=1

则42 =5^2+4^2+1^2、46 =6^2+3^2+1^2

3、如图x’, y’, z’和x, y, z分别是三角形的三个外角和三个内角, 若x’：y’：z’ =

4：5：6，则x：y：z= 7：5：3 。

解：内角和x+y+z=180°=>(180°- x’)+ (180°- y’)+ (180°- z’)=180° => x’+y’+z’=360°而x’：y’：z’ = 4：5：6 => x’=360°×4/(4+5+6)= 96°、y’=120°、z’=144°

=> x=180°-96= 84°、y=60°、z=36°=>x：y：z=7：5：3

4、如图，一个U形的道路，道路的宽都是3m、周长是86m， 则它面积是 120 m2。

解：设中间凹陷部分底宽为Y、两边高各为X。 则2Y+4X+18=86 => 2X+Y=34

而面积S=3X+3X+3(Y+6)=3(2X+Y+6)=3×(34+6)=120

5、从1到2010这2010个正整数中，能被8整除，且不能被9整除的正整数有 224 个。

解：设1到2010这2010个正整数中，能被8整除的为k个。 则8k≤2010≤8（k+1） => k≤2010/8≤k+1 => 2010/8 - 1≤1k≤2010/8 => k=251 再讨论从1到2010这2010个正整数中，同时能被8、9整除的正整数有多少个

易知2010=72×27+66∴27个 则原题答案是251-27=224

6、如图长方形ABCD中，AB=24cm、BC=36cm，E是BC的中点，BF=DG=6 cm，H为AD上的任一点，则阴影部分的总面积是 324 cm2。

解1：极端假设法，设H、D重合：S=18×24÷2 + 6×36÷2 解2：S△BEH=18×24÷2 ，S△BFH=6×AH÷2，S△DGH=6×

HD÷2

通加，且AH+HD=36 => S=324

7、某种巧克力有每包3粒和每包7粒两种，小王恰好买了71粒巧克力，但已知他买的每包7粒的包数比每包3粒的包数多，则他共买了 13 包巧克力。

解：不定方程：设每包7粒的包数、每包3粒的包数分别为X、Y（X>Y） 10Y < 7X + 3Y = 71 => Y < 71 /10 = 7.1 又

7X + 3Y = 71=> 3Y = 71+7X = 70+7X +1 =>3Y

÷

7=

（10+X）…1 => Y=5 则回代X=8

8、若abcdef是一个六位数，且满足等式defabc=6〃abcdef，则a+b+c+d+e+f = 27 。

解：a×6不能进位，则a=1，defabc能整除2、3，尾数c为偶， 1000def+abc=6000abc+6def => 994def=5999abc =>2×7×71def=7

×

857abc => 142

×

def=857

×

abc=>abcdef=857142 => a+b+c+d+e+f = 8+5+7+1+4+2 =27

9、给出19个自然数，计算它们的平均数（保留到两位小数），小明

计算出的答案是21.42，与正确的答案相比除 最后一位数字以外，其余的数字都对，则正确的结果是 21.47 。

解：21.40×19=406.6；21.49×19=408.31；则407÷19≈21.42舍、408÷19≈21.47

10、小张在地铁站乘自动扶梯下楼。如果他向下走14级，那么需30秒可由自动扶梯顶端到达底部； 如果他向下走28级，那么需18秒可由自动扶梯顶端到达底部。则这部自动扶梯共有 49 级。 解：设自动扶梯每秒往下移动X级。S=14+30X =28+18 X =>X = 7/6 则S=14+30×7/6=49级

11、若a, b, c都是小于10的正整数，a×b×c能被20整除，则满足条件的有序三元数组（a, b, c）有 102 个。

解：能被20=2×2×5整除，则需含这三个因数。含5的只有5；含1个2的有2、6；含2个2的有4、8

若a=5，b=4或8，c=1、2、3、6、7、9：有1×2×6=12种，有序全排列，则6×12=72种

若a=5，b=4或8，c=5：有3×2=6种 若a=5，b=4或8，c=b：有3×2=6种 若a=5，b=4，c=8：有6种

设a=5，b=2或6，c=b：有3×2=6种

设a=5，b=2，c=6：有6种 ∴72+5×6=102

12、A、B、C、D四个班的学生人数都少于50，平均人数为46。A、B两班相差4人，B、C两班相差3人， C、D两班相差2人，且A班人数最多，则A班有 48 名学生。

解：设A班X人，显然B班X-4人，且47≤X≤49,分组讨论 A班 B班 C班 D班 总计 X人 X-4 X-1

D班人数最多，舍 X-2=46 =>X=48 X-4=46 =>X=50，舍 X-5=46=>X=51，舍 X+1 X-3 X-5 X-9 4X-8=4(X-2) 4X-16=4(X-4) 4X-20=4(X-5) X-7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/omxf.html