大连理工大学高等数学（上）期中测试

姓名：__________ 大 连 理 工 大 学 盘锦校区期中试题 学号：__________ 任课教师:________

课 程 名 称： 高等数学A(1) 试卷： A 考试形式：闭卷

学院（系）：_______ 授课院（系）：基础教学部_ 考试日期：2016年11月19日 试卷共 6页 _____ 级_____ 班

装

一 二 三 四 五 六 七 八 总分 标准分 30 20 10 10 10 10 10 100 得 分 一. 填空题(每题6分,共计30分)

11. lim?1?xn??n2??1?cosn???_____;lim?x?0?1?x??1?x???______.

2. xlim????x2?x?1?ax?b??0,则a?_____,b?_____.

3. 设f(x)???x2,x?1;b,x?1.在点x?处可导1,则a?___b_?,_ ___.?ax?

?x?sintd24.设??y?tsint?cost(t为参数),则ydx2t??＝___________.4

5. 当a?____时曲线,y?ax2和y?lnx相切,切点为____.

二. 选择题(每题4分,共计20分)

1.设函数f(x)和g(x)是x?0时的无穷小量1 且f(x)?0.若lim(1f(x)x?0?g(x))?e,则（）.(A)f(x)和g(x)是x?0时的等价无穷小.(B) f(x)?g(x).(C)当x?0时,f(x)是比g(x)是更高阶的无穷小.(D)当x?0时,g(x)是比f(x)是更高阶的无穷小.1

2. 设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,

n??n??n??则必有( )

(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立. (C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在.

n??n??11?3. 设f(x)?xx?1,则函数f(x)恰有( )个间断点.

11?x?1xA.1;B.2;C.3;D.4.

4.当x?0时,(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn

是比?ex?1?高阶的无穷小,则正整数n?( )等于

A.1;B.2;C.3;D.4.2

5.设函数f(x)?x6ex,则f(2016)(0)?( ).

3A.

2016!;669!B. 2016!;670!C.2016!;671!D. 2016!. 672!1?b?1?b?三.(10分) 设a?0,b?0,a1??a??,an?1??an??,n?1,2,?.

2?a?2?an?证明数列?an?有极限,并求其极限值.

2

四.(10分) 设?(x)在a点连续,f(x)?x?a?(x).证明: f?(a)存在的充分必

要条件是?(a)?0.

3

五．(10分) 1. 试给出函数y?f(x)在x0处可微的定义；

??????sin2．已知:cos??cos???2sin。试用微分的定义证明：y?cosx可微。

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?a?a???a?六.(10分) 设a1,a2,?,an为n个正实数,且f(x)???.

n??证明: (1) limf(x)?na1a2?an; (2) limf(x)?max?a1,a2,?,an?.

x?0x??x1x2xn1x

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七.(10分)设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)?0,f(1)?1. 证明:(1)存在x0?(0,1)使f(x0)?1?x0. (2) 存在两个不同的点?,??(0,1)使f'(?)f'(?)?1.

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