高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测

高中数学必修五第三章 《不等式》导学案及章节检测

目 录

3.1 不等关系与不等式 ........................................................................... 2 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ......................................................... 7 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ....................................................... 12 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ............................................. 16 3．3.2 简单的线性规划问题(一) ......................................................... 22 3．3.2 简单的线性规划问题(二) ......................................................... 28 a＋b3.4 基本不等式：ab≤2(二) ........................................................ 39 第三章 不等式复习课 ............................................................................ 43 第三章 不等式章末检测（A） ............................................................. 49 第三章 不等式章末检测（B） .............................................................. 56

3.1 不等关系与不等式

课时目标

1．初步学会作差法比较两实数的大小．

2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述

如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b；

如果a－b是负数，那么a0?a>b； a－b＝0?a＝b； a－b<0?a

2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b

(2)a>b，b>c?a>c(传递性)； (3)a>b?a＋c>b＋c(可加性)；

(4)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb，c>d?a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac>bd；

nn(7)a>b>0，n∈N，n≥2?a>b； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?

nna>b.

一、选择题

1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) 1122A.< B．a>b

ababC.2>2 D．a|c|>b|c| c＋1c＋1

答案 C

bab对B，若a＝1，b＝－2，则a

ab2

对C，∵c＋1≥1，且a>b，∴2>2恒成立，

c＋1c＋1

2

2

1111

解析 对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；

a∴C正确；

对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．

2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A．a>>2 B.2>>a

aabbaabbC.>a>2 D.>2>a 答案 D

ababaabbaa1

解析 取a＝－2，b＝－2，则＝1，2＝－，

bb2

∴>2>a.

3．已知a、b为非零实数，且a

2222

A．aaabbababab答案 C

22

解析 对于A，当a<0，b<0时，a

2222

对于B，当a<0，b>0时，ab>0，ab<0，ab

111

对于C，∵a0，∴2<2；

ababba对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.

ab－1,3

4．若x∈(e1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝lnx，则( ) A．a答案 C

1

解析 ∵

e

令t＝ln x，则－1

∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.

c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)， 又∵－10，∴c>a.∴c>a>b.

5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )

33

A．b－a>0 B．a＋b<0

22

C．a－b<0 D．b＋a>0 答案 D

解析 由a>|b|得－a∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对． 可取特值，如a＝2，b＝－1， a3＋b3＝7>0，故B错．

22

而a－b＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．

6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( ) A．ab>ac B．ac>bc

222

C．a|b|>c|b| D．a>b>c 答案 A

解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， 又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A. 二、填空题

7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________． 答案 [－1,6]

解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.

22

8．若f(x)＝3x－x＋1，g(x)＝2x＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．

ab答案 f(x)>g(x)

22

解析 ∵f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1>0， ∴f(x)>g(x)．

x1

9．若x∈R，则2与的大小关系为________．

1＋x2x1

答案 2≤

1＋x2

22

x12x－1－x－x－

解析 ∵＝≤0， 2－＝22

1＋x2＋x＋xx1∴2≤. 1＋x2

10．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________． 答案 A>B

11

解析 A＝，B＝.

n＋n－1n＋1＋n∵n＋n－1B.

三、解答题

a2－b2a－b11．设a>b>0，试比较2与的大小．

a＋b2a＋b解 方法一 作差法 a2－b2a－ba＋ba2－b2－a－ba2＋b2

－＝ a2＋b2a＋ba2＋b2a＋ba－ba＋b2－a2＋b22aba－b＝＝ 22

a＋ba＋ba＋ba2＋b2

∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.

2aba－ba2－b2a－b∴>0，∴22>.

a＋ba2＋b2a＋ba＋b方法二 作商法

a2－b2a－b∵a>b>0，∴2>0. 2>0，

a＋ba＋ba2－b2a2＋b2a＋b2a2＋b2＋2ab2ab∴＝2＝＝1＋2>1. 222

a－ba＋ba＋ba＋b2a＋ba2－b2a－b∴2>. a＋b2a＋b12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．

3x解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，

40＜x＜1，??①当?3x＞1，??4

x＞1，??

或?3x0＜＜1，?4?

43x即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；

343x43x②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；

434

?0＜x＜1，?x＞1③当?

?或?

，?3x??

0＜4＜1，

?3x?4

＞1，

即0＜x＜1，或x＞43x3时，logx4＞0，即f(x)＞g(x)．

综上所述，当1＜x＜4

3

时，f(x)＜g(x)；

当x＝4

3

时，f(x)＝g(x)；

当0＜x＜1，或x＞4

3

时，f(x)＞g(x)．

能力提升

13．若0

C．a1

1b2＋a2b1 D.2

答案 A

解析 方法一 特殊值法．

令a13131＝4，a2＝4，b1＝4，b2＝4

，

则ab10563

11＋a2b2＝16＝8，a1a2＋b1b2＝16＝8，

ab63

1b2＋a21＝16＝8

，

∵58>13

2>8

，∴最大的数应是a1b1＋a2b2. 方法二 作差法．

∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1，b2＝1－b1>b1，

∴0

11<2

.

又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，

a＋b)＋b2

1a21b2＝a1(1－a11(1－b1)＝a1＋b1－a21－b1， a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，

∴(a22

1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a1＋b1－2a1b1

＝(a2

1－b1)≥0，

∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.

∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1 ＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)

＝4???

a11－2??????b11－2???>0， ∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

∵(a11

1b1＋a2b2)－2＝2a1b1＋2

－a1－b1

＝b－11(2a1－1)?1?2(2a1－1)＝(2a1－1)??

b1－2?? ＝2??1?

a1－2?????1?b1－2???>0， )

1

∴a1b1＋a2b2>. 2

综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.

222

14．设x，y，z∈R，试比较5x＋y＋z与2xy＋4x＋2z－2的大小．

222

解 ∵5x＋y＋z－(2xy＋4x＋2z－2)

2222

＝4x－4x＋1＋x－2xy＋y＋z－2z＋1

222

＝(2x－1)＋(x－y)＋(z－1)≥0，

222

∴5x＋y＋z≥2xy＋4x＋2z－2，

1

当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．

2

1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．

概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．

3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．

3.2 一元二次不等式及其解法(一)

课时目标

1．会解简单的一元二次不等式．

2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．

1．一元一次不等式

一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．

b?a???b?

(2)若a<0，解集为?x|x

a??

?

(1)若a>0，解集为?x|x>?；

2．一元二次不等式

一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：

22

(1)ax＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax＋bx＋c<0 (a>0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示： 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 2 一元二次方程ax＋bx＋c ＝0(a>0)的根 2ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x1

2

1．不等式－6x－x＋2≤0的解集是( ) ?21?A.?x|－≤x≤?

32???21??? x|x≤－或x≥B.

32??

?1?C.?x|x≥?

2??

?3?D.?x|x≤－?

2??

答案 B

22

解析 ∵－6x－x＋2≤0，∴6x＋x－2≥0， ∴(2x－1)(3x＋2)≥0，

12∴x≥或x≤－. 23

22

2．一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax＋bx＋c≥0的解集为( )

A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2} C．{x|－1

解析 由题意知，－＝1，＝－2，

∴b＝－a，c＝－2a，

2

又∵a<0，∴x－x－2≤0，∴－1≤x≤2.

223．函数y＝lg(x－4)＋x＋6x的定义域是( ) A．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B

2??x－4>0，

解析 ∵?2∴x≤－6或x>2.

?x＋6x≥0，?

baca

4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )

A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 答案 B

解析 ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0， 2

∴x＋x－2<0.∴－2

22

5．若不等式mx＋2mx－4<2x＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( ) A．(－2,2) B．(－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 B

22

解析 ∵mx＋2mx－4<2x＋4x，

2

∴(2－m)x＋(4－2m)x＋4>0. 当m＝2时，4>0，x∈R；

2

当m<2时，Δ＝(4－2m)－16(2－m)<0， 解得－2

??x－4x＋6，x≥0，

6．设函数f(x)＝?

??x＋6， x<0，

2

则不等式f(x)>f(1)的解是( )

A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)

C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A

2

解析 f(1)＝1－4×1＋6＝3，

2

当x≥0时，x－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1； 当x<0时，x＋6>3，解得－3

所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题

2

7．二次函数y＝ax＋bx＋c的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

2

则不等式ax＋bx＋c>0的解集是______________． 答案 {x|x<－2或x>3}

2

8．不等式－1

2??x＋2x－3≤0，

解析 ∵?2

?x＋2x>0，?

∴－3≤x<－2或0

22

9．已知x＝1是不等式kx－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________． 答案 k≤2或k≥4

222

解析 x＝1是不等式kx－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k－6k＋8≥0， 解得k≥4或k≤2.

22

10．不等式(x－x＋1)(x－x－1)>0的解集是________________．

1－51＋5

答案 {x|x<或x>}

22

?1?232

解析 ∵x－x＋1＝?x－?＋>0，

?2?4

22

∴(x－x－1)(x－x＋1)>0可转化为

2

解不等式x－x－1>0，由求根公式知，

1－51＋5x1＝，x2＝.

222

∴x－x－1>0的解集是 ???1－51＋5??x|x

22????

???1－51＋5?

??. ∴原不等式的解集为x|x<或x>

22????

三、解答题

??122

11．若不等式ax＋bx＋c≥0的解集为?x|－≤x≤2?，求关于x的不等式cx－bx＋a<0

3??

的解集．

??12

??， x|－≤x≤2解 由ax＋bx＋c≥0的解集为

3??

12

知a<0，且关于x的方程ax＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，

3

??∴?1c－×2＝??3a1b－＋2＝－3a

52

，∴b＝－a，c＝－a.

33

所以不等式cx－bx＋a<0可变形为

?－2a?x2－?－5a?x＋a<0， ?3??3?????

2

即2ax－5ax－3a>0.

2

又因为a<0，所以2x－5x－3<0，

2

所以所求不等式的解集为???x|－1

2

.

12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3

>0.

解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3

>0变形为

(x－a)(x－a2

)>0. ∵a2

－a＝a(a－1)．

∴当a<0或a>1时，aa2

}．

当0

或x>a}． 当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．

综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2

}；

当0

或x>a}；

当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．

【能力提升】

13．已知a>a2

1>a23>0，则使得(1－aix)<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( A.???0，1a?? B.?2??1??2?1???0，a1?? C.??0，a3?? D.??0，a3??

答案 B

解析 由(1－a2

ix)<1，

得1－2a2

ix＋(aix)<1， 即ai·x(aix－2)<0. 又a1>a2>a3>0.

∴0

a，

i即x<2a，x<2且x<2.

1a2a3

∵222a>>>0

3a2a1

∴0

a. 1

14．解关于x的不等式：ax2

－2≥2x－ax(a∈R)．

解 原不等式移项得ax2

＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. 当a＝0时，x≤－1；

当a>0时，x≥2

a或x≤－1；

当－2

a≤x≤－1；

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤2

a. 综上所述，

当a>0时，解集为???

x|x≥2

a或x≤－1???

；

当a＝0时，解集为{x|x≤－1}；

当－2

a≤x≤－1??

；

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为??

?x|－1≤x≤2?

a??

.

)

1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．

2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．

3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．

3.2 一元二次不等式及其解法(二)

【课时目标】

1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．

1．一元二次不等式的解集： 判别式 Δ>0 2Δ＝b－4ac x10 (a>0) ax2＋bx＋c<0 (a>0) (1) b{x|x∈R且x≠－} 2a{x|x< x1或x>x2} ? {x|x10?f(x)·g(x)>0；

gx?gx?fxfx(2)≤0??

gx??gx(3)

；

fxfx－agx≥a?≥0.

gxgx3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：

?a>0?

ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立??；

?Δ<0?

ax2

??a<0

＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立??

?Δ≤0?

.

(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x∈D恒成立?a>f(x)max； a

一、选择题

x－2

1．不等式>0的解集是( )

x＋3

A．(－3,2) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C

x－2

解析 解不等式>0得，x>2或x<－3.

x＋3

2．不等式(x－1)x＋2≥0的解集是( )

A．{x|x>1} B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1} 答案 C

解析 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1. ∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．

x2－2x－2

3．不等式2<2的解集为( )

x＋x＋1

A．{x|x≠－2} B．R

C．? D．{x|x<－2或x>2} 答案 A

2222

解析 原不等式?x－2x－2<2x＋2x＋2?x＋4x＋4>0?(x＋2)>0，∴x≠－2. ∴不等式的解集为{x|x≠－2}．

x＋5

4．不等式≥2的解是( )

x－211

A．[－3，] B．[－，3]

2211

C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]

22答案 D

?x－2?x＋x＋5

解析 ≥2??

x－2?x－1≠0?

1??－≤x≤3，

??2??x≠1，

1

∴x∈[－，1)∪(1,3]．

2

2

5．设集合A＝{x|(x－1)<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案 C

2

解析 解不等式(x－1)<3x＋7，然后求交集．

2

由(x－1)<3x＋7，

得－1

∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．

2

6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )

A．13 C．12 答案 B

2

解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)，

2

?＝x－3x＋2>0?gg(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?? 2

?g－＝x－5x＋6>0?

??x<1或x>2

??

?x<2或x>3?

?x<1或x>3.

二、填空题 7．若关于x的不等式

x－a>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________. x＋1

答案 4

x－a解析 >0?(x＋1)(x－a)>0

x＋1

?(x＋1)(x－4)>0 ∴a＝4.

2

8．若不等式－x＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案 a≥1

解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.

9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，

?，?fx则不等式组?的解集可用P、Q表示为________．

x答案 P∩?IQ

解析 ∵g(x)≥0的解集为Q， 所以g(x)<0的解集为?IQ，

?，?fx因此?的解集为P∩?IQ.

?gx?

2

10．如果A＝{x|ax－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________． 答案 0≤a≤4

??a>02

解析 a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax－ax＋1≥0恒成立??

??g

?Δ≤0?

?0

综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4. 三、解答题

11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按

5

耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损

2

失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？

解 由题意可列不等式如下：

?20－5t?·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5. ??2??

所以t%应控制在3%到5%范围内．

2??x－x－2>0，

12．关于x的不等式组?2的整数解的集合为{－2}，求实数k?2x＋k＋x＋5k<0?

的取值范围．

2

解 由x－x－2>0，可得x<－1或x>2.

2

?x－x－2>0，?∵?2的整数解的集合为{－2}， ?2x＋k＋x＋5k<0?

52

方程2x＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，

2

5

①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；

25

②若－<－k，则应有－2<－k≤3，

2

∴－3≤k<2.

综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2. 【能力提升】

2222

13．已知x1、x2是方程x－(k－2)x＋k＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x1＋x2的最大值为( )

50

A．18 B．19 C. D．不存在

9

答案 A

解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，

22

即(k－2)－4(k＋3k＋5)≥0.

4

解得－4≤k≤－，

3

2222

又x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－(k＋5)＋19，

22

∴当k＝－4时，x1＋x2有最大值，最大值为18.

2

14．已知不等式x＋px＋1>2x＋p.

(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围； (2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．

2

解 (1)不等式化为(x－1)p＋x－2x＋1>0，

2

令f(p)＝(x－1)p＋x－2x＋1，

则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，

?，?f－

∴－2≤p≤2，于是得：?

??f??即???

2

x－x－

－

2

＋x－2x＋1>0，

2

＋x－2x＋1>0.

??x－4x＋3>0，即?2

??x－1>0.

∴x>3或x<－1.

故x的取值范围是x>3或x<－1.

2

(2)不等式可化为(x－1)p>－x＋2x－1， ∵2≤x≤4，∴x－1>0.

2

－x＋2x－1∴p>＝1－x.

x－1

由于不等式当2≤x≤4时恒成立， ∴p>(1－x)max.而2≤x≤4， ∴(1－x)max＝－1，于是p>－1. 故p的取值范围是p>－1.

1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．

2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a

3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

课时目标

1．了解二元一次不等式表示的平面区域．

2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．

1．二元一次不等式(组)的概念

含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域

在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．

不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同． (2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

一、选择题

1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

y≥－2??

A.?3x－2y＋6>0??x<0y>－2??

C.?3x－2y＋6>0??x≤0

y≥－2??

B.?3x－2y＋6≥0

??x≤0y>－2??

D.?3x－2y＋6<0

??x<0

答案 C

解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．

2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－1,6) B．(－6,1)

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A

解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0， 即(a＋1)(a－6)<0，∴－1

3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )

答案 B

解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组

??x－y>0，(Ⅰ)?

?x＋2y－2>0?

或不等式组(Ⅱ)?

?x－y<0，?

??x＋2y－2<0.

分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再

求并集，可得正确答案为B.

4x＋3y≤12，??

4．不等式组?x－y>－1，

??y≥0

表示的平面区域内整点的个数是( )

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

答案 C

解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．

x＋y≥0，??

5．在平面直角坐标系中，不等式组?x－y＋4≥0，

??x≤a面积是9，那么实数a的值为( )

A．32＋2 B．－32＋2 C．－5 D．1 答案 D

(a为常数)表示的平面区域的

解析 区域如图，

易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)， C(a，－a)．

1

S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.

2

x≥0，??

6．若不等式组?x＋3y≥4，

??3x＋y≤4

4

所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两

3

部分，则k的值是( )

7343A. B. C. D. 3734答案 A

解析 不等式组表示的平面区域如图所示．

44?4?由于直线y＝kx＋过定点?0，?.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平33?3?

面区域．

?15?因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M?，?. ?22?

45k4?15?当y＝kx＋过点?，?时，＝＋， 3223?22?7

所以k＝.

3

二、填空题

7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．

x＋2y－1≥0??

答案 ?x－y＋2≥0

??2x＋y－5≤0

解析

如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC的方程为2x＋y－5＝0， 直线BC的方程为x－y＋2＝0， 把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0， ∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.

x＋2y－1≥0??

∴同理可得△ABC区域(含边界)为?x－y＋2≥0

??2x＋y－5≤0

.

8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．

答案 6

x∈N??

解析 由题意点(x，y)的坐标应满足?y∈N

??x＋y≤2

(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．

，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，

9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．

答案 －1

解析 根据题意，分以下两种情况：

①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．

??a>0则???a＋1≤0

.无解．

②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， ??a≤0则?，∴－10?

综上所述，－1

x≤0，??

10．若A为不等式组?y≥0，

??y－x≤2

表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，

动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．

7答案 4解析

如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．

又D(0,1)，B(0,2)， ?13?E?－，?，C(－2,0)． ?22?

17

S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.

44

三、解答题

x≥3??

11．利用平面区域求不等式组?y≥2

??6x＋7y≤50

的整数解．

解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．

32

把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，

7

∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x＝4代入6x＋7y≤50，

26得y≤，

7

∴整点有：(4,2)(4,3)．

20

把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，

7

∴整点有：(5,2)；

把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；

8

把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．

7

∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．

22

12．若直线y＝kx＋1与圆x＋y＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线

kx－y＋1≥0??

x＋y＝0对称，则不等式组?kx－my≤0

??y≥0

m表示的平面区域的面积是多少？

解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；

22

又线段PQ为圆x＋y＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，

22

∴m＝－k＝－1，

kx－y＋1≥0??

∴不等式组为?x＋y≤0

??y≥0

，

1111

它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×2222

11＝.故面积为. 44能力提升

x＋y－11≥0，??

13．设不等式组?3x－y＋3≥0，

??5x－3y＋9≤0

表示的平面区域为D.若指数函数y＝a的图象上

x存在区域D上的点，则a的取值范围是( )

A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞) 答案 A

解析 作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．

??x＋y－11＝0，由?

?3x－y＋3＝0，?

x

得交点A(2,9)．

对y＝a的图象，当0

x2

当a>1，y＝a恰好经过A点时，由a＝9，得a＝3. 要满足题意，

2

需满足a≤9，解得1

x－y≥0，??2x＋y≤2，

14．若不等式组?y≥0，

??x＋y≤a______________．

4

答案 0

3

解析

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

不等式表示的平面区域如图所示，

4?22?当x＋y＝a过A?，?时表示的区域是△AOB，此时a＝； 3?33?

4

当a>时，表示区域是△AOB；

3

当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1； 当0

44

当a<0时不表示任何区域，当1

33

平面区域为三角形．

1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．

2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．

3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．

3．3.2 简单的线性规划问题(一)

课时目标

1．了解线性规划的意义．

2．会求一些简单的线性规划问题．

线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式或方程 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

一、选择题

x＋3y－3≥0，??

1．若实数x，y满足不等式组?2x－y－3≤0，

??x－y＋1≥0，

157

A．9 B. C．1 D.

715

答案 A

解析 画出可行域如图：

则x＋y的最大值为( )

当直线y＝－x＋z过点A时，z最大． ??2x－y－3＝0，由?得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9. ?x－y＋1＝0?

x＋y≤4，??

2．已知点P(x，y)的坐标满足条件?y≥x，

??x≥1，

A.10 B．8 C．16 D．10

则x＋y的最大值为( )

22

答案 D

解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A(1,1)，|OA|＝2，B(2,2)， |OB|＝22，

C(1,3)，|OC|＝10.

2222

∴(x＋y)max＝|OC|＝(10)＝10.

?

3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝?

?

的表达式为( )

122

A．－t＋t＋ B．－2t＋2t

21212

C．1－t D.(t－2)

22答案 A 解析

x，yy≥0???y≤x??y≤2－x

?

?，区域?

N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)

y≥0??

作出不等式组?y≤x??y≤2－x

所表示的平面区域．

由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得

f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC

1212

＝1－t－(1－t)

22

12

＝－t＋t＋.

2

x－y＋2≥0，??

4．设变量x，y满足约束条件?x－5y＋10≤0，

??x＋y－8≤0，

则目标函数z＝3x－4y的最大值和

最小值分别为( )

A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11,3 答案 A

解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经

过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.

x≥1，??

5设不等式组?x－2y＋3≥0

??y≥x

，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直

线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )

2812

A. B．4 C. D．2 55答案 B

解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．

要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．

|3×1－4×1－9|

经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min

5

＝4.

二、填空题

x＋y≥3，??

6．设变量x，y满足约束条件?x－y≥－1，

??2x－y≤3.

________．

答案 7

解析 作出可行域如图所示．

则目标函数z＝2x＋3y的最小值为

由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.

7．已知－1

答案 (3,8)

?－1

解析 由?得平面区域如图阴影部分所示．

?2

??x＋y＝－1，由???x－y＝3??x＋y＝4，由???x－y＝2

??x＝1，得???y＝－2.

??x＝3，得???y＝1.

∴2×3－3×1

即3

x＋2y－5≤0，??x≥1，

8．已知实数x，y满足?y≥0，

??x＋2y－3≥0，

答案 2

x＋2y－5≤0，??x≥1，

解析 画出不等式组?y≥0，

??x＋2y－3≥0yA(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.

x

则的最大值为________．

yx对应的平面区域Ω，＝

yy－0

表示平面区

xx－0

域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．

三、解答题

x＋3y≥12??

9．线性约束条件?x＋y≤10

??3x＋y≥12

解 如图作出线性约束条件

下，求z＝2x－y的最大值和最小值．

x＋3y≥12??

?x＋y≤10??3x＋y≥12

下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交

于点A(3,3)，

x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)， x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，

作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，

即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.

∴zmax＝17，zmin＝－7.

2x＋y－5≥0??

10．已知?3x－y－5≤0

??x－2y＋5≥0解 作出不等式组 2x＋y－5≥0??

?3x－y－5≤0??x－2y＋5≥0

，求x＋y的最小值和最大值．

22

的可行域如图所示，

??x－2y＋5＝0由?

?2x＋y－5＝0??x－2y＋5＝0?由???3x－y－5＝0??3x－y－5＝0由?

?2x＋y－5＝0?

2

2

，得A(1,3)， ，得B(3,4)， ，得C(2,1)，

设z＝x＋y，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．

22

故zmax＝|OB|＝25，zmin＝|OC|＝5. 能力提升

?x＋y－?x－y＋22?11．已知实数x，y满足，求x＋y－2的取值范围． ?1≤x≤4?

解 作出可行域如图，

由x＋y＝(x－0)＋(y－0)，

可以看作区域内的点与原点的距离的平方，

最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，

22

即|OP|，最大值为|OA|，

|0＋0－6|6

其中A(4,10)，|OP|＝＝＝32， 22

1＋12|OA|＝4＋10＝116，

222

∴(x＋y－2)min＝(32)－2＝18－2＝16， 222

(x＋y－2)max＝(116)－2＝116－2＝114，

22

∴16≤x＋y－2≤114.

2222

即x＋y－2的取值范围为16≤x＋y－2≤114. 2x＋y－2≥0??

12．已知实数x、y满足?x－2y＋4≥0

??3x－y－3≤0解 由于z＝

2

2

2222

，试求z＝

y＋1

的最大值和最小值． x＋1

y＋1y－－

＝， x＋1x－－

所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，

y＋1因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，

x＋1

结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即 zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2； zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.

1

∴z的最大值为3，最小值为.

2

12

1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．

2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．

3．3.2 简单的线性规划问题(二)

课时目标

1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．

1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；

(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；

根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．

2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．

一、选择题

1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )

??bx＋by≥c，A.?x≥0，??y≥0

1

2

2

a1x＋a2y≥c1，

ax＋ay≤c，??bx＋by≤c，C.?x≥0，??y≥0

11

22

12

??ax＋by≤c，

B.?x≥0，

??y≥0

2

2

2

a1x＋b1y≤c1，

ax＋ay＝c，??bx＋by＝c，

D.?x≥0，

??y≥0

11

22

12

答案 C

解析 比较选项可知C正确．

2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )

135A. B. C．4 D. 453答案 B

33

解析 由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.

55

3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对

2

项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4

3

万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )

A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元 答案 B

解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，

??x≥2y，

3可获得利润为z万元，则?x≥5，??y≥5，

z＝0.4x＋0.6y.

x＋y≤60，

由图象知，

目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值． ∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．

4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B

解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知

x＋y≤70，??10x＋6y≤480，?x≥0，??y≥0.

甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y. 画出可行域如图所示．

点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．

5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )

?2??5?A.?，2? B.?1，? ?3??3?

2?4???C.?－2，－? D.?－3，－? 3?3???

答案 C

解析 y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意． ∴k<0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．

2

∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－.

3

二、填空题

6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．

答案 2 300

5x＋6y≥50，??10x＋20y≥140，

解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则?x∈N，

??y∈N.

**

目标函数为z＝200x＋300y.

作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元． 5x－11y≥－22，??

7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件?2x＋3y≥9，

??2x≤11，则

z＝10x＋10y的最大值是________．

答案 90

解析

*

该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N，计算区域内与点?

?11，9?最近

??22?

的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.

8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．

答案 20 24 解析

设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元， 依题意约束条件为：

??4x＋5y≤200，

x＋10y≤300，?3

x≥15，??y≥15，

9x＋4y≤300，

目标函数为S＝7x＋12y.

从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．

??4x＋5y－200＝0，

解方程组?

?3x＋10y－300＝0，?

得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时， Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题

9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？

解 将已知数据列成下表： 原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 甲 5 10 乙 7 4 费用 3 2

5x＋7y≥35，??

设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么?10x＋4y≥40，

??x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：

3z3z把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的

2222

一族平行直线．

3zz由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．

222

?10x＋4y＝40，?14

由?得A(，3)，

5??5x＋7y＝35，

14

∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.

514

∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．

5

32

10．某家具厂有方木料90 m，五合板600 m，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产

3232

每张书桌需要方木料0.1 m，五合板2 m，生产每个书橱需要方木料0.2 m，五合板1 m，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．

(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下： 32 方木料(m) 五合板(m) 利润(元) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120 (1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，

0.1x≤90??

则?2x≤600??z＝80x

??x≤900

??

?x≤300?

?x≤300.

所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，

即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y个，可获利润z元， 0.2y≤90??

则?1·y≤600??z＝120y

??y≤450

????y≤600

?y≤450.

所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，

即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．

??2x＋y≤600

(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则?x≥0

??y≥0

x＋2y≤900，

??2x＋y≤600，?x≥0，??y≥0.

0.1x＋0.2y≤90

?

z＝80x＋120y.

在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．

作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.

把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．

??x＋2y＝900，由?解得点M的坐标为(100,400)． ?2x＋y＝600?

所以当x＝100，y＝400时，

zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个， 可使所得利润最大． 能力提升

11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )

A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案 A

解析 当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时， z有最小值1，与题意不符．

1z当a>0时，y＝－x＋.

aa1

斜率k＝－<0，

a仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，

直线在y轴的截距最小，此时z也最小，

与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．

1z1

当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，

aaa111

为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴aaa3

＝－3.

12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规模类型A规格 B规格 C规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．

2x＋y≥15??x＋2y≥18?x＋3y≥27??x≥0，y≥0

.

作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z＝x＋y.

作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直

571839?1839?线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A?，?，直线方程为x＋y＝.由于和都不555?55?

?1839?是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点?，?不是最优解． ?55?

经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．

答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．

1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．

2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．

§3.4 基本不等式：ab≤

课时目标

1．理解基本不等式的内容及其证明； 2．能利用基本不等式证明简单不等式．

a＋b2

(一)

1．如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．

a＋b2．若a，b都为正数，那么≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式

2a＋b为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．

2

3．基本不等式的常用推论

a＋b?2a2＋b2?(1)ab≤??≤2 (a，b∈R)； ?2?

11

(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.

2

2

xxbaba(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.

abab222

(4)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．

一、选择题

1．已知a>0，b>0，则

a＋b22

a＋ba2＋b22abA. B.ab C. D. 22a＋b答案 D

解析 方法一 特殊值法．

a＋ba2＋b22ab82ab令a＝4，b＝2，则＝3，ab＝8， ＝10，＝.∴最小．

22a＋b3a＋b2ab22a＋b方法二 ＝，由≤ab≤≤

a＋b11112

＋＋

，ab，

a2＋b2

，2ab中最小的是( ) a＋ba2＋b2

2

，可知

2ab最小． a＋babab1?1?2

(a>2)，n＝??x－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( ) a－2?2?

A．m>n B．m

11

解析 ∵m＝(a－2)＋＋2≥2a－2＋2＝4，

a－2a－2

n＝22－x2<22＝4.∴m>n.

3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )

a2＋b2a2＋b2

A．1≤ab≤ B．ab<1<

22a2＋b2a2＋b2

C．ab<<1 D.

222．已知m＝a＋

答案 B 解析 ∵ab≤?又∵∴

22

?a＋b?2，a≠b，∴ab<1，

??2?

>2>0，

a2＋b2a＋ba2＋b2

>1，∴ab<1<

a2＋b2

2

. 2

2

4．已知正数0

22

A．a＋b B．2ab C．2ab D．a＋b 答案 D

22

解析 因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2ab，a＋b>2ab，所以，最大的只能是

22

a2＋b2与a＋b之一．而a＋b－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0

22

b－1<0，因此a＋b

5．设0

答案 B

?a＋b?2，∴ab<1，∴2ab<1. 解析 ∵ab

∵

>>0，∴ >，

2222221∴a＋b>. 222222

∵b－(a＋b)＝(b－b)－a＝b(1－b)－a

222

＝ab－a＝a(b－a)>0，∴b>a＋b，∴b最大．

2

6．若不等式x＋ax＋1≥0对一切x∈(0，1]恒成立，则a的最小值为( )

5

A．0 B．－2 C．－ D．－3

2

答案 B

2

解析 x＋ax＋1≥0在x∈(0，1]上恒成立

??1??2

?ax≥－x－1?a≥?－?x＋??max.

a2＋b2a＋ba2＋b21

??x??

1?1?∵x＋≥2，∴－?x＋?≤－2，∴a≥－2. x?x?

二、填空题 7．若a<1，则a＋

1

有最______值，为________． a－1

答案 大 －1

解析 ∵a<1，∴a－1<0，

1?1?∴－?a－1＋＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)， ?a－1?1－a?

11

∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.

a－1a－1

25

8．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．

xy答案 2

解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，

252x∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)． xyx2

9．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34

答案 3

解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥234∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．

3410．若对任意x>0，

＋

xyxyxy12

，

xyx≤a恒成立，则a的取值范围为________．

x＋3x＋1

2

?1?答案 ?，＋∞? ?5?

解析 ∵x>0，∴

x>0，易知a>0.

x＋3x＋1

2

x2＋3x＋11∴≥，

xa11

∴≤x＋＋3.

ax1

∵x>0，x＋＋3≥2

xx·＋3＝5(x＝1时取等号)， x1

11∴≤5.∴a≥. a5三、解答题

bccaab＋≥a＋b＋c. abcbccaab证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．

abcbccacaabbcab∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， abbcac?bccaab?三式相加得2?＋＋?≥2(a＋b＋c)， ?abc?

bccaab即＋＋≥a＋b＋c. abc11n12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．

a－bb－ca－c解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.

11n∵＋≥， a－bb－ca－ca－ca－c∴n≤＋. a－bb－c∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，

a－b＋b－ca－b＋b－c∴n≤＋，

a－bb－cb－ca－b∴n≤＋＋2.

a－bb－cb－ca－bb－ca－b∵＋≥2 a－bb－ca－bb－c＝2(2b＝a＋c时取等号)．

11．设a、b、c都是正数，求证：＋∴n≤4.∴n的最大值是4. 能力提升

?1a?13．已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

?xy?

( )

A．8 B．6 C．4 D．2 答案 C

?1a?解析 只需求(x＋y)?＋?的最小值大于等于9即可，

?xy?

xy?1a?又(x＋y)?＋?＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ?xy?

yxxya··＝a＋2 a＋1，等号成立仅当yxxya·＝即可，所以(a)2＋2 a＋1≥9， yx2

即(a)＋2 a－8≥0求得a≥2或a≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4. 14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.

111

求证：a＋b＋c<＋＋. abc1

11

证明 ∵＋≥2 abab＝2c，

11

bcca1＋≥2 1＋≥2

1

bc1

＝2a， ＝2b，

ac?111?∴2?＋＋?≥2(a＋b＋c)， ?abc?

111

即＋＋≥a＋b＋c.

abc∵a，b，c为不等正实数，

111

∴a＋b＋c<＋＋.

abc

1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，2a＋ba2＋b2b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤ab≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当1122＋aba＝b时，取到等号． ≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，2取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解． a＋b一方面：当a＝b时，＝ab； 2a＋b另一方面：当＝ab时，也有a＝b. 2

2．两个不等式a＋b≥2ab与22a＋ba＋b

3.4 基本不等式：ab≤(二)

2

课时目标

1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1．设x，y为正实数

(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.

4(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p. 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．

一、选择题

1

＋5? (x>1)的最小值为( ) x－1??

A．－3 B．3 C．4 D．－4 答案 B

xy2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2＋4的最小值为( ) A．22 B．42 C．16 D．不存在 答案 B

解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.

33xyxyx＋2y∴2＋4≥22·4＝22＝42(x＝，y＝时取等号)．

24

2

5x－4x＋5

3．已知x≥，则f(x)＝有( )

22x－455

A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1

24

答案 D

x2－4x＋5x－2＋1

解析 f(x)＝＝ 2x－4x－1?1?

＝?x－＋≥1.

x－2?2??1

当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．

x－2x2＋5

4．函数y＝2的最小值为( )

x＋41．函数y＝log2?x＋

s2

??

5

A．2 B. C．1 D．不存在

2

答案 B

x2＋512

解析 y＝2＝x＋4＋2 x＋4x＋4

112

∵x＋4≥2，而2≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最

x＋421

值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．

x52

∴当x＋4＝2即x＝0时，ymin＝.

2

5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

911

A．3 B．4 C. D.

22

答案 B

x＋2y2

解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤().

2

2

∴原式可化为(x＋2y)＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4. 当x＝2，y＝1时取等号．

1?2?1?2?6．若xy是正数，则?x＋?＋?y＋?的最小值是( ) ?2y??2x?79

A．3 B. C．4 D.

22

答案 C

1?2?1?2?解析 ?x＋?＋?y＋? ?2y??2x?1?11?xy22

＝x＋y＋?2＋2?＋＋ 4?xy?yx?21??21??xy?＝?x＋2?＋?y＋2?＋?＋?≥1＋1＋2＝4.

4x??4y??yx??

当且仅当x＝y＝二、填空题

7．设x>－1，则函数y＝22

或x＝y＝－时取等号． 22

x＋

x＋1

x＋

的最小值是________．

答案 9

解析 ∵x>－1，∴x＋1>0， 设x＋1＝t>0，则x＝t－1，

t＋t＋t2＋5t＋44

于是有y＝＝＝t＋＋5≥

ttt2

t·＋5＝9，

tt4

4

当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，

x＋

函数y＝

x＋

x＋1

8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．

取得最小值为9.