2010届高三数学总复习专项突破：函数综合题

2010届高三数学总复习专项突破：函数综合题

1、（2009澄海）已知二次函数f(x)?ax2?bx?cx，不等式f(x)??2x的解集为(1,3)． (Ⅰ)若方程f(x)?6a?0有两个相等的实根，求f(x)的解析式； (Ⅱ)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．

2、（2009广东揭阳）设定义在R上的函数f (x)＝a0x+a1x+a2x＋a3x (a i∈R，i＝0，1，2，3 )，22

当x＝－2时，f (x)取得极大值3，并且函数y＝f? (x)的图象关于y轴对称。

（1）求f (x)的表达式；

（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐22

标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ 3 (x∈R)．

3、（2009广东揭阳）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。

4

3

2

（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）、设bn?得Tn?

3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使anan?1m?对所有n?N都成立的最小正整数m。 204、（2009广东东莞）已知函数f?x??log2ax ?a?0,a???1??， 2?222（1）若f?x1x2?x2008??8,求fx1?fx2???fx2008的值.

??????（2）当x???1,0?时，g?x??f?x?1??0,求a的取值范围.

(3)若g(x)?f?x?1?,当动点p?x,y?在y?g?x?的图象上运动时，点M??xy?,?在函数3?2?y?H?x?的图象上运动，求y?H?x?的解析式.

5、（2009广东东莞）已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x)?f(1?x)? （Ⅰ）求f()和f()?f(1. 2n?1)(n?N*)的值； n12n?1)?f(1)，求列数{an}的 （Ⅱ）若数列{an}满足an?f(0)?f()?f()???f(nnn通项公式；

（Ⅲ）若数列{bn}满足anbn?121n1,Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1，则实数k为何值时，4不等式2kSn?bn恒成立.

6、（2009广州海珠）已知f?x??xlnx,g?x??x3?ax2?x?2 (Ⅰ)求函数f?x?的单调区间;

(Ⅱ)求函数f?x?在?t,t?2??t?0?上的最小值;

(Ⅲ)对一切的x??0,???,2f?x??g'?x??2恒成立,求实数a的取值范围. 7、（2009广东湛江）已知函数f(x)?a2x?b?x1( a,b为实数)，x?R，

? f(x) (x?0). F(x)??? ?f(x) (x?0)

(1)若f(?1)?0,且函数f(x)的值域为[0, ??)，求f(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x?[?2, 2]时，g(x)?f(x)?kx是单调函数，求实数k的取值 范围；

(3)设m?n?0，m?n?0,a?0且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零. 8、（2009广州（一）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c,直线l1:y??t2?8t,其中(0≤t≤2，t为常数）； l2:x?2.若直线l1、l2与函数f (x)的图象以及l1，y轴与函数f (x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

（Ⅰ）根据图象求a、b、c的值；

（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式； （Ⅲ）若g(x)?6lnx?m,问是否存在实数m， 使得y=f (x)的图象与y=g (x)的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m的值； 若不存在，说明理由．

9、（2009广东深圳）若定义在R上的函数f?x?对任意的x1,x2?R，都有

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1成立，且当x?0时，f(x)?1。

（1）求证：f(x)?1为奇函数； （2）求证：f(x)是R上的增函数；

（3）若f(4)?5，解不等式f(3m2?m?2)?3．

??210、（2009广东揭阳）已知向量a?(x?3,1),b?(x,?y)，（其中实数y和x不同时为零），????当|x|?2时，有a?b，当|x|?2时，a//b．

(1) 求函数式y?f(x)；

（2）求函数f(x)的单调递减区间；

（3）若对?x?(??,?2]?[2,??)，都有mx?x?3m?0，求实数m的取值范围．

211、（2009广东揭阳）已知函数f(x)?(x?1),g(x)?k(x?1)，函数f(x)?g(x)其中一个

2零点为5，数列{an}满足a1?k，且(an?1?an)g(an)?f(an)?0． 2（1）求数列{an}通项公式； （2）试证明

?ai?1ni?1?n；

（3）设bn?3f(an)?g(an?1)，试探究数列{bn}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

12、（2009广东潮州）已知A(x1,y1),B(x2,y2)是f(x)?设点M(1x?log2的图象上任意两点，21?x1,b)， 2n?11i?且OM?(OA?OB)，若Sn??f()，其中n?N，且n?2。

2ni?1

（1）求b的值； （2）求Sn； （3）数列{an}中a1?21，当n?2时，an?，设数列{an}的前n项和为Tn， 3(Sn?1)(Sn?1?1)?求?的取值范围使Tn??(Sn?1?1)对一切n?N都成立。

13、（2009广东潮州）抛物线y?g(x)经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m?1,m?1)，其

中m?n?0，

b?a，设函数f(x)?(x?n)g(x)在x?a和x?b处取到极值。

（1）用m,x表示y?g(x)；

（2） 比较a,b,m,n的大小（要求按从小到大排列）；

（3）若m?n?22，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y?f(x)均相切，求

y?f(x)。

14、（2009珠海期末）已知?,?是方程4x?4tx?1?0(t?R)的两个实数根,函数

2f(x)?2x?t的定义域为[?,?]. x2?1(1)判断f(x)在[?,?]上的单调性,并证明你的结论; (2)设g(t)?maxf(x)?minf(x),求函数g(t)的最小值.

15、（2009珠海期末）已知函数f(x)?x?ax?b(a,b?R),不等式

2|f(x)|?|2x2?4x?30|对?x?R恒成立,数列{an}满足:a1?1, 22an?f(an?1)?15(n?2,n?N*), 数列{bn}满足:bn?(1)求a,b的值;

1(n?N*);

an?2(2)设数列{bn}的前n和为Sn,前n的积为Tn,求Sn?2n?1Tn的值.

详细答案：

1、解：（Ⅰ）∵不等式f(x)??2x的解集为(1,3)

∴x?1和x?3是方程ax2?(b?2)x?c?0(a?0)的两根 -----------1分

?b?2??4??a ∴? -----------2分

?c??a?3 ∴b??4a?2,c?3a -----------3 又方程f(x)?6a?0有两个相等的实根

∴??b2?4a(c?6a)?0 -----------4 ∴4(2a?1)2?4a?9a?0 ∴(5a?1)(1?a)?0

∴a??15或a?1（舍） -----------5∴a??1635,b??5,c??5 -----------6 ∴f(x)??1635x2?5x?5 -----------7（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?ax2?2(2a?1)x?3a

?a(x?2a?1a)?(2a?1)2a?3a ?a2 ??4a?1a -----------9 ∵a?0，

∴f(x)的最大值为?a2?4a?1a -----------11∵f(x)的最大值为正数

?a?0 ∴????a2?4a?1?a?0

∴??a?0a2?4a?1?0解得a??2?3或?2?3?a?0 -----------13? ∴所求实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0) -----------142、解：∵f? (x)＝4a0x3＋3a1x2＋2a2x+a3为偶函数，∴ f ?(?x) = f ?(x),

∴ ?4a0x3 +3a1x2 ?2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0对一切x ? R恒成立，

分 分 分 分

分

分

分

分

分

∴ a0＝a2＝0，∴f (x)＝a1x3＋a3x 22

又当x＝－2时，f (x)取得极大值3

?f(－ 22)＝32，??a＝2，2

3∴? 解得?∴f (x)＝3x－x，f? (x)＝2x－1 4分

2??a＝－1，f ? (－ )＝0，?2

1

3

2

3

⑵解：设所求两点的横坐标为x1、x2 (x1 < x2)，则(2x12－1)(2x22－1)＝－1 又∵x1，x2∈[－1，1]，∴2x12－1∈[－1，1]，2x22－1∈[－1，1] ∴2x12－1，2x22－1中有一个为1，一个为－1，

? x1 = ?1? x1=011

∴? x=1 或 ? ，∴所求的两点为(0，0)与(1，－3)或(0，0)与(－1，3)。 ?2? x2=0

⑶证明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。 22

当0< x < 2时，f ? (x) < 0；当2 < x < 1时，f ? (x)>0。 22

∴f (x)在[0，2]为减函数，在[2，1]上为增函数，

221

又f (0)＝0，f (2)＝－ 3，f (1)＝－3，而f (x)在[－1，1]上为奇函数， 222

∴f (x)在[－1，1]上最大值为3，最小值为－3，即 | f (x) | ≤ 3 ,

2 2

∴| f (sin x) | ≤ 3 ，| f (cos x)| ≤ 3 ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤ 223 3、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3n?1)?2(n?1)＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）

??2?

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?11133?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝

?bi＝

i?1n12111111?1?＝（1－） (1?)?(?)?...?(?)??26n?177136n?56n?1??因此，要使

11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m26n?120220≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

4、解：（1）?f?x1x2?x2008??log2a?x1x2?x2008??8,

222f?x12??f?x2 ????f?x2008??log2ax12?log2ax22???log2ax200812＝log2a?xx?x2008?2?2log?2a12xx?x2008??16………………………..5分

（2）g?x??f?x?1??log2a； 设u?x?1,x???1,0?时，u??0,1?；

?x?1??当u??0,1?时，logu2a?0,?0?2a?1,?0?a?即所求a的取值范围为?0,?……………….9分 (3) g?x??f?x?1??log2a;

?x?1?1； 2??1?2?x?u???3?x?3u,??设M?u,v?,则?；………………………11分

?v?y?y?2v??2?p?x,y?在y?g?x?上运动，?2v?log?23au?1?,

1?v?log?23au?1?..................................13分21?3x?1?即所求函数的解析式为H?x??log2a……………………14分

2111111?f()? 5、解：（Ⅰ）令 x?，则f()?f(1?)?，22222411111n?11)? …………4分 令 x?，则f()?f(1?)?，即f()?f(nnn2nn2

2n?1)?f(1) ①

nnn?1n?21)?f()???f()?f(0) ② ∴an?f(1)?f(nnn1n?11)? 由（Ⅰ），知 f()?f(nn21n?1. ………………8分 ∴①+②，得2a?(n?1)?.?an?24n?111,anbn?,?bn?（Ⅲ）∵an? 44n?1（Ⅱ）∵an?f(0)?f()?f()???f(∴Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1

1n11111111?????????233445n?1n?2

11111111?(?)?(?)?(?)???(?)233445n?1n?2??11n?? 2n?22(n?2)kn1kn2?(1?k)n?2………………………………12分 ?2kSn?bn???n?2n?1(n?1)(n?2)由条件，可知当kn?(1?k)n?2?0恒成立时即可满足条件 设f(n)?kn?(1?k)n?2

当k＞0时，又二次函数的性质知kn?(1?k)n?2?0不可能成立 当k=0时，f（n）=－n－2＜0恒成立； 当k＜0时，由于对称轴直线n??222?(1?k)111???? 2k2k22∴f（n）在[1,??)上为单调递减函数

∴只要f（1）＜0，即可满足kn2?(1?k)n?2?0恒成立 ∴由f(1)?k?(1?k)?2?0,得k?3,又k?0，∴k＜0 2综上知，k≤0，不等式2kSn?bn恒成立………………………………14分 6、(Ⅰ)f(x)?lnx?1,令f''?x??0,解得0?x?1,

e?1??f?x?的单调递减区间是?0,?;……2分

?e?

1?1?令f'?x??0,解得x?,?f?x?的单调递减区间是?,???.……4分

e?e?1，t无解；……5分 e1111(ⅱ)0

eeee11(ⅲ)?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]单调递增，

ee(Ⅱ)(ⅰ)0

f(x)min?f(t)?tlnt……9分

1?10?t??-e……10分 ?f(x)min?e，1?t?tlnt?e(Ⅲ)由题意:2xlnx?3x?2ax?1?2在x??0,???上恒成立

231x?……11分 22x?x?1??3x?1?……12分 3x1131'???设h?x??lnx?, 则h?x????22xx22x22x21'令h?x??0,得x?1,x??(舍)

3即2xlnx?3x?2ax?1 可得a?lnx?2''当0?x?1时,h?x??0;当x?1时, h?x??0

?当x?1时,h?x?取得最大值, h?x?max=-2……13分

?a??2.?a的取值范围是??2,???.……14分

7、解：(1)∵f(?1)?0，∴a?b?1?0，……………………（1分）

?a?0又x?R, f(x)?0恒成立，∴?-………………（2分）， 2???b?4a?0∴b2?4(b?1)?0，∴b?2, a?1………………（3分）. ∴f(x)?x?2x?1?(x?1). ………………（4分）

(2)g(x)?f(x)?kx?x?2x?1?kx?x?(2?k)x?1 ………………（5分）

2222k?2k?22?k2(2?k)2?2或??2时，………（7分） ?(x?)?1?，当2224即k?6或k??2时，g(x)是单调函数.…………………………（8分）

2(3) ∵f(x)是偶函数，∴f(x)?ax?1,…………………………（9分）

2??ax?1 (x?0)F(x)??………………………………（10分）， 2???ax?1 (x?0)∵m?n?0,设m?n,则n?0.又m?n?0, m??n?0, ∴|m| ? |?n|，------（12分）

F(m)＋F(n)?f(m)?f(n)?(am2?1)?an2?1?a(m2?n2)?0，

∴F(m)＋F(n)能大于零. …………………………（14分）

??c?0,?28、解：（I）由图形知：?a?8?b?8?c?0, ………2分

?4ac?b2?16,??4a?a??1,? 解之,得?b?8,∴函数f（x）的解析式为f(x)??x2?8x. ………4分

?c?0.?2??y??t?8t,2（Ⅱ）由? 得 x?8x?t(t?8)?0 …2分 2??y??x?8x,?x1?t,x2?8?t.∵0≤t≤2，

∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为(t,?t2?8t) ……………3分 由定积分的几何意义知：

S(t)??[(?t2?8t)?(?x2?8x)]dx??[(?x2?8x)?(?t2?8t)]dx ………4分

0tt2332txx?[(?t?8t)x?(??4x)]|0?[(??4x2)?(?t2?8t)x]|t2

33??4t3?10t2?16t?40. ……………5分

332（Ⅲ）令?(x)?g(x)?f(x)?x?8x?6lnx?m.

因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数

2?(x)?x2?8x?6lnx?m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交

点. ………………1分

262x?8x?6?2(x?1)(x?3)(x?0). ???(x)?2x?8??xxx当x∈（0，1）时，???(x)?0,??(x)是增函数； 当x∈（1，3）时，??(x)?0,?(x)是减函数;

当x∈（3，+∞）时，??(x)?0,?(x)是增函数; ………………2分

当x=1或x=3时，??(x)?0.

∴?(x)极大值为?(1)?m?7;?(x)极小值为?(3)?m?6ln3?15. 又因为当x无限趋近于零时，?(x)?0;当x无限大时,?(x)?0. 所以要使?(x)?0有且仅有两个不同的正根，必须且只须

??(1)?0,??(3)?0, ……………………4分 或?'???(3)?0,??(1)?0.即??m?7?0,?m?6ln3?15?0,∴m=7,或m?15?6ln3. 或?m?6ln3?15?0,m?7?0.??所以当m=7或m?15?6ln3时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点. …………5分 9、解：（1）证明：定义在R上的函数f?x?对任意的x1,x2?R，

都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1成立

令x1?x2?0,则f(0?0)?f(0)?f(0)?1?f(0)?1 （1分） 令x1?x,x2??x,则f(x?x)?f(x)?f(?x)?1

∴?f(x)?1???f(?x)?1??0 （3分） ∴f(x)?1为奇函数 （4分） （2）证明：由（1）知：f(x)?1为奇函数， ∴f(?x)?1???f(x)?1? （5分）

任取x1,x2?R，且x1?x2，则x2?x1?0 ∵f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1

∴f(x2?x1)?f(x2)?f(?x1)?1?f(x2)??f(x1)?1??f(x2)?f(x1)?1

∵当x?0时，f(x)?1，

∴f(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?1?1，∴f(x1)?f(x2) （8分） ∴f(x)是R上的增函数。 （9分）

（3）解：∵f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1，且f(4)?5

∴f(4)?f(2)?f(2)?1?f(2)?3 （10分） 由不等式f(3m2?m?2)?3，得f(3m2?m?2)?f(2) （11分） 由（2）知：f(x)是R上的增函数

22 ∴3m?m?2?2?3m?m?4?0??1?m?4 （13分） 3 ∴不等式f(3m?m?2)?3的解集为：??1,? （14分）

2??4?3?????10、解：（1）当|x|?2时，由a?b得a?b?(x2?3)x?y?0，

|2?且x?0）------------------------------------------------------2分 （|xy?x3?3x；

??当|x|?2时，由a//b.得y??x--------------------------------------4分 x2?3?x3?3x,(?2?x?2且x?0)?∴y?f(x)??x---------------------------5分

.(x?2或x??2)?2?3?x（2）当|x|?2且x?0时，由y'?3x?3<0,解得x?(?1,0)?(0,1)，---------------6分

2(3?x2)?x(?2x)3?x2当|x|?2时，y'???0------------------------------8分

(3?x2)2(3?x2)2∴函数f(x)的单调减区间为（－1，０）和（０，1）---------------------------------------9分

2,?2]?[2,??)（3）对?x?(??，都有mx?x?3m?0即m(x?3)??x，也就是

2m?x对?x?(??,?2]?[2,??)恒成立，-------------------------------------------11分 3?x2(3?x2)?x(?2x)3?x2由（2）知当|x|?2时，f'(x)???0 2222(3?x)(3?x)∴函数f(x)在(-?,-2]和[2,+?)都单调递增-----------------------------------------------12分

?22?2，f(2)???2 3?43?4x?0，∴当x?(??,?2]时，0?f(x)?2 当x??2时f(x)?23?x又f(?2)?

同理可得，当x?2时，有?2?f(x)?0，

综上所述得，对x?(??,?2]?[2,??)， f(x)取得最大值2；

∴实数m的取值范围为m?2.----------------------------------------------------------------14分

11（1）解：函数f(x)?g(x)有一个零点为5，即方程(x?1)2?k(x?1)?0，有一个根为5，将x?5代入方程得16?4k?0，∴k?4，∴a1?2---------------1分 由(an?1?an)g(an)?f(an)?0得4(an?1?an)(an?1)?(an?1)2?0

(an?1)(4an?1?4an?an?1)?0

∴an?1?0或4an?1?4an?an?1?0-------------------------------3分 由（1）知a1?2，∴an?1?0不合舍去

由4an?1?4an?an?1?0得4an?1?3an?1---------------------------4分

3(an?1)----------------------5分 43∴数列{an?1}是首项为a1?1?1，公比为的等比数列

43n?13n?1∴an?1?()，∴an?()?1-------------------------------6分

44方法1：由4an?1?3an?1得an?1?1?〔方法2：由4an?1?3an?1---①得当n?2时4an?3an?1?1----② ①-②得4(an?1?an)?3(an?an?1) ∴

3an?1?an3?（n?2）即数列{an?an?1}是首项为a2?a1，公比为的等比数列

4an?an?1411113?a1??，∴an?1?an???()n?1---------------③ 44444313n?1由①得an?1?an?代入③整理得an?()?1〕

4443n?1（2）由（1）知an?()?1

43[1?()n]n3323n?14?n?4[1?(3)n]?n------8分 ∴?ai?1??()???()?n＝

34444i?11?43n33n31?∵对?n?N,有()?，∴1?()?1??

44444∵a2?a1?

n3n∴4[1?()]?n?1?n，即?ai?1?n---------------------------------------------10分

4i?1（3）由bn?3f(an)?g(an?1)得bn?3(an?1)2?4(an?1?1)

333]?4()n＝3{[()n?1]2?()n?1}-----------------------11分

4443n?1121令u?()，则0?u?1，bn?3(u2?u)＝3[(u?)?]

42412111∵函数bn?3[(u?)?]在[,1]上为增函数，在(0,)上为减函数-----12分

2422332927当n?1时u?1，当n?2时u?，当n?3时，u?()?，当n?4时u?，

4416642719312719????1，且|?|?|?| ∵

642164264216∴bn?3[()n?1234∴当n?3时,bn有最小值，即数列{bn}有最小项，最小项为

99189b3?3[()2?]??--------------------------------------------------------13分

1616256当n?1即u?1时，bn有最大值，即数列{bn}有最大项，最大项为b1?3(1?1)?0．

?????1????????112、解：由 OM?(OA?OB)，得点M(,b)是AB的中点，

2211则(x1?x2)?， 故x1?1?x2，x2?1?x1，………… 4分 22所以b?f(x1)?f(x2)11xx1?(?log21??log22)

2221?x121?x2xxxx1111?(1?log21?log22)?(1?log21?2)?(1?0)? …… 6分 2x2x12x2x122（2）由（1）知当x1?x2?1时，f(x1)?f(x2)?y1?y2?1。 …… 8分 又Sn??f(n)?f(n)?f(n)???f(i?1n?1i12n?1)， ………… 10分 nn?1n?21)?f()???f()， nnn1n?12n?2n?11)]?[f()?f()]???[f()?f()] ∴2Sn?[f()?f(nnnnnn …………… 13分 ?1??1???1?n?1 ????∴Sn?f(n?1个 ?Sn?n?1?（n?N，且n?2） 2 …………… 14分

13、解：（1）由抛物线经过点O(0,0)、A(m,0)设抛物线方程y?kx(x?m),k?0， 又抛物线过点P(m?1,m?1)，则m?1?k(m?1)(m?1?m)，得k?1， 所以y?g(x)?x(x?m)?x2?mx。 …………………… 3分 （2）f(x)?(x?n)g(x)?x(x?m)(x?n)?x3?(m?n)x2?mnx，

f/(x)?3x2?2(m?n)x?mn，函数f(x)在x?a和x?b处取到极值，…… 5分

故f/(a)?0,f/(b)?0，

?m?n?0，

?f/(m)?3m2?2(m?n)m?mn?m2?mn?m(m?n)?0 ………… 7分 f/(n)?3n2?2(m?n)n?mn?n2?mn?n(n?m)?0

又b?a，故b?n?a?m。 …… 8分 （3）设切点Q(x0,y0)，则切线的斜率k?f/(x0)?3x02?2(m?n)x0?mn 又y0?x03?(m?n)x02?mnx0，所以切线的方程是

y?x03?(m?n)x02?mnx0?[3x02?2(m?n)x0?mn](x?x0) …… 9分

又切线过原点，故?x03?(m?n)x02?mnx0??3x03?2(m?n)x02?mnx0

m?n。 ………… 10分 2/m?n)， 两条切线的斜率为k1?f/(0)?mn，k2?f(2122由m?n?22，得(m?n)?8，??(m?n)??2，

4所以2x03?(m?n)x02?0，解得x0?0，或x0?m?n3(m?n)2m?n1)??2(m?n)??mn??(m?n)2?mn?mn?2， ?k2?f(2424/ ………………………… 12分 所以k1k2?mn(mn?2)?(mn)?2mn?(mn?1)?1??1，

又两条切线垂直，故k1k2??1，所以上式等号成立，有m?n?22，且mn?1。 所以f(x)?x3?(m?n)x2?mnx?x3?22x2?x。 ………… 14 分 14、解：（1）f(x)在[?,?]上为增函数…………………………………..1分

22

2x?t?2x2?2tx?2'∵f(x)?2，∴f(x)?，……….…………….3分

x?1(x2?1)2∵ 当x?(?，?)时，4x?4tx?1?0……………………………….4分 ∴ 当x?(?，?)时，?2x?2tx?2221?0， 2∴当x?(?，?)时，?2x?2tx?2?0，…………………………..5分 ∴f'(x)?0，∴f(x)在[?，?]上单增。………………………6分

（2）由题意及（1）可知，f(x)max?f(?)，f(x)min?f(?)，…………………7分 ∴g(t)?f(?)?f(?)?2??t2??t(???)[?2???t(???)?2]?2?……..8分 22222??1??1???????1∵????t，????122，∴????(???)?4???t?1，……………..9分 41?2??2?(???)2?2???t2?，

28t2?1(2t2?5)∴g(t)?，t?R…………………………………………………..10分 216t?25令t2?1?U，则t?U?1，U?[1，??)

228U(2U2?3)16U3?24U?∴g(t)?，……………………………………………11分 2216U?916U?916U3?24U'8(32U4?6U2?27)∵()??0………………………………..…….12分 22216U?9(16U?9)16U3?24U??)单增，……………………………………..……………..13分 ∴在[1，216U?9∴当U?1，t?0时，g(t)min?28。………………………………………………..14分 515、解：（1）方程2x?4x?30?0有两实根x??5或x?3…………………………..1分

2由题意知:当x??5时,f(?5)?2?(?5)?4?(?5)?30?0，

又∵f(?5)?0 ∴f(?5)?0…………………………………………….3分 ∴?5是f(x)的一个零点，同理，3也是f(x)的一个零点，…………………….4分

∴f(x)?x2?ax?b?(x?3)(x?5)?x2?2x?15，即a?2，b??15，

22显然，x?2x?15?2x?2x?15对x?R恒成立。

∴a?2，b??15…………………………………………………………………….6分 （2）∵a1?1，2an?f(an?1)?15， 22n?2，3，4，?……………………………..7分 ∴2an?an?1?2an?1?an?1(an?1?2)，

∴

aa113，4，?，2，3，? ?n?1，n?2，?n，n?1，an?1?22anan?22an?1a1?n，………………………………………………………..…..9分 an?22an?1aa1a2a31a1……………...10分 ?????n?n?1?n?12a22a32a42an?12an?12an?12∴bn?Tn?b1b2?bn?aan2(an?1?an)111又∵bn?…………….12分 ?n????an?22an?12anan?12anan?1anan?1∴Sn?b1?b2???bn?(111111111 ?)?(?)???(?)???2?a1a2a2a3anan?1a1an?1an?1 ………….13分 ∴2n?1Tn?1?2?Sn，∴Sn?2n?1Tn?2为定值。………………………..14分 an?1

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