山东省2013年春季高考数学试题word版(含答案解析)

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山东省2013年普通高校招生（春季）考试

数学试题

注意事项：

1. 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2. 本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.

卷一（选择题，共60分）

一、选择题（本题25个小题，每小题3分，共75分）

1,2,3,4 ,N 1,2,3 ，则下列关系式中正确的是（ ） 1.若集合M

A. M N M B. M N N C. N M D. N M 2．若p是假命题，q是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. q B. p q C. (p q) D. p q

3. 过点p(1,2)且与直线3x y 1 0平行的直线方程是（ ）

A. 3x y 5 0 B. x 3y 7 0 C. x 3y 5 0 D. x 3y 5 0 4. “a c 2b”是“a,b,c”成等差数列的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数y x2 4x 5的定义域是（ ）

A. 1,5 B. 5, 1 C. ( , 1] [5, ) D. ( , 5] [1, ) 6. 已知点M(1，2),N(3，4),则

1

的坐标是（ ） 2

A.(1,1) B.（1,2） C.（2,2） D. （2,3）

7. 若函数y 2sin( x )的最小正周期为 ，则 的值为（ ）

3

1

A. 1 B. 2 C. D. 4

2

8. 已知点M(-1，6),N(3，2),则线段MN的垂直平分线方程为（ ） A. x y 4 0 B. x y 3 0 C. x y 5 0 D. x 4y 17 0 9. 五边形ABCDE为正五边形，以A,B,C,D,E为顶点的三角形的个数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

10. 二次函数y (x 3)(x 1)的对称轴是（ ） A. x 1 B. x 1 C. x 2 D. x 2

11. 已知点P(9 m,m 2)在第一象限，则m的取值范围是（ ） A. 2 m 9 B. 9 m 2 C. m 2 D. m 9

12. 在同一坐标系中，二次函数y (1 a)x2 a与指数函数y ax的图象 可能的是 （ ）

A. B. C. D.

13. 将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右

卷号顺序恰为1,2,3,4

的概率等于（ ）

1111A. B. C. D.

8

241216

14. 已知抛物线的准线方程为x 2 ，则抛物线的标准方程为（ ） A. y2 8x B. y2 8x C. y2 4x D. y2 4x

) 2，则cos2 等于（ ） 15. 已知tan(

4321

A. B. C. D.

5555

16. 在下列函数图象中，表示奇函数且在(0, )上为增函数的是（ ）

A. B. C. D.

17. (2x 1)5的二项展开式中x3的系数是（ ）

A. -80 B. 80 C. -10 D. 10 18. 下列四个命题：

（1）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行；

（2）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； （3）平行于同一个平面的两个平面平行； （4）垂直于同一个平面的两个平面平行。 其中真命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19. 设0 a b 1，那么loga与logb的大小关系（ ） A. loga logb B. loga logb C. loga logb D. 无法确定

5

5

5

5

5

5

5

5

x y 2 0

20. 满足线性约束条件 x 0 y 0

z 2x 2y取得最大值时的最优解是（ A.(0,0) B.（1,1）

C.（2,0） D. （0,2）

21. 若a b(ab 0), 则下列关系式中正确的是（ ）

11

A. a b B. ac2 bc2 C. D. c a c b

ab22. 在 ABC中已知a 3，b 4，c ，则 ABC的面积是（ ） A.

3

B. C. 23 D. 33 2

m

23. 若点p(log3,3n)关于原点的对称点为p/(1, 9),则m与n的值分别为( )

11

A. ,2 B. 3,2 C. ,-2 D. -3,-2

33

24. 某市2012年的专利申请量为10万件，为了落实“科教兴鲁”战略，该市计划2017年专利申请量达到20万件，其年平均增长率最少为（ ） A. 12.25 B. 13.32 C. 14.78 D. 18.92

25. 如图所示，点p是等轴双曲线上除顶点外的任意一点，A1,A2是双曲线的顶

点，则直线pA1与pA2的斜率之积为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D.-2

卷二（非选择题，共60分）

二、填空题（本题5个小题，每小题4分，共20分）

26. 已知函数f(x) x2，则f(t 1) ______________.

27. 某射击运动员射击5次，命中的环数为9,8,6,8,9则这5个数据的方差为

______________.

28. 一个球的体积与其表面积的数值恰好相等，该球的直径是______________. 29. 设直线x y 32 0与圆x2 y2 25的两个交点为A,B，则线段AB的长度

为_________.

30. 已知向量 (cos ,sin ), (0,3)，若 取最大值，则的坐标为_________ .

三、解答题（本题5个小题，共55分，请在答题卡的相应的题号处写出解答过程） 31. （本题9分）在等比数列 an 中，a2 4，a3 8。求： （1）该数列的通向公式； （2）该数列的前10项和。

32. （本题11分）已知点p（4,3）是角 终边上一点，如图所示。

求sin(

2 )的值。 6

33. （本题11分）如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1

(1) 求三棱锥C1 BCD的体积；

(2) 求证：平面C1BD 平面A1B1CD.

1

B

34. （本题12分）某市为鼓励居民节约用电，采取阶梯电价的收费方式，居民

当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按每度0.8元收费；超过150度的部分按每度1.2元收费.该居

民当月的用电量x(度)与应付电费y(元)的函数图象如图所示。 （1）求该市居民用电的基础电价是多少？

（2）某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元？ （3）当x 100,150 时，求x与y的函数关系式（x为自变量）

35. （本题12分）已知椭圆的一个焦点为F1( 3,0),其离心率为

（1）求该椭圆的标准方程；

。 2

422

x y （2）圆的任一条切线与椭圆均有两个交点A,B，

5

求证：OA OB(O为坐标原点)。

山东省2013年普通高校招生（春季）考试答案 一、选择题（本题25个小题，每小题3分，共75分）

1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.B 10.D

11.A 12.C 13.D 14.B 15.D 16.A 17.B 18.B 19.C 20.C 21.D 22.D 23.A 24.C 25.A

二、填空题（本题5个小题，每小题4分，共20分）

6

26. (t 1)2或t2 2t 1 27. 或1.2 28.6 29.8 30.（0,1）

5三、解答题（本题5个小题，共55分，请在答题卡的相应的题号处写出解答过程）

31.（本题9分）

（1）解法一：由等比数列的定义可知：公比q

a38

2 2分 a24

由

a2

q，得a1 2 2分 a1

因此，所求等比数列的通项公式为an a1qn 1 2 2n 1 2n 1分 解法二：设等比数列的通项公式为an a1qn 1

a1q 4

由已知列方程组 2 2分

a1q 8 a1 2

解之得 2分

q 2 因此，所求等比数列的通项公式为an a1qn 1 2 2n 1 2n 1分 （2）由等比数列的前n和公式，得

a1(1 q10)

S10 2分

1 q2(1 210)

=2046 1分

1 2 即：该数列的前10项和为2046. 32. （本题11分）

解：由p（4,3）是角 终边上一点，知x 4,y 3

得r 0p 2 42 5 1分

34

所以sin ，cos 2分

55 所以cos2 cos2 sin2

7

2分 25

sin2 2sin cos

24

2分 25

所以sin(

2 ) sincos2 cossin2 2分 666

7 3

2分 50

33. （本题11分）

11

解：（1）由正方体的棱为1，可得 BCD的面积为 1 1 2分

22111

所以，VC1 BCD 1 2分

326 （2）证明：由CD 平面B1BCC1,又BC1 平面B1BCC1,得CD BC1 2分 又正方形B1BCC1中，B1C BC1 1分 且B1C CD C,B1C 平面A1B1CD,CD 平面A1B1CD

所以BC1 平面A1B1CD 2分 BC1 平面C1BD

所以，平面C1BD 平面A1B1CD 2分 34. （本题12分）

解：（1）设该市居民用电的基础电价是每度k1元，

则所用电量x(度)与应付电费y(元)的函数关系是y k1x(0 x 100) 1分 由函数图象过点（100,50），得50 100k1，即k1 0.5 1分 所以，既基础电价为每度0.5元。 1分

（2）由阶梯电价曲线可知，在210度电中，

其中，100度的电费为y1 0.5 100 50（元）； 1分

50度的电费为y2 0.8 50 40（元）； 1分 60度的电费为y3 1.2 60 72（元）； 1分

所以，该居民8月份应付电费50+40+72=162元。 1分 （3）设函数的解析式为y k2x b,x (100,150] 1分 由题意可知k2 0.8 1分 由因为函数图象过点（150,90），因此90 150 0.8 b 1分

解得b 30 1分 所以，所求函数的解析式为y 0.8x 30,x 100,150 。 1分 35. （本题12分）

解：（1）由椭圆的一个焦点坐标为F1( ,0)。得c 1分 由椭圆的离心率为

3c3

，得 1分 2a2

因此得a 2 1分 从而b2 a2 c2 4 3 1 1分

x2

由已知得焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为 y2 1 1分

4 （2）证明：当圆的切线斜率存在时，

设其方程为y kx t 1分

x2

将其代人 y2 1，整理得(1 4k2)x2 8ktx 4t2 4 0 1分

4 设A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理得，

4t2 48kt

,x x x1x2 1222

1 4k1 4k

t2 4k2

所以y1y2 (kx1 t)(kx2 t) 1分

1 4k2t2 由点到直线的距离公式知，原点到切线y kx t的距离为

25 k

4t2

即 ，得5t2 4 4k2 1分 2

51 4k

4t2 4t2 4k25t2 4k2 40

因此OA OB x1x2 y1y2 2222

1 4k1 4k1 4k1 4k

所以 0 ，即 OA OB 1分 当圆的切线斜率不存在时，切线方程为x

2

5 5

此时其中一条切线与椭圆的交点A(显然OA OB 0,即 OA OB

225252,),B(, ) 5555

同理可得，另一条切线也具有此性质。

所以，切线斜率不存在时，OA OB也成立。

综上，OA OB。 1分

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