初等数论练习题一（含答案）

《初等数论》期末练习二

一、单项选择题 1、(0,b)?（ ）.

A b B ?b C b D 0 2、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（ ）.

A a B b C 1 D a?b 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7

4、如果a?b(modm),c是任意整数,则 A ac?bc(modm) B a?b C ac??bc(modm) D a?b 5、不定方程525x?231y?210（ ）.

A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.

A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果ba，ab，则( ).

A a?b B a??b C a?b D a??b 8、公因数是最大公因数的（ ）.

A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ).

A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程12x?15y?7没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式x2?438(mod593)（ ）.

A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解

二、填空题

a，0?a?b,(a,b)?1，能写成循环小数的条件是（ ）. b2、同余式12x?15?0(mod45)有解，而且解的个数为( ).

1、有理数

3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).

4、设n是一正整数，Euler函数?(n)表示所有( )n，而且与n（ ）的正整数的个数. 5、设a,b整数，则(a,b)（ ）=ab.

6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、x?[x]?（ ）.

)有解,而且解的个数( ). 8、同余式111x?75(mod3219、在176与545之间有( )是17的倍数.

10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ). 11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( ).

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程107x?37y?25.（8分） 3、求??429??,其中563是素数. （8分） ?563?).（8分） 4、解同余式111x?75(mod3215、求[525,231]=?

6、求解不定方程6x?11y?18.

7、判断同余式x2?365(mod1847)是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.（11分）

2、证明当n是奇数时，有3(2n?1).（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分） 4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b.

《初等数论》期末练习二答案

一、单项选择题

1、C 2、C 3、A 4、A 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、D 11、B 12、B 二、填空题

a，0?a?b,(a,b)?1，能写成循环小数的条件是（ (b,10)?1 ）. b2、同余式12x?15?0(mod45)有解，而且解的个数为( 3 ).

1、有理数

3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).

4、设n是一正整数，Euler函数?(n)表示所有( 不大于 )n，而且与n（ 互素 ）的正整数的个数.

5、设a,b整数，则(a,b)（ [a,b] ）=ab.

6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除. 7、x?[x]?（ {x} ）.

)有解,而且解的个数( 3 ). 8、同余式111x?75(mod3219、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.

10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ab ).

11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( 1 ).

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

解：因为（24871,3468）=17 所以[24871,3468]=

24871?3468=5073684

17所以24871与3468的最小公倍数是5073684。 2、求解不定方程107x?37y?25.（8分）

解：因为（107，37）=125，所以有解；

考虑107x?37y?1，有x?9,y??26， 所以，原方程特解为x?9?25=225，y??26?25=-650， 所以通解为x?225?37t,y??650?107t 3、求??429??,其中563是素数. （8分） 563???429??看成Jacobi符号,我们有 ?563?67?1429?1.22解 把??67???????(?1)?429??27???????(?1)?67??429??429????????67??67?27?167?1.22?67??67???????27??27?

?13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1, 即429是563的平方剩余. ?13??13?

).（8分） 4、解同余式111x?75(mod321解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 37x?25(mod107). 我们再解不定方程37x?107y?25, 得到一解(-8,3).

于是定理4.1中的x0??8. 因此同余式的3个解为

x??8(mod321), x??8?321(mod321)?99(mod321), 3321x??8?2?(mod321)?206(mod321).

3

5、求[525,231]=?

解：解：因为（525,231）=21 所以 [525,231]=

525?231=5775 17

6、求解不定方程6x?11y?18.

解：因为（6，11）18，所以有解； 考虑6x?11y?1，有x?2,y??1。

所以，特解为x?36,y?18， 通解为x?36?11t,y?18?6t。

7、判断同余式x2?365(mod1847)是否有解？（8分）

解 我们容易知道1847是素数,所以只需求??365??的值. 1847??如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.

因为365?5?73,所以

?365??5??73????????. ?1847??1847??1847?再5?1(mod4),73?1(mod4),所以

?5??1847??2???????????1, ?1847??5??5?

?73??1847??22??2??11??????????????184773?????73??73??73?

?73??7??11??4? ?1????????????????1.?11??11??7??7?所以, ??365??=1. 1847??于是所给的同余式有解.

8、求11的平方剩余与平方非剩余. 解 因为又因为

1?1,2?4,3?9,4?5,

2211?1?5,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 22252?3,

所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.（11分） 证明 因为

anan?1?a2a1?an?10n?1?an?1?10n?2???a2?10?a1, a1a2?an?1an=a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an,

所以,anan?1?a2a1-a1a2?an?1an=

an?(10n?1?1)?an?1?10(10n?3?1)???a2?10(1?10n?3)?a1(1?10).n?1

而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 2、证明当n是奇数时，有3(2n?1).（10分） 证明 因为2??1(mod3),所以

2n?1?(?1)n?1(mod3).

于是,当n是奇数时,我们可以令n?2k?1. 从而有2?1?(?1)n2k?1?1?0(mod3),

n即3(2?1).

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）

证明 （1）设m?a?b,则显然r2m?(ra)2?(rb)2. （2）如果n?c?d,那么

2222mn?(a2?b2)(c2?d2)?a2c2?a2d2?b2c2?b2d2

=(a2c2?b2d2?2abcd)?(a2d2?b2c2?2abcd) =(ac?bd)2?(ad?bc)2.

4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分) 证明 设a是一正整数,并将a写成10进位数的形式:

a=an10n?an?110n?1??a0,0?ai10.

因为10?0(mod5), 所以我们得到

a?a0(mod5)

所以整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b.

证明 首先证明唯一性.设q?,r?是满足条件的另外整数对,即

a?bq??r?,0?r??b.

所以bq??r??bq?r,即b?q??q??r?r?,bq??q?r?r?.又由于

0?r?b,0?r??b,所以r?r??b.如果q?q?,则等式bq??q?r?r?不可能成立.

因此q?q?,r?r?.

其次证明存在性.我们考虑整数的有序列

……,?3b,?2b,?b,0,b,2b,3b,……

则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使

qb?a??q?1?b.

我们设r?a?qb,则有a?bq?r,0?r?b.

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