《勾股定理》教案 湘教版

1．2直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第1课时勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】直接运用勾股定理

已知：如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB 于D，求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长．

解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12(cm)；

(2)∵S△ABC＝

1

2CB·AC＝

1

2×5×12＝30(cm2)；

(3)∵S△ABC＝

1

2AC·BC＝

1

2CD·AB，∴CD＝

AC·BC

AB＝

60

13(cm)．

方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

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152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC 的周长为32或42.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综合

如图所示，已知△ABC 中，∠B

＝22.5°，AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于D 、F 点，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．

解析：欲求AE ，需与BD 联系，连接AD ，由线段垂直平分线的性质可知AD ＝BD .可证△ADE 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE 的长．

解：如图所示，连接AD .∵DF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ＝62，∴∠BAD ＝∠B ＝22.5°.∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE .由勾股定理得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴2AE 2＝(62)2，∴AE ＝62

2

＝6.

方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．

探究点二：勾股定理与图形的面积

探索与研究： 方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，

而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图：

任意的符合条件的两个全等的Rt △

BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．

解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S

△BAE

＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋1

2

(b ＋a )(b －a )，整

理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；

方法2：S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四

边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，

即S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD

＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋1

2

a (

b －a )，

整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋

ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．

三、板书设计 1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.

2．勾股定理的应用

3．勾股定理与图形的面积

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让

学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图

形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，

师生共同探究突破本节课的难点.

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