2013年福建省厦门市中考数学试题含答案

2013年中考真題

2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试

数 学

（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）

准考证号 姓名 座位号

注意事项：

1．全卷三大题，26小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用2B铅笔画图．

一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有

一个选项正确） 1．下列计算正确的是

A．－1＋2＝1． B．－1－1＝0． C．(－1)2＝－1． D．－12＝1． 2．已知∠A＝60°，则∠A的补角是 A．160°． B．120°． 主左视视C．60°． D．30°．

图3．图1是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 图 A．圆锥． B．球． 俯C．圆柱． D．正方体． 视图4．掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上 图1一面的点数为5的概率是 11

A．1． B．． C．． D．0．

56︵︵

5．如图2，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝

A．150°． B．75°． C．60°． D．15°． 23

6．方程＝的解是

x -1x

A．3． B．2． C．1． D．0．

OB图2CA

7．在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O（0，0），A（1，4），则点O1，A1的坐标分别是 A．（0，0），（1，4）． B．（0，0），（3，4）． C．（－2，0），（1，4）． D．（－2，0），（－1，4）．

二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）

A D BEC 2013年中考真題

8．－6的相反数是 ． 9．计算：m22m3＝ ．

10．式子x－3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围

是 ．

11．如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，

DE＝2，则BC＝ ．

12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

成绩/米 人数 1.50 2 1.60 3 1.65 3 1.70 2 1.75 4 1.80 1

则这些运动员成绩的中位数是 米． 13．x2－4x＋4= ( )2．

m－1

14．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，

x

则常数m的取值范围是 ． E15．如图4，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，

OF F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24厘米， BC图4△OAB的周长是18厘米，则EF＝ 厘米．

16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人

在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒， 步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保 甲工人的安全，则导火线的长要大于 米． 17．如图5，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，3），

点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M 在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，且则点M 的坐标是 ( ， ) ．

三、解答题（本大题有9小题，共89分）

18．（本题满分21分）

（1）计算：5a＋2b＋(3a—2b)；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（－4,1），

B（－2,0），C（－3, －1）,请在图6上[来源:Zxxk.Com] 画出△ABC，并画出与△ABC关于

D 原点O对称的图形；

（3）如图7，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，

∠ABC＝50°. 求证：AB∥CD.

19．（本题满分21分）

[来源学&科&网]ADC AB图72013年中考真題

（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示：

郊县 A B C 人数/万 20 5 10 人均耕地面积/公顷 0.15 0.20 0.18 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）； （2）先化简下式，再求值：

2x2＋y2x2＋2y2

－ ，其中x＝2＋1， y＝22—2； x＋yx＋y（3）如图8，已知A，B，C，D 是⊙O上的四点， 延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE． 求证：△ADE是等腰三角形.

DC OA图8B E20．（本题满分6分）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1~12这12个整数（每

个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同）.投掷这个正12面体一次，记事件A为

“向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为 “向上一面的数字是3的整数倍”，1

请你判断等式“P(A)＝＋P(B)”是否成立，并说明理由.

2

21.（本题满分6分）如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，

对角线AC，BD相交于点E，若AE＝4，CE＝8，DE＝3，

36

梯形ABCD的高是，面积是54.求证：AC⊥BD.

5

22．（本题满分6分）一个有进水管与出水管的容器，

从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的 9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是 常数.容器内的水量y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的关系如图10所示.

当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.

23．（本题满分6分）如图11，在正方形ABCD中，点G是边

BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于

FHBGC AEBCD图9AED 2013年中考真題

点F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH. 求证：∠ABH＝∠CDE.

1

24．（本题满分6分）已知点O是坐标系的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线y＝交于两个

x

不同的点A（m，n）(m≥2)和B（p，q）,直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C ，求△OBC的面积S的取值范围．

25．（本题满分6分）如图12，已知四边形OABC是菱形，

B∠O＝60°，点M是OA的中点.以点O为圆心， r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，

︵3π

连接BM.若BM＝7， DE的长是．

3求证：直线BC与⊙O相切.

[来源学科网]CEADMO图12

26．（本题满分11分）若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且x1＋x2

＝2k（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0， 27

x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.

4（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二

次方程”，并说明理由.

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2013年中考真題

数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

题号 选项 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）

8. 6 9. m5 10.x≥3 11. 6 12. 1.65 13. x—2 14. m＞1

15. 3 16. 1.3 17.（1，3） 三、解答题（本大题共9小题，共89分） 18．（本题满分21分）

（1）解： 5a＋2b＋(3a—2b)

＝5a＋2b＋3a—2b ???????????3分 ＝8a. ???????????7分 （2）

解： 正确画出△ABC ???????????10分

正确画出△DEF ???????????14分

（3）证明1：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，

∴∠BCD＝130°. ????16分

∵∠ABC＝50°，

∴∠BCD＋∠ABC＝180°. ????18分 ∴AB∥CD. ????21分

证明2：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠CAB＝180°—50°—60°

＝70°. ??????16分 ∵∠ACD＝70°，

∴∠CAB＝∠ACD. ??????18分 ∴AB∥CD. ??????21分 19．（本题满分21分）

2013年中考真題

（1）解：

2030.15＋530.20＋1030.18

???????????5分

20＋5＋10

≈0.17（公顷/人）. ???????????6分 ∴ 这个市郊县的人均耕地面积约为0.17公顷. ????????7分 2x2＋y22y2＋x2

（2）解： —

x＋yx＋y

x2—y2＝ ???????????9分 x＋y＝x－y. ???????????11分

当 x＝2＋1， y＝22—2时，

原式＝ 2＋1－(22—2) ???????????12分

＝3—2. ???????????14分

（3）证明： ∵BC＝BE，

∴∠E＝∠BCE. ???????????15分

∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠A＋∠DCB＝180°. ?????17分

∵∠BCE＋∠DCB＝180°,

∴∠A＝∠BCE. ??????18分 ∴∠A＝∠E. ??????19分

∴ AD＝DE. ??????20分 ∴△ADE是等腰三角形. ??????21分 20．（本题满分6分）

解： 不成立 ???????????1分 82

∵ P(A)＝＝， ???????????3分

12341

又∵P(B) ＝＝， ???????????5分

1231152

而＋＝≠. 2363

∴ 等式不成立. ???????????6分 21．（本题满分6分）

证明1：∵AD∥BC，

[来源学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]

2013年中考真題

∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.

∴△EDA∽△EBC. ???????????1分 ADAE1

∴ ＝＝. ???????????2分

BCEC2 即：BC＝2AD. ??????3分 136

∴54＝3( AD＋2AD)

25

∴AD＝5. ??????4分 在△EDA中，

∵DE＝3，AE＝4，

∴DE2＋AE2＝AD2. ???????????5分 ∴∠AED＝90°.

∴ AC⊥BD. ???????????6分

证明2： ∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.

∴△EDA∽△EBC. ???????????1分 DEAE

∴＝. ???????????2分

BEEC 即

34＝. BE8

∴BE＝6. ???????????3分

过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F.

DA由于AD∥BC，

∴四边形ACFD是平行四边形.

E∴DF＝AC＝12，AD＝CF. ∴BF＝BC＋AD. 136

∴54＝33BF.

25

BCF ∴BF＝15. ???????????4分 在△DBF中，

∵DB＝9，DF＝12，BF＝15，

∴DB2＋DF2＝BF2. ???????????5分 ∴∠BDF＝90°.

∴DF⊥BD.

∴AC⊥BD. ???????????6分 22．（本题满分6分）

解1： 当0≤x≤3时，y＝5x. ???????????1分 当y＞5时，5x＞5， ???????????2分

2013年中考真題

解得 x＞1.

∴1＜x≤3. ???????????3分

当3＜x≤12时，

设 y＝kx＋b.

5?15＝3k＋b，k＝－，??3

则?解得? ?0＝12k＋b.??b＝20.

5

∴ y＝－x＋20. ???????????4分

35

当y＞5时，－x＋20＞5， ???????????5分

3解得 x＜9.

∴ 3＜x＜9. ???????????6分 ∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .

解2： 当0≤x≤3时，y＝5x. ???????????1分 当y＝5时，有5＝5x，解得 x＝1. ∵ y随x的增大而增大，

∴当y＞5时，有x＞1. ???????????2分 ∴ 1＜x≤3. ???????????3分

当3＜x≤12时， 设 y＝kx＋b.

5??k＝－3，?15＝3k＋b，

则?解得? ?0＝12k＋b.??b＝20.

5

∴ y＝－x＋20. ???????????4分

3

5

当y＝5时，5＝－x＋20.

3

解得x＝9.

∵ y随x的增大而减小，

∴当y＞5时，有x＜9. ???????????5分 ∴3＜x＜9. ???????????6分

∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .

23．（本题满分6分）

证明1：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD＝＝90°. AD ∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°.

E ∴∠FAG＋∠EAD＝∠ADF＋∠EAD FHBGC2013年中考真題

∴∠FAG＝∠ADF. ???????1分 ∵AG＝DE＋HG，AG＝AH＋HG，

∴ DE＝AH. ???????????2分 又AD＝AB，

∴ △ADE≌△ABH. ???????????3分 ∴ ∠AHB＝∠AED＝90°.

∵∠ADC＝＝90°， ???????????4分 ∴ ∠BAH＋∠ABH＝∠ADF＋∠CDE. ???????????5分 ∴ ∠ABH＝∠CDE. ???????????6分 24．（本题满分6分）

解： ∵ 直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C， ∴ C（0，m＋n）.

∵点B（p，q）在直线y＝－x＋m＋n上， ???????????1分 ∴q＝－p＋m＋n. ???????????2分

1

又∵点A、B在双曲线y＝上，

x

11∴＝－p＋m＋. pmp－m即p－m＝，

pm

∵点A、B是不同的点.

∴ p－m≠0.∴ pm＝1. ???????????3分 ∵ nm＝1，

∴ p＝n，q＝m. ???????????4分 ∵1＞0，∴在每一个象限内，

1

反比例函数y＝的函数值y随自变量x的增大而减小.

x

1

∴当m≥2时，0＜n≤. ???????????5分

21

∵S＝( p＋q) p

211＝p2＋pq 2211＝n2＋ 22

1

又∵＞0，对称轴n＝0，

2

1

∴当0＜n≤时，S随自变量n的增大而增大.

2

2013年中考真題

15

＜S≤. ???????????6分

28

25．（本题满分6分）

︵3π2πr3π 证明一：∵DE的长是，∴260＝.∴ r＝3. ????????1分

33603 作BN⊥OA，垂足为N.

∵四边形OABC是菱形， ∴AB∥CO.

∵∠O＝60°，

∴∠BAN＝60°，∴∠ABN＝30°.

BC ED MONA设NA＝x，则AB＝2x，∴ BN＝3x. ???????????2分 ∵M是OA的中点，且AB＝OA，

∴ AM＝x. ???????????3分

在Rt△BNM中， (3x)2＋(2x)2＝(7)2，

∴ x＝1，∴BN＝3. ???????????4分 ∵ BC∥AO，

∴ 点O到直线BC的距离d＝3. ???????????5分 ∴ d＝r.

∴ 直线BC与⊙O相切. ???????????6分

︵3π2πr3π

证明二：∵DE的长是，∴260＝. ∴ r＝3. ????????1分

33603 延长BC，作ON⊥BC，垂足为N.

∵ 四边形OABC是菱形 ∴ BC∥AO， ∴ ON⊥OA.

∵∠AOC＝60°， ∴∠NOC＝30°.

BC NED MOA 设NC＝x，则OC＝2x， ∴ON＝3x ???????????2分

连接CM， ∵点M是OA的中点，OA＝OC，

∴ OM＝x. ???????????3分 ∴四边形MONC是平行四边形. ∵ ON⊥BC，

∴四边形MONC是矩形. ???????????4分

∴CM⊥BC. ∴ CM＝ON＝3x. 在Rt△BCM中， (3x)2＋(2x)2＝(7)2， 解得x＝1.

∴ON＝CM＝3. ???????????5分

2013年中考真題

∴ 直线BC与⊙O相切. ???????????6分

26．（本题满分11分）

（1）解： 不是 ???????????1分 解方程x2＋x－12＝0得，x1＝－4，x2＝3. ???????????2分

x1＋x2＝4＋3＝233.5. ???????????3分 ∵3.5不是整数，

∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”.??????????4分

（2）解：存在 ??????????6分 ∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，

∴ 假设 c＝mb2＋n. ??????????8分 当 b＝－6，c＝－27时，有 －27＝36m＋n.

∵x2＝0是“偶系二次方程”，

3

∴n＝0，m＝－ . ??????????9分

43

即有c＝－ b2.

4

27

又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，

4327

当b＝3时，c＝－ 332＝－.

44

3

∴可设c＝－ b2. ??????????10分

43

对任意一个整数b，当c＝－ b2时，

4 ∵△＝b2－4c ＝4b2.

－b±2b31

∴ x＝ .∴ x1＝－b，x2＝b.

22231

∴ x1＋x2＝b＋b＝2b.

22

3

∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝－ b2时，关于x的方程

4

x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”. ??????????11分

2013年中考真題

∴ 直线BC与⊙O相切. ???????????6分

26．（本题满分11分）

（1）解： 不是 ???????????1分 解方程x2＋x－12＝0得，x1＝－4，x2＝3. ???????????2分

x1＋x2＝4＋3＝233.5. ???????????3分 ∵3.5不是整数，

∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”.??????????4分

（2）解：存在 ??????????6分 ∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，

∴ 假设 c＝mb2＋n. ??????????8分 当 b＝－6，c＝－27时，有 －27＝36m＋n.

∵x2＝0是“偶系二次方程”，

3

∴n＝0，m＝－ . ??????????9分

43

即有c＝－ b2.

4

27

又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，

4327

当b＝3时，c＝－ 332＝－.

44

3

∴可设c＝－ b2. ??????????10分

43

对任意一个整数b，当c＝－ b2时，

4 ∵△＝b2－4c ＝4b2.

－b±2b31

∴ x＝ .∴ x1＝－b，x2＝b.

22231

∴ x1＋x2＝b＋b＝2b.

22

3

∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝－ b2时，关于x的方程

4

x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”. ??????????11分

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