【高三总复习】2013高中数学技能特训：2-8 导数的实际应用(人教B版) 含解析 Word版含答案]

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2-8导数的实际应用 基础巩固强化

1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.V B.2V C.4V D．2V [答案] C

3

[解析] 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V4a2h，4V323243V∴h＝，表面积S2a＋3ah＝2a＋a

3a2

3V由S′＝3a－a0，得a＝4V，故选C.

(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )

R3

A.2和2 47C.5和5R [答案] B

[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2R－x，则l＝2x＋4R－x (0＜x＜R)，

4x5

l′＝2－，令l′＝0，解得x＝5.

R－x

55

当0＜x＜5R时，l′＞0；当5＜x＜R时，l′＜0.

55

所以当x＝5时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为5，455.

545B.5R和5 D．以上都不对

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2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万13

件)的函数关系式为y＝－3x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )

A．13万件 C．9万件 [答案] C

13

[解析] ∵y＝－3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.

[点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的符号才能确定．

3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )

aa2bb2A.b B.b C.a D.a [答案] C [解析]

B．11万件 D．7万件

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如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.

V2

设造价为y，则y＝2πRa＋2πRhb＝2πaR＋2πRb2πaR＋πR

2

2

2bVR

2bV

∴y′＝4πaR－R2Rb

令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，ha.

(理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )

A.

S3π

B.3πS D．6πS

6πSC.6π [答案] C

[解析] 设圆柱底面半径为r，高为h，

2

S－2πr

∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝2πr，

32

rS－2πrS－6πr

又V＝πr2h＝V′＝2，令V′＝0， 2

6πS得S＝6πr，∴h＝2r，r＝6π.

2

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4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝

400x12，0≤x≤400，

2

80000， x＞400.

是( )

A．100 C．200 [答案] D

则总利润最大时，每年生产的产品产量

B．150 D．300

[解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R

2x 300x－－20000，0≤x≤400，2－C＝

60000－100x，x＞400，

300－x，0≤x≤400，P′＝

－100，x＞400.

令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大． 5．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A．R 4C.3 [答案] C

[解析] 设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，

1π2π

∴V＝3r2h＝3(2Rh－h2)＝3Rh2－3h3， 442

V′＝3Rh－πh，令V′＝0得h＝3R.

(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最

B．2R 3

D.4R

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大，则高为( )

3

A.3 163

C.3cm [答案] D

[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为20－x， 1

其体积为V＝3x(400－x2) (0＜x＜20)， 12032

V′＝3－3x)，令V′＝0，解得x＝3. 3203

当0＜x＜3时，V′＞0；当3x＜20时，V′＜0 203

所以当x＝3V取最大值．

6．(2012·保定模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)1

的导函数f ′(x)>22f(x)<x＋1的x的集合为( )

A．{x|－1<x<1} C．{x|x<－1或x>1} [答案] B

[解析] 令g(x)＝2f(x)－x－1，

1

∵f ′(x)>2，∴g′(x)＝2f ′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，

∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故选B.

7．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为

[答案] 3m3

3B.3cm 3D.3cm

B．{x|x<1} D．{x|x>1}

，该长方体的最大体积是________．

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9

[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为2－3x (0<x<2)，

故体积为V＝2x23x ＝－6x3＋9x2，

2 9

V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1， ∵0<x<2，∴x＝1.

∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.

(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．

[答案] 1.2m

[解析] 设容器的短边长为xm， 则另一边长为(x＋0.5)m， 14.8－4x－4 x＋0.5

3.2－2x. 4由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6， 设容器的容积为ym3，

则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)， 整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x， ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，

令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0， 4

解得x1＝1，x215不合题意，舍去)， ∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8， ∴高为1.2m时容积最大．

12

8．(文)(2011·北京模拟)若函数f(x)＝lnx－2ax－2x存在单调递减

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区间，则实数a的取值范围是________．

[答案] (－1，＋∞)

[分析] 函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f ′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f ′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．

1－ax－2x1

[解析] 解法1：f ′(x)＝x－ax－2＝，由题意知xf ′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，综上知a>－1.

1－ax2－2x1

解法2：f ′(x)xax－2＝ x由题意可知f ′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解． 12

即a>xx在(0，＋∞)内有实数解．

121

∵x∈(0，＋∞)时，xx＝(x1)2－1≥－1，∴a>－1. (理)(2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y＝f(x)的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何13

一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝315

－22＋3x－12，根据这一发现可得：

115

(1)函数f(x)3x3－22＋3x－12________；

2

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12342013

(2)计算f(2014)＋f(2014)＋f(2014)＋f(2014)＋ ＋f(2014)＝________.

1

[答案] (1)(21) (2)2013

[解析] (1)f ′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x1111311215

＝2f(2＝3×(2－2(2)＋3×2121，由拐点的定义知f(x)的拐1

点即对称中心为(21)．

2014－kkkk

(2)f(2014)＋f(1－2014)＝f(2014)＋f(2014)＝2(k＝1，2， ，1007)，

122013120132

∴f(2014＋f(2014＋ ＋f(2014＝[f(2014)＋f(2014)]＋[f(2014＋2012100610081007

f(2014＋ ＋[f(2014＋f(2014＋f(2014)＝2×1006＋1＝2013.

9．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．

[答案] 16m 8m

128

[解析] 解：设场地宽为xm，则长为xm， 128

因此新墙总长度为y＝2x＋xx＞0)， 128

y′＝2－x，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8. 因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0， 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m. 即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．

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10．(文

)

某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)

1x[解析] 依题意，有xy＋2x2＝8， x2

8－4

8x

∴yxx－4x<42)，

2x 3163

于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2×2 2＋2 x＋xl′＝2

16

2－x，

316

令l′＝0，即22－x0，解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去)，

当0<x<8－42时，l′<0；当8－42<x2时，l′>0； 所以当x＝8－42时，l取得最小值，此时，x＝8－42≈2.343m，y≈2.828m.

即当x约为2.343m，y约为2.828m时，用料最省．

(理)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四

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棱柱的高为多少？

[解析] 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，

由于x2＋x2＋h2＝d2， 1

∴x2＝2d2－h2)．

∴球内接正四棱柱的体积为 1

V＝x2·h＝2(d2h－h3)，0<h<d. 1232

V′＝2d－3h)＝0，∴h＝3d. 在(0，d)上，函数变化情况如下表：

能力拓展提升

11

11.已知非零向量a、b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝33＋2|a|x2

＋a·bx在R上有极值，设向量a、b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为( )

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1 A.21 1

B.2，1

1

C.－1，2 [答案] D

1

D.－1，2

[解析] ∵函数f(x)在R上有极值，∴f ′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝01

有两不等实根，∴Δ＝|a|－4|a|·|b|cosθ＝4|b|－8|b|cosθ>0，∴cosθ<22

2

2

∴选D.

[点评] 若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f ′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一1

点要特别注意，如f(x)＝33，f ′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．

12．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为(

)

[答案] A

[解析] ∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， ∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.

1

13．函数f(x)＝2x3＋2x2－x＋1的图象与x轴交点个数为________个．

[答案] 1

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1

[解析] f ′(x)＝6x＋x－1＝(3x－1)(2x＋1)，当x<－2时，

2

111

f ′(x)>0，当－2<x<3f ′(x)<0，当x>3时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－1111

∞，－2上单调递增，在(－23)上单调递减，在(3∞)上单调递增，

111143

∴当x＝－2时，f(x)取到极大值8当x＝3f(x)取到极小值54，故f(x)的图象与x轴只有一个交点．

14．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线 梯形的周长 2

剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是

梯形的面积________．

[答案]

3

3

[解析] 设DE＝x， 则梯形的周长为：3－x，

133

梯形的面积为：2x＋2－x)＝4－x2)

2

3－x 243x－6x＋9∴s＝3，x∈(0,1)， 1－x32

1－x 4

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x2－6x＋9－6x2＋20x－6

设h(x)＝，h′(x)＝1－x2 1－x2 21

令h′(x)＝0，得：x＝3或x＝3(舍)，

1 3323 ∴h(x)最小值＝h3＝8，∴s最小值＝3×8＝3.

15．(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度1134

v(km/h)的函数关系是P＝19200v－160v＋15v，

(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

400

[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用vh，故全程运输成本为Q＝

32

400Pv5v

＝48－2＋6000 (0<v≤100)．

v2

(2)Q′＝165v，令Q′＝0得，v＝80，

2000

∴当v＝80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为3元． (理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用kC(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

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(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． [解析] (1)设隔热层厚度为xcm，由题设知， k

每年能源消耗费用为C(x)＝3x＋5

40

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x＋5又建造费用为C1(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为， 40

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×6x

3x＋5800＝＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5

2400

(2)f ′(x)＝6－，令f ′(x)＝0，

3x＋5 2400即＝6. 3x＋5 2

25

解得x＝5，或x＝－3舍去)． 当0<x<5时，f ′(x)<0， 当5<x<10时，f ′(x)>0，

800

故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝

15＋570.

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 16．(文)(2011·江苏，17)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．

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(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

[解析] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a60－2x2x，h＝2(30－x)，0<x<30.

2

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800， 所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝2x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． h11此时a2即包装盒的高与底面边长的比值为2(理)如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？

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[解析] 由题知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．

1

以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(04，11M(24．

1

所以边缘线OM所在抛物线的方程为y＝x(0≤x≤2)．

2

要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)．

则直线EF的方程为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2，

1＋4t21

由此可求得点E、F的坐标分别为E(8t4，F(0，－t2)． 11＋4t12

所以S△DEF＝S(t)＝28t(4t)

2

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42

116t＋8t＋11＝64t∈(0，2]． t42

148t＋8t－1

所以S′(t)＝64 t33

3 4t＋1 t＋6t－6 12t2－1 4t2＋1 ＝ 64t16t2

331

显然函数S(t)在(0，6]上是减函数，在6，2]上是增函数．所3

以当t＝6时，S△DEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．

311

此时点E、F的坐标分别为E(34)，F(0，－12)． 此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大． DEDE即FC＝2，EC1

. 3－1

1．(2011·陕西文，21)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； 1

(2)讨论g(x)与g(x的大小关系；

1

(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<ax>0成立． 11

[解析] ∵f(x)＝lnx，∴f ′(x)＝xg(x)＝lnx＋xx－1

∴g′(x)＝xg′(x)＝0得x＝1，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，∴(0,1)是g(x)的单调减区间； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.∴(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，

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因此当x＝1时g(x)取极小值，且x＝1是唯一极值点，从而是最小值点．

所以g(x)最小值为g(1)＝1. 1

(2)g(x＝－lnx＋x，

11

令h(x)＝g(x)－g(x＝2lnx－x＋x x－1 2

则h′(x)＝－x

1

当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g(x，

当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)<0，h′(1)＝0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递减，

1

当x∈(0,1)时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g(x， 1

当x∈(1，＋∞)时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g(x)， 1

综上知，当x∈(0,1)时，g(x)>g(x；

11

当x＝1时，g(x)＝g(x)；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<g(x． (3)由(1)可知g(x)最小值为1，

11

所以g(a)－g(xa对任意x>0成立等价于g(a)－1<alna<1，解得0<a<e.

所以a的取值范围是(0，e)．

2．学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)＝

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3

·100%(其中f(t)为该任务的程度，t为学习时间)，且这类学习

4＋a·2－t任务中的某项任务满足f(2)＝60%.

(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；

f t

(2)已知2x>xln2对任意x>0恒成立，现定义t为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

3[解析] (1)∵f(t)＝·100%(t为学习时间)，且f(2)＝60%，

4＋a·2－则

3

·100%＝60%，解得a＝4.

4＋a·2－33∴f(t)＝100%＝100%(t≥0)，

4＋a·2－4 1＋2－ ∴f(0)＝

3

·100%＝37.5%，

4 1＋2－

f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%. f t

(2)令学习效率指数t＝y， f t 则y＝t＝

33

tt>0)， 4t 1＋2－

4 t＋2t

现研究函数g(t)＝t＋2

2t－t·2tln22t－tln2＋1

由于g′(t)＝1＋t>0)， 2 2 又已知2x>xln2对任意x>0恒成立，即2t－tln2>0，则g′(t)>0恒成立，

∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，且g(t)为正数．

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f t ∴y＝t＝

tt>0)在(0，＋∞)上为减函数， 4 t＋23

f 1 1f 2 3

而y|t＝1＝12y|t＝2＝2＝10， f t 31即y＝t∈(10，2，

31

故所求学习效率指数的取值范围是10，2．

4．(2012·延边州质检)已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围； (3)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

2

12x＋x－1

[解析] (1)当a＝1时，由f ′(x)＝2x＋1－x＝＝x

1

2 x－2 x＋1

， x

∵函数f(x)＝x2＋x－lnx的定义域为(0，＋∞)，

11

∴当x∈(0，2时，f ′(x)≤0，当x∈2∞)时，f ′(x)≥0， 1

所以函数f(x)＝x＋x－lnx的单调递减区间为(02]单调递增区间

2

1

为[2∞)．

2

12x＋ax－1

(2)f ′(x)＝2x＋a－x0在[1,2]上恒成立， x

令h(x)＝2x2＋ax－1，有

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h 1 ≤0

得 7 h 2 ≤0a≤－

a≤－1

2

7

，得a≤－2.

(3)假设存在实数a，使g(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，g′(x)1ax－1＝a－x＝x.

①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，4

a＝e舍去)，∴g(x)无最小值．

111

②当0<a<e时，g(x)在(0，a上单调递减，在(ae]上单调递增， 1

∴g(x)min＝g(a＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件．

1

③当ae时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，4

a＝e舍去)，∴f(x)无最小值．

综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/om91.html