概率论与数理统计及其应用课后答案（浙江大学 - 盛骤版）

概率论与数理统计及其应用习题解答

目录

第一章 随机变量及其概率 .......................................... 2 第二章 随机变量及其分布 ........................................ 13 第三章 随机变量的数字特征 .................................... 30 第四章第五章第六章第七章

曹仲生 正态分布 ........................................................ 39 样本及抽样分布 .......................................... 49 参数估计 ........................................................ 54 假设检验 ........................................................ 68

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概率论与数理统计及其应用习题解答

第一章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）S?{2,3,4,5,6,7}；（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；（4）S?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。

2，设A,B是两个事件，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,，求

P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。

______解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，

P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375，

P(AB)?1?P(AB)?0.875，

P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5______

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

曹仲生

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解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为

648?0.72 900

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。（1）该数是奇数的可能个数为

4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为

48?0.48 100（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的概率为

48?0.48 100

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。

11C52C4C38解: （1）所求概率为； ?433C12曹仲生 第 3 页 2014/6/21

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22314C4C8?C4C8?C420167（2） 所求概率为； ??4495165C124C7357（3）所求概率为4?。 ?C12495165

6，一公司向M个销售点分发n(n?M)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率。

解：根据题意，n(n?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的可能分法有

k所以某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率为Cn(M?1)n?k种，

kCn(M?1)n?k。 nM

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为?；

（1）至少有1只配对的概率为1??。

曹仲生

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26131323 概率论与数理统计及其应用习题解答

8，（1）设P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.1,，求P(A|B),P(B|A),P(A|A?B),

P(AB|A?B),P(A|AB).

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以

P(A|B)?P(AB)0.11P(AB)0.11??， P(B|A)???， P(B)0.33P(A)0.55P[A(A?B)]P(A)5??，

P(A?B)P(A?B)7P[AB(A?B)]P(AB)1??，

P(A?B)P(A?B)7P(A|A?B)?P(AB|A?B)?P(A|AB)?P[A(AB)]P(AB)??1。

P(AB)P(AB)（2）设Ai(i?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?

6754840?????0.0408。 11121312205929，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只

曹仲生

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解：方程t从而要求

2?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即X2?5X?4?0，

X?4或者X?1。因为

1210P{X?1}??0.003xdx?0.001， P{X?4}??0.003x2dx?0.936

04所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；

x?0

其他（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

1解：（1）P{X?1}????x?x2/200edx?1?e?1/200?0.00498； 1000x?x2/200（2）P{X?52}?； edx?e?2704/200?0.000001?10052??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}?P{X?20}x?x2/200edx?10026x?x2/200edx?10020???e?276/200?0.25158。

11，设实验室的温度X（以

?

C计）为随机变量，其概率密度为

?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9

其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。

（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。

2解：（1）P{X15； ?1}??(4?x2)dx?9271~B(10,5)，所以其分布律为 27第 16 页

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（2）根据题意Y曹仲生

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?5??22?k10?kP(Y?k)?Ck10???27?????27??,k?0,1,2,?10

28（3）

P(Y?2)?C2?5??22?10???27?????27???0.2998，

P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。

12，（1）设随机变量Y的概率密度为

?0.2?1?y?0f(y)???0.2?Cy0?y?1?

?0其他试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。

（2）设随机变量X的概率密度为

?1/f(x)??80?x?2?x/82?x?4?

?0其他求分布函数F(x)，并求P{1?x?3}，P{X?1|X?3}。

??01解：（1）根据1?)dy??C??f(y??0.2dy?(0.2?Cy)dy?0.4??2，得到C?1.2。10??y0y??1?y??0.2dy?1?y?0F(y)???f(y)dy???1?0y??0.2dy?(0.2? ????1.2y)dy100?y?1?01?0.2dy?(0.2?1.2y)dy???1?0y?1??0y??1???0.2(y?1)?1?y?0?0.6y2?0.2y?0.20?y?1 ??1y?1P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25；曹仲生 第 17 页 2014/6/21

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P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}1?P{Y?0.5}1?F(0.5)1?0.45????0.7106

P{Y?0.1}1?P{Y?0.1}1?F(0.1)1?0.2260?x?0x?1dxx?0?0??80?x?2?0?xx?21?x/80?x?2x（2）F(x)??f(x)dx?? ??2dx??dxx/162?x?4????0882?x?4?2?2?4x?4?11x?dx?dx??x?4?82?08P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16；

P{X?1|X?3}?

P{?1X?3}F(3)?F(1)??7/9。

P{X?3}F(3)13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

P{X?i,Y?j}?当n取3时，

1，（i?j，且1?i,j?n）

n(n?1)P{X?i,Y?j}?X 1 2 3 1,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为 61 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 Y 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为

X 0 1 2 （1） 求P{XY 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 ?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}；

（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。

?1,Y?1}=0.2，

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解：（1）由表直接可得P{X曹仲生

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P{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42

（2）至少有一根软管在使用的概率为

P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9

（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6

P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28

15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0 f(x,y)??其他0，?试确定常数C，并求P{X解：根据

?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。

x?0,y?0??f(x,y)dxdy?1，可得

????????1?所以Cx?0,y?0??f(x,y)dxdy??(2x?4y)dy?C?e?2xdx?e?4ydy??dx?Ce0000C8，

?8。

?????(2x?4y)?????2xP{X?2}?x?2??f(x,y)dxdy??dx?8e20x??dy??2e2??dx?4e?4ydy?e?4；

0x???2x?4x?2e(1?e)dx?0P{X?Y}?x?y??f(x,y)dxdy??(2x?4y)dy??dx?8e00?2x?4y?2edx?4edy?002311?x?(2x?4y)11?x?2xP{X?Y?1}?

x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e0dx?4e?4ydy?(1?e?2)2。

016，设随机变量（X，Y）在由曲线（1） 求（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度

y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。

fX(x),fY(y)。

f(x,y)必定是一常数，故由

解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度

1x21???f(x,y)dxdy??dxG0x/22?f(x,y)dy??6,(x,y)?G1f(x,y)，得到f(x,y)??。 60，其他?曹仲生 第 19 页 2014/6/21

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（2）

?x????6dy?3x2，0?x?1fX(x)??f(x,y)dy??2；

x/2???0,其他?2?2y??6dx，0?y?0.5?y?6(2y?y)，0?y?0.5???1??fY(y)??f(x,y)dx???6dx，0.5?y?1??6(1?y)，0.5?y?1

???y?0，其他??0，其他???

18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为

?x3?x(1?y)x?0,y?0?，f(x,y)??2e，

其他?0，?（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度（2） 求条件概率密度（3） 求条件概率P{YfX(x)；

fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度；

?1|X?0.5}。

解：（1）

???x3?x(1?y)x2?xedy?e,x?0?。 fX(x)??f(x,y)dy???220???0,其他???（2）当x?0时，

f(x,y)?xe?xy,y?0。 fY|X(y|x)???fX(x)?0,其他特别地，当x?0.5时

?0.5e?0.5y,y?0。 fY|X(y|x?0.5)??其他?0,????（3）P{Y

?1|X?0.5}??1fY|X(y|x?0.5)dy??0.5e?0.5ydy?e?0.5。

119，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。

（2）在16题中求条件概率密度

fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。

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E(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)222k?1k?1????k?1??????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?k?1?k?1? ?p(2121?)??， p3p2p2p111?p??2。 2ppp??所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?p)k?1，

k?1?p?1k??1。类似的，设则?s(p)dp???(1?p)?1?，所以s(p)??s(p)dp???pp2k?11?1?p??'S(p)??k(k?1)(1?p)k?1??k?1(1?p)2，则经过两次积分以后可得到，在经过

p两次求导得到S(p)?

2。 3pk?k20，解：（1）当k?1时，E(X)??xf(x)dx??kdx?k?k???x????????1k?。 dx?k?k?1?x（2）当k?1时，E(X)???dx???，即E(X)不存在。

?1xk?kk?2（3），当k?2时，E(X)??xf(x)dx??k?1dx?，

k?2???x22?????1k?k?2所以，D(X)?E(X)??E(X)??k??。 ??2?2k?2(k?1)(k?1)(k?2)??2222?2（4）当k?2时，E(X)??xf(x)dx?? dx???，所以D(X)不存在。

???x22????

21，解：（1）根据14题中结果，得到

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；

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因为E(X)??kP{X?k}?4/7， E(Y)??k2P{Y?k}?27/28，

222k?0k?022所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112， ?XY?Co(vX,Y)D(X)D(Y)??5。 5（2）根据16题结果可得：

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/75；

211?y因为 E(X2)?E(Y)?2R?R??x22f(x,y)dxdy??dy?24x3ydx?1/5，

0011?yR?R3yf(x,y)dxdy?dy24y????xdx?1/5，

00所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?1/25，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1/25

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，

?XY?2??。 3D(X)D(Y)Cov(X,Y)（3）在第2章14题中，由以下结果

X 0 1 2 P{Y?k} Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；

D(X)?E(X2)??E(X)??0.6004，D(Y)?E(Y2)??E(Y)??0.5444,

22曹仲生 第 37 页 2014/6/21

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?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.2724?0.4765. 0.571722，解：根据题意有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)

?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。

D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)

?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。

23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以

EX1(X2?4X3)2?E(X1)E[(X2?4X3)2]?E[X2?8X2X3?16X3]

?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]

2222?2?222?1?0?16?17。

i?1,2,3。（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(Xi2)?D(Xi)??E(Xi)?2?1/3，

E(X1?2X2?X3)2?E[X1?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]

?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?222??22214111???1??1?。 333221x24，解：因为 E(X)?E(Y)?R?R??xf(x,y)dxdy??dx?xdy?2/3，

0?x1x0?xR?R??yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0，

1xR?RE(XY)???xyf(x,y)dxdy??dx?xydy?0，

0?x所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。

?x?x1dy?2x，0?x?1； 又因为，fX(x)??f(x,y)dy???????0,其他???曹仲生 第 38 页 2014/6/21

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?1，?1?y?0??1dx??y?1?y，0?y?0.5??1???fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1??1?y，0.5?y?1，

???y?0，其他??0，其他???显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了X,Y不是相互独立的。 25，解：引入随机变量定义如下

?1第i个球落入第i个盒子 Xi??0第i个球未落入第i个盒子?则总的配对数X??Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X~N(n,)。

i?1n1n1n故所以，E(X)?n??1。

1n第四章 正态分布

P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z?1.24}，

（2）设Z~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147，P{Z?b}?0.0526，求a,b。 解：（1）P{Z?1.24}??(1.24)?0.8925，

P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986

（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；

P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62。

曹仲生

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2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 解：因为X~N(3,16)，所以

X?3~N(0,1)。 44?3X?38?3P{4?X?8}?P{??}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.29574445?30?3P{0?X?5}??()??()?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。

44

3，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。 （2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95。

解：（1）因为P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?2?()?1

CC?2.0，C?12.0。

66X?3C?3~N(0,1)，所以P{X?C}?1??()?0.95，即 （2）因为22C?33?C3?C?()?0.05,或者?()?0.95，从而?1.645，C??0.29。

222C6C6C6所以得到?()?0.9772,即

4，已知美国新生儿的体重（以g计）X~N(3315,5752)。 （1） 求P{2587.75?X?4390.25}；

（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小

于2719的个数，求P{Y?4}。

X?3315~N(0,1)。 5754390.25?33152587.75?3315)??() （1）P{2587.75?X?4390.25}??(575575解：根据题意可得

)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655 ??(1.87)??(?1.2648（或0.8673）

（2）P{X?2719}??(2719?3315)?1??(1.04)?0.1492， 575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以

kP{Y?4}??C25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。

k?04曹仲生 第 40 页 2014/6/21

概率论与数理统计及其应用习题解答

5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为

P{X?8}P{X?8|X?5}??P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）

解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则

X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)

（1）P{11.7?X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}

12.3?11.911.7?11.9?22 ??????(2)??(?1)?0.8185?0.6699； ?()??()??0.20.2??2（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为

?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2 ?1?0.99382?0.0124。

7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值??160，均方差为?的正态分布，若要求P{120?X?200}?0.80，允许?最大

曹仲生

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概率论与数理统计及其应用习题解答

为多少？ 解：根据题意，

X?160?~N(0,1)。所以有

120?16040)??()?2?()?1?0.80，

P{120?X?200}??(200?160???即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而

40??1.28,??31.25。

故允许?最大不超过31.25。

8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在d?C，液体的温度X（以?C计）是一个随机变量，且X~N(d,0.52)， （1） 若d?90，求X小于89的概率；

（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至

少为多少？

解：因为X~N(d,0.52)，所以（1）P{X?89}??(X?d~N(0,1)。 0.589?90)??(?2)?1??(2)?0.0228； 0.580?d)?0.99，0.580?dd?80d?80)?0.01或者?()?0.99??(2.326)，从而?2.326，即?(0.50.50.5（2）若要求P{X?80}?0.99，那么就有P{X?80}?1??(最后得到d?81.163，即d至少应为81.163。

9，设X,Y相互独立，且X服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y服从数学期望为100，方差为16的正态分布。 （1） 求W1?X?Y，W2??2X?Y，W3?(X?Y)/2的分布； （2） 求P{X?Y?242.6}，P{(X?Y)/2?125?5}。 解：根据题意X~N(150,9),Y~N(100,16)。

曹仲生

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概率论与数理统计及其应用习题解答

（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）

的性质，立刻得到

W1~N(250,25)， W2~N(?200,52)， W3~N(125,25) 425)，所以 4?X?Y?/2?125~N(0,1)。 X?Y?250~N(0,1)，

55/2242.6?250)?1??(1.48)?0.0694， 因此P{X?Y?242.6}??(5（2） 因为 W1~N(250,25)，W3~N(125,P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}

?1????(?55?)??(?)? 2.52.5? ?2?2?(2) ?0.0456

10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）X~N(10,0.22)，垫圈直径（以mm计）Y~N(10.5,0.22)，X,Y相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。

（2）在（1）中若X~N(10,0.22)，Y~N(10.5,?2)，问控制?至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。

解：（1）根据题意可得X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率为P{X?Y}?P{X?Y?0}?????0?(?0.5)?????(1.77)?0.9616。 0.08??（2）X?Y~N(?0.5,0.04??2)，所以若要控制

?0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04?????0.90??(1.282)， ??即要求

曹仲生

0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348

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概率论与数理统计及其应用习题解答

才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。

11,设某地区女子的身高（以m计）W~N(1.63,0.0252)，男子身高（以m计）M~N(1.73,0.052)。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。

)，所以 解：（1）因为M?W~N(0.1,0.003125P{W?M}?P{M?W?0}??()??(?1.79)?1?0.9633?0.0367；

0.0031250?0.1（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为

1.60?1.63P{W?1.60}?1??()??(1.2)?0.8849，

0.025随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布

B(5,0.8849)，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为

45C5?0.88494?(1?0.8849)?C5?0.88495?0.8955

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量W1,?W50，

1501500.0252W?Wi~N(1.63,)，所以这50名女子的平?Wi。则W?50?50i?150i?1均身高达于1.60的概率为

P{W?1.60}?1??(1.60?1.630.025/50)??(8.49)?1

12，（1）设随机变量X~N(?,?2)，已知P{X?16}?0.20，

曹仲生

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概率论与数理统计及其应用习题解答

P{X?20}?0.90，求?和?；

（2）X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X?2Y?6Z?7}。 解：（1）由P{X?16}??()?0.20??(?0.84)，得到16????0.84?；

?20??P{X?20}??()?0.90??(1.282)，得到20???1.282?；

?16??联立16????0.84?和20???1.282?，计算得到??17.5834 ,??1.8850。（2）由X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到

3X?2Y?6Z~N(0,49)。

故所以

P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(?7?0)?1??(1)?0.1587 7

13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以

Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为X~N(0,7.52)，X以g

计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出Z,X,m的关系式； （2）求Z的分布；

（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m?Z?30?X或者Z?m?30?X； （2）因为X~N(0,7.52)，所以Z~N(m?30,7.52)； （3）要使得P{Z?450}?0.95，即要

?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.95，

7.5??曹仲生 第 45 页 2014/6/21

概率论与数理统计及其应用习题解答

所以要求???m?480m?480?m?492.3375。?1.645，即??0.95??(1.645)，

7.5?7.5?所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。

14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y~N(30,9)，设

X,Y相互独立。

（1）求Z的分布；

（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。 解：（1）此时Z?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得

Z~N(m?30,65.25)。

（2）P{Z?450}?1????可得

m?48065.25?450?(m?30)??m?480??????????0.90??(1.282)， 65.25???65.25??1.28，即2 m?490.36。

15，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。

解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，

1100X??Xi。则E(X)?2，D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极100i?1限定理可得

P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1100X?21.8?21.8?2?}?1??()??(1)?0.84130.20.20.2第 46 页

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曹仲生

概率论与数理统计及其应用习题解答

16，以X1,?X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，E(Xi)?25(kg),D(Xi)?1,i?1,2,?100.X1,?X100服从同一分布，且

1100相互独立。X?Xi，求P{24.75?X?25.25}的近似值。 ?100i?1解：根据题意可得E(X)?25(kg),D(X)?极限定理可得

P{24.75?X?25.25}?P{1。由独立同分布的中心10024.75?25X?2525.25?25??}??(2.5)??(?2.5) 0.10.10.1?2?(2.5)?1?0.9876

17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间

(?0.5?10?7,0.5?10?7)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于

0.5?10?6的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）

1400解：以X1,?X400记这400个数据的舍入误差，X?Xi。则?400i?110?14E(X)?0,D(X)?。利用独立同分布的中心极限定理可得

4800P{?Xi?0.5?10?6}?P{?0.125?10?8?X?0.125?10?8}

i?1400 ?P{?0.125?10?8104800?14?X104800?14?0.125?10?8104800?14}

??(0.2512)??(?0.2512) ?2?(0.866)?1?0.6156

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概率论与数理统计及其应用习题解答

18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为X，求P{170?X?185（2）问至少需要安装多}，P{X?190}，P{X?180}；少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。

解：（1）根据题意，X~B(1000,0.2)，且E(X)?200,D(X)?160。 由De Moivre-Laplace定理，计算得

185?0.5?200170?0.5?200P{170?X?185}??()??()

160160

??(?1.15)??(?2.41)?(1?0.8749)?(1?0.9920)?0.1171；

190?0.5?200P{X?190}?1??()?1??(?0.83)?0.7967；

160180?0.5?200P{X?180}??()??(?1.54)?1?0.9382?0.0618。

160（2）设要安装n部电话。则要使得

P{X?50}?1??(0.2n?49.50.16n50?0.5?0.2n0.16n)?1??(49.5?0.2n0.16n)?0.95

就要求?()?0.95??(1.645)，即

0.2n?49.50.16n?1.645，从而

0.04n2?20.232964n?2450.25?0，解出n?304.95或者n?201（舍去）。

所以最少要安装305部电话。

19，一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律

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概率论与数理统计及其应用习题解答

X 8 9 10 0.01 0.29 0.70 pk （1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。

（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意，E(X)?9.69，D(X)?94.13?9.692?0.2339。 （1）以X1,?X10分别记10次射击的得分，则

10P{?Xi?96}?P{i?1i?1?X10i?96.9?96?96.92.3392.339}??(96?96.92.339)??(?0.59)?0.2776

（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则

Y~B(900,0.01)。由De Moivre-Laplace定理，计算得

P{Y?6}?1??(6?0.5?900?0.01)?1??(?1.17)?0.8790。

900?0.01?0.99

（第4章习题解答完毕）

第五章 样本及抽样分布

1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，X1,X2,X3,X4是来自总体的容量为4的样本，求

（1）X1,X2,X3,X4的联合概率密度；（2）P{0.5?X1?1,0.7?X2?1.2}； （3）E(X),D(X)；（4）E(X1X2)，E[X1(X2?0.5)2]；（5）D(X1X2)。

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概率论与数理统计及其应用习题解答

解：因为X的概率密度为f(x)?2e?2x，x?0，所以

（1） 联合概率密度为g(x1,x2,x3,x4)?f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)

?16e?2(x1?x2?x3?x4)，（X1,X2,X3,X4?0）

（2）X1,X2的联合概率密度为2e11.2?2(x1?x2)，所以

11.2?2x1P{0.5?X1?1,0.7?X2?1.2}?0.50.7??4e?2x1?2x2dx1dx2??2e0.5dx1?2e?2x2dx2

0.7?(e?1?e?2)(e?1.4?e?2.4)

1411411?1（3）E(X)??E(Xi)?, D(X)??D(Xi)???； ???4i?1216i?14?2?162（4）E(X1X2)?E(X1)E(X2)?，（由独立性）

E[X1(X2?0.5)2]?E(X1)E[(X2?0.5)2]?111122E[X2?X2?]?[E(X2)?E(X2)?]242421411111?1?11?[D(X2)?E2(X2)??]?[????]?； 22424?2?481?（5）D(X1X2)?E[(X1X2)2]?E2(X1X2)?E(X1)E(X2)????

?4?222?[D(X1)?E2(X1)][D(X2)?E2(X2)]?1111113?(?)(?)??。 1644441616

2，设总体X~N(75,100)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求 （1）P{max(X1,X2,X3)?85}，（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}， （3）E(X12X22X32)，（4）D(X1X2X3)，D(2X1?3X2?X3)，

}。 （5）P{X1?X2?148解：（1）P{max(X1,X2,X3)?85}?P{X1?85,X2?85,X3?85}?

?X?7585?75?P{X1?85}P{X2?85}P{X3?85}??P{X1?85}???P{1?}?

1010??33曹仲生 第 50 页 2014/6/21

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