2015年考研高等数学导学班教师版

高等数学导学班讲义（上册）

第一章：函数与极限

本章数一、数二、数三复习内容大同小异。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、 本章第一节中的集合、映射、双曲函数数一、数二、数三的考生都不用复习，相应习题不做；

2、 本章利用极限定义（ N, , X）证明的题目可以不做； 3、 本章第十节中的“三、一致连续性”三类考生都不用复习。

二、本章需修改的概念

1、间断点

定义1：函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情况之一

① 在x0点没有定义；

② 虽在x0点有定义，但limf(x)不存在；

x x0

③ 虽在x0点有定义，且limf(x)存在，但limf(x) f(x0)

x x0

x x0

则x0叫f(x)的一个间断点。

例如：y ln(x 1)，点x 1,x 2都不是间断点。 2、无穷间断点

定义2：设x0是f(x)的一个间断点，如果满足limf(x) 或limf(x) ，则x0叫

x x0

x x0

f(x)的一个无穷间断点。

例如：f(x) e

1

x 1

，则x0 1叫f(x)的一个无穷间断点。

三、关于本章一个定理的描述

本章中关于闭区间上连续函数的介值定理以下列方式描述更易把握其使用。

定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，m,M是函数在该区间上的最小与最大值，则对任意的 [m,M]，在[a,b]上至少存在一点 ，满足f( ) 。

评注：只要看到证明在闭区间上至少有一点使得某等式成立的题目，就想到用介值定理。 例如：设f(x)在(a,b)内连续，且a x1 x2 xn b，证明至少存在一点 [x1,xn]，

使得f( )

f(x1) f(x2) f(xn)

。

n

四、关于本章定理的要求

本章的所有定理都不需要会证明，重点是会用。以下三个定理最重要 1、极限存在的夹逼准则——主要用来求n项和数列极限的；

2、单调有界准则———主要用来求通项有递推公式给出数列极限的； 3、零点定理主要用来证明方程在某范围内至少有一个实根的。

五、本章重点理解的概念

本章＂数列的极限”这一个概念需要做到”理解”。

六、本章需补充的内容

1、函数性质

命题1：可导奇函数的导函数是偶函数； 命题2：可导偶函数的导函数是奇函数； 命题3：连续奇函数的原函数是偶函数；

命题4：连续偶函数的原函数不一定是奇函数； 命题5：可导周期函数的导函数是周期函数；

命题6：连续周期函数的原函数不一定是周期函数。 2、极限

命题1：limxn A limx2n A且limx2n 1 A；

n

n

n

命题2：limf(x) A limf(x) A，反之一般不成立；

x x0

x x0

评注：limf(x) 0 limf(x) 0。

x x0

x x0

3、连续

命题1：f(x)在区间I上连续 f(x)在区间I上连续，反之一般不真；

命题2；f(x),g(x)在区间I上连续 max f(x),g(x) 和min f(x),g(x) 在区间I上连续。

评注：max f(x),g(x)

f(x) g(x) f(x) g(x)

；

2

f(x) g(x) f(x) g(x)

min f(x),g(x) 。

2

第二章：导数

数一、数二、数三复习内容基本一致。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、本章第四节中的“二、由参数方程确定的函数的导数”数三不复习，后面相应习题不做； 2、本章第五节中的“四、微分在近似计算中的应用”所有考生不复习，后面相应习题不做。

二、本章重点理解的概念

1、导数 2、微分

三、本章需补充的内容

高阶导数公式

(ax)(n) ax lnna

(sin(ax b))

(n)

ansin(ax b

(cos(ax b))

(n)

n 2n

ancos(ax b

2

1(n)( 1)nann!

( n 1

ax b(ax b)

(ln(ax b))

(n)

( 1)n 1an(n 1)!

(ax b)n

四、关于16个求导公式的记忆

求导公式记忆时，按六类基本初等函数来记忆。 常值函数： 幂函数： 指数函数： 对数函数： 三角函数： 反三角函数：

注：关于反三角函数的值域与定义域

y arcsinx定义域[ 1,1]，值域[

,]；y arccosx定义域[ 1,1]，值域[0, ]； 22

y arctanx定义域( , )，值域(

,；y arccotx定义域( , )，值域22

(0, )。

五、复习时容易忽视的知识

微分几何意义

例1：设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0,f (x) 0， x为自变量x在点x0处的增量， y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若 x 0，则

(A) 0 dy y. (B) 0 y dy. (C) y dy 0. (D) dy y 0 .

第三章：微分中值定理与导数应用

数一、数二、数三复习内容大同小异

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、本章第七节曲率，数三不复习相应习题不做，但需添加边际、弹性；

2、本章第七节曲率中的曲率中心的计算公式、渐屈线与渐伸线数一、数二不复习，相应习题不做；

3、本章第八节方程的近似解所有考生都不复习相应习题不做。.

二、本章需修改的概念

渐近线 1、水平渐近线

定义：若limf(x) c[或limf(x) c]，则直线y c叫曲线y f(x)的一条水平渐近

x

x

线．

2、垂直渐近线（铅直渐近线）

定义：若limf(x) [或limf(x) ]，则直线x x0叫曲线y f(x)的一条垂直渐近

x x0

x x0

线．

3、斜渐近线

则直线y ax b叫定义：若lim[f(x) ax b] 0[或lim[f(x) ax b] 0],(a 0)，

x

x

曲线y f(x)的一条斜渐近线． 评注：求斜渐近线 （1）先求lim

x

f(x)

，如该极限值是非零的常数a，再求lim[f(x) ax]，若此极限存在

x x

且极限值为b，则直线y ax b是曲线y f(x)的一条斜渐近线； （2）求lim

x

f(x)

，如该极限值是非零的常数c，再求lim[f(x) cx]，若此极限存在且

x x

极限值为d，则直线y cx d是曲线y f(x)的一条斜渐近线．

评注：曲线的水平渐近线最多有两条，且当时，若曲线有水平渐近线，则在该方向

上曲线必没有斜渐近线，当x 时，若曲线有水平渐近线，则在该方向上曲线必没有斜渐近线． 例1：⑴ 曲线y

x 4sinx

的水平渐近线方程为______；

5x 2cosx

x2

⑵ 曲线y 的斜渐近线方程为_____．

2x 1

三、本章重点理解的概念

1、极值

注：区间端点不是极值点。 2、拐点

注：拐点是曲线上的点。

四、关于本章定理的要求

1、本章的罗尔定理、极值第二判别法要求同学会证明并会使用； 2、以下定理应牢记条件、结论并会应用； ⑴ 拉格朗日中值定理

评注：涉及一个函数的函数改变量与该函数在某一点导数关系的命题用该定理； 例2：已知f(x)在( , )内可导，且 limf (x) e,

x

lim(

x

x cx

lim[f(x) f(x 1)]，求c的值．

x x c

⑵ 泰勒定理数一、数二必须会使用

评注：已知条件中出现抽象函数高阶导数的命题的证明常用该定理。 ⑶ 单调的判定定理

评注：①单调判定定理条件充分不必要；②单调的判定定理适用范围是区间不是某一点 ⑷ 拉格朗日中值定理的推论 评注：主要用来证明恒等式

例3： 证明函数恒等式arcsinx arccosx

1

,x 1． 2

五、本章需补充的内容

关于极值的两个命题

命题1：若f(x)在x0的某邻域内有三阶连续导数，且f (x0) f (x0) 0,f (x0) 0，则点x0不是f(x)的极值点，而点(x0,f(x0))是曲线y f(x)的拐点． 命题2：若f(x)在x0的某邻域内有直到n阶的导数，且

f (x0) f (x0) f(n 1)(x0) 0，而f(n)(x0) 0，则

（ⅰ）当n是奇数时，f(x0)不是极值； （ⅱ）当n为偶数时，f(x0)是极值，且f极大值．

(n)

(x0) 0时，是极小值；f(n)(x0) 0时，是

第四章：不定积分

本章数一、数二、数三复习内容基本一致。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

本章中的第五节积分表的使用所有考生不需复习，相应课后题不做。

二、本章要记得15个积分公式

1．xdx

x

11 1

x C( 1)；2． dx lnx C； 1 x

ax

3． adx C， exdx ex C；4． cosxdx sinx C；

lna

5．sinxdx cosx C 6．secxdx 7．cscxdx

2

1

cos2xdx tanx C；

2

1

sin2xdx cotx C； 8． secxtanxdx secx C；

9．cscxcotxdx cscx C； 10．secxdx lnsecx tanx C； 11．cscxdx lncscx cotx C； 12．13

．

11x1

， arctan C a2 x2a 1 x2dx arctanx C； a

arcsin

x arcsinx C； C，a14．

dx1a x；15

． ln C a2 x22aa x lnx C．

第五章:定积分

本章数一、数二、数三复习内容基本一致。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、本章第一节中的“三、定积分的近似计算”所有考生不需复习，相应课后习题不做；

2、本章第五节反常积分审敛法、 函数所有考生不需复习，相应课后习题不做；

二、本章重点理解的概念

1、定积分

评注：可以用来求n项和的数列的极限。 例1：求下列极限

1n1p 2p np

（p 0） ⑴lim ， ⑵ limp 1n nn ni 1

2、反常积分

三、关于本章定理的要求

1、本章的变上限函数求导数定理要求同学会证明并会使用； 2、定积分的牛顿-莱布尼兹定理应牢记条件、结论并会应用。

四、本章需补充的内容

1、变限函数求导公式

命题：设f(x)连续，m(x),n(x)可导，则

dn(x)

f(t)dt f[n(x)] n (x) f[m(x)] m (x) mx()dx

例2：设函数f(x)为连续函数，且 F(x) 2、周期函数的积分公式

命题：设f(x)是连续的以T为周期的周期函数，则

lnx

1

x

f(x)dx，则F (x) _____ ．

a

a T

a

f(x)dx f(x)dx(a R)

T

例3

：计算

a nT

f(x)dx n f(x)dx(a R,n N)

T

100

．

3、华里士公式

20

132n 1

sinxdx 2cos2nxdx

0242n2

2n2n 1

2

sin

242n

xdx 2cos2n 1xdx 1

0352n 1

第六章 定积分的应用

本章数一、数二、数三复习内容基本一致，略有区别。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、本章第二节中“三、的平面曲线的弧长”、第三节 定积分在物理上的应用数学三不需复

习，课后相应习题可不做；

2、极坐标系下平面图形求面积、求旋转体体积，如果不会可以选择不做。

二、本章需补充的内容

仅数学一、数学二

1、旋转曲面求侧面积；

⑴ 如右图所示曲线弧绕x轴旋转所得旋转曲面的表面积

S 2

b

a

f(xx (a b)

⑵ 如右图所示曲线弧绕y轴旋转所得旋转曲面的表面积

b

S 2 x (0 a b)

a

例1：求圆弧x y a(a y a)绕y轴旋转所得球冠的面积．

． 2、质心、形心

设平面上有n个质点：A1(x1,y1)、A2(x2,y2)、 、An(xn,yn)，质量分别为

2

2

2

12

m1,m2, ,mn，每一个质点Ai(xi,yi)(i 1,2, ,n)对x轴，y轴的静力矩为miyi,mixi；

从而这n个质点构成的质点组对x轴，y轴的静力矩为Mx

n

my,M

ii

i 1

n

y

mixi；

i 1

n

MyMx

,． 记M mi，则该质点组的质心( (MMi 1

设曲线形物体在xoy平面上占有弧段L: 度为 (x,y)，假定 (x,y)在L上连续．

在弧L上任取一小段弧[s,s ds]，在该小段弧上任取一点(x,y)，则 质量微元：

x m(t)

，其上点(x,y)处的线密,( t ）

()ynt

dM (x,y)ds (m(t),n(t；

静力矩微元：

dMx y (x,y)ds n(t) (m(t),n(t

dMy x (x,y)ds m(t) (m(t),n(t

从而该物体

质量：M

(m(t),n(t

对x

轴的静力矩：Mx

n(t) (m(t),n(t

对y轴的静力矩：

My

m(t) (m(t),n(t

所以该物体的质心坐标(为：

m(t) (m(t),n(t

n(t) (m(t),n(t ．

评注：如果该物体质量是均匀的，则其质心也叫这曲线形物体占有的平面图形（曲线弧）L的形心 ．

第七章 微分方程

本章数一、数二、数三考，但复习内容有区别。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、本章第四节中的“二、伯努利方程”，数二、数三都不需复习，相应课后习题不做； 2、本章第五节可降阶的微分方程数三不需复习，相应课后习题不做；

3、本章第六节中的“三、常数变易法”所有考生不需复习，相应课后习题不做； 4、本章第九节欧拉方程数二、数三不需复习，相应课后习题不做；

5、本章第十节常系数线性微分方程组解法举例所有考生不需复习，相应课后习题不做； 此外复习本章时，应用题暂时可以不看，不练。

二、本章需补充的内容

数三应加一阶常系数线性差分方程 一、差分方程的基本概念 1．函数差分的定义

函数yt f(t)，t 0, 1, 2, ．函数f(t)在t时刻的一阶差分定义为 yt yt 1 yt f(t 1) f(t) 函数f(t)在t时刻的二阶差分定义为

yt ( yt) yt 1 yt yt 2 2yt 1 yt 其余类推，函数f(t)在t时刻的n阶差分定义为 yt (

n

n 1

2

yt) n 1yt 1 n 1yt

2．差分方程及其基本概念 ⑴ 差分方程的定义

( 1)

k 0

n

k

n!

yt n k

k!(n k)!

含有自变量t，未知函数yt以及yt的差分 yt, yt， 的函数方程，称为（常）差分

2

方程．

n阶差分方程的一般形式为

F(t,yt, yt, , yt) 0 （*）

n

这里F为已知函数，且 yt必定要出现．

n

也可以这样定义：含有自变量t和两个或两个以上函数yt,yt 1, 的函数方程，称为（常）差分方程．

n阶差分方程的另一种一般形式为

F(t,yt,yt 1, ,yt n) 0 （**） 这里F为已知函数，且yt与yt 1必定要出现．

⑵ 差分方程的阶

出现在差分方程（*）中差分的最高阶数，称为差分方程的阶．

出现在差分方程（**）中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶． 由于经济学中经常遇到的是按形如（**）给出的差分方程，因此我们下面只研究形如（**）的差分方程． ⑶ 差分方程的解

，使之对一切的t均成为恒等式，则称yt (t)为差分 若函数yt (t)代入方程（**）方程（**）的解

含有n个任意独立常数c1,c2, cn的解

yt (t,c1,c2, ,cn) 称为n阶差分方程（**）的通解．

不含任意常数的解称为差分方程（**）的特解． 二、一阶常系数差分方程

一阶常系数差分方程的一般形式为

yt 1 pyt f(t) （#） 其中f为已知函数，p为非零常数．

当f(t) 0时，方程（#）变为

yt 1 pyt 0 （##） 我们称（#）为一阶常系数非齐次线性差分方程，称（##）为其对应的一阶常系数齐次线性差分方程．

1．齐次差分方程的通解

一阶常系数齐次线性差分方程(##) 的通解为 yt cp 这里c为任意常数．

2．非齐次差分方程的解的性质

性质1：若yt是非齐次差分方程（#）的一个特解，yt是齐次差分方程（##）的通解，则非齐次差分方程（#）的通解为

yt yt

*

*

t

t分别是差分方程yt 1 pyt f1(t)和yt 1 pyt f2(t)的解，则yt y t是性质2：若yt与y

差分方程yt 1 pyt f1(t) f2(t)的解．

3．几种常见形式的一阶常系数非齐次差分方程特解应具有的形式

一阶常系数线性非齐次差分方程（#）的特解yt的形式表

*

f(t)的形式 方程中系数p的取值

特解yt的形式

*

f(t) Pm(t)

p 1 p 1

yt* Qm(t) yt* tQm(t) yt* Qm(t)bt yt* tQm(t)bt

f(t) Pm(t)bt，其中b 1

p b

p b

上表特解中Qm(t)是待定系数的m次多项式，B,C是待定常数 例.1 填空题

⑴ 设差分方程yt 1 4yt 12 4，则其通解为______； ⑵ 差分方程yt 1 5yt 5满足条件y0 3的特解是______；

⑶ 已知 (t) 2, (t) 2 3t是方程yt 1 p(t)yt f(t)的两个特解，则p(t) ____，

t

t

t

f(t) _____．

分析：本题主要考查一阶常系数非齐次差分方程求通解或特解的方法．

解：⑴方程对应的齐次方程为yt 1 4yt 0，由于p 4，所以通解为yt C4

由于原方程中f(t) 12 4是Pm(t)b形式，且4 b p，所以原方程待定特解的形式为 yt at4 代入原方程得

a(t 1)4

t 1t

t

t

*t

4at4t 12 4t，所以a 3

t

因此原方程通解为 yt (C 3t)4

⑵ 对应齐次方程为 yt 1 5yt 0，由于p 5，所以通解为yt C( 5)，

原方程中f(t) 5是Pm(t)形式，且p 1，所以原方程待定特解的形式为yt A，代入原方程得A 5A 5，即 A

*t

5． 6

t

从而原方程的通解为 yt C( 5)

5， 6

13． 6

135

从而原方程满足条件的特解为yt ( 5)t ．

66

又因为y0 3，所以C

⑶ 根据解的结构定理可知 (t) (t) 3t是齐次差分方程yt 1 p(t)yt 0的解，代入该方程得：3(t 1) p(t)(3t) 0，所以p(t)

从而原方程为yt 1

t 1

． t

t 1

yt f(t)，由于2t是该方程的解，代入得 t

t 1tt 1t

2t 1 2 f(t)，所以f(t) 2．

tt

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/om0m.html