考试题库之高等量子力学

1、请写出关于直积的五个定理并加以证明

答案：

定理一：两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵 证明：已知A、B为两个对角矩阵，

有Aij = Aii?ij , Bmn =Bmm?mn (A×B)im,jn = AijBmn = AiiBmm?ij?mn = Cim;im?im,jn 所以.A×B仍是对角矩阵 定理二：(A + B)×C = A×C + B×C 证明： ((A + B)×C)im,jn = (A + B)ijCmn = (Aij + Bij)Cmn

= AijCmn + BijCmn = (A×C)im,jn + (B×C)im,jn, 所以 (A + B)×C = A×C + B×C. 定理三：如果A和B是幺正矩阵，则A×B也是幺正的 ??证明：因为A、B都是幺正矩阵，所以AA= I，BB= I

?AikA????kjij ，mlBln??mn

k?Bl?(A?B)im,kl(A?B)??**kl,jn??AikBml(A?B)jn,kl??AikBmlAjkBnl

klklkl??A????ikBmlAkjBln?kj?

lnmn??im,jnkl?AikAk?BmlB??ijl 所以A×B也是幺正矩阵 定理四：Tr（A×B）=TrA·TrB 证明：Tr(A×B) =?（A?B）im,im=

iiBmm=

iiBmm= TrA·TrB

im?Aim?Ai?m定理五：设A、C为同维矩阵，B、D为同维矩阵，则有(A×B)(C×D) = (AC)×(BD) 证明：((A?B)(C?D))im,jn??(A?B)im,kl(C?D)kl,jn

kl?B

?AikmlCkjDln??AikBkj?BmlDlnklkl

?(AC)ij(BD)mn?((AC)?(BD))im,jn 所以(A×B)(C×D) = (AC)×(BD)

2、如果f是厄米算符，而且对某一特定右矢A有f?mA?0,m为正整数，则有f?A?0。 证明：因为f?mA?0， 所以f?(m?2)f?mA?f?2(m?1)A?0，Af?2(m?1)A?0 因为f?是厄米算符，所以f?(m?1)也是厄米算符， 所以Af?2(m?1)A?Af?(m?1)f?(m?1)A?f?(m?1)Af?(m?1)A?0 1

?(m?1)A?0，同理，可得到f?(m?2)A?0…… 所以f?A?0。 以此类推，可得到f3、（1）请写出一维谐振子的经典哈密顿量

（2）请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程 （3）已知a?纳法证明aa?nm??ip?m??ip??q??，a???q??，?a,a??=1，请用数学归2??m??2??m???a?na?na?n?1

n?n（4）根据a0?0，00?1用数学归纳法，证明0aa0?n!，并根据正交归

?a?n?n?1n?1一性推导出?

an?nn?1?1(p2?m2?2q2) 答案：（1）一维谐振子的经典哈密顿量H?2m1pt??q?q,H??ti?tm （2）Heisenberg运动方程?

1?p?t?pt,H??m?2qti?????? （3）证明：因为a,a?=1，所以当n=1时成立 假设当n?m时，aa?m???a?ma?na?m?1 成立

?m?1 则当n?m?1时，a,a

??=?a,a?a?m??a?ma,a?

???na?m?1a??a?m?(n?1)a?m

所以n?m?1时成立，由此可推出aa （4）证明：因为a0?0，所以当n=1时成立 假设当n?m时，0aa 则当n?m?1时，0am?m?n?a?na?na?n?1

成立 0?m！m?1a?m?10?0amaa?a?m0

??m ?0a(1?aa)a ?0aaaa ?0aa(a

m?m??mm0

0+0ama?m0

?ma?ma?m?1)0+0ama?m0

2

因为a0?0，所以0ama?a?ma0?0

上式?0ama?ma?m?10+0ama?m0 ?m0ama?m0+0ama?m0

?(m?1)0ama?m0?(m?1)m!?(m?1)! 所以n?m?1时成立，由此可推出0aan?n0?n!

1(n?)??的归一化本征右矢为 因此相应于能量为

2 n?1?na0 n!n?11n?1n!1n!a?n?10?n?1(n?1)!n(n?1)!a?n?10?n?1n?1

所以an??1n!1n!a?n?10?同理an?aa?n0?(a?na?na?n?1)0?a?n?10?nn?1

?a?n?n?1n?1 由此得出?

an?nn?1?4、（1）请写出费曼—海尔曼定理

（2）请写出维里定理

（3）请用费曼—海尔曼定理

答案：（1）假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为En和n，?为哈密

?En?H?n? 顿量中含有的任何一个参数，则有 ????nP2?? （2）2nTn?nr·?Vn，这里T?是动能，V?V?r?是势能。

2mP2?22???V?r?????V?r?， （3）在坐标表象中，H?2m2m把?看成参量，由F-H定理知

?H?21P22?????T， ??m?m?

?En?H2?nn?nTn ……① ????? 3

P2P2?d??在动量表象中，H??V?r???V?i???

?dP?2m2m???r?H?Vdr????V?r?·i???V?r?· ???V·

???????dPd?在最后一步中又将动量表象中的i??换回为r。

dP由F-H定理知

?En?H1??nn?nr·?Vn ……② ?????比较①和②得知

2nTn?nr·?Vn，证毕。 5、由j1j2jm??m1m2?jm和?CCjjmjm;jmjm;jmj1j2jm ?jm,jm112211221m1,j2m21122jm证明CG系数满足下面的正交归一性

证明：j1j2jm?m1,m2jmj?m?CC?j1m1,jmj1m1,j2m2?? jj?? mm?

22?Cjmjmj1m1,j2m2Cjjm?,j2m2??? m1m1?? m2m2? 1m1m1m2?Cjjmj1m1;j2m2 1m1,j2m2m1?m2?取共轭为：j1j2j?m???m??;j2m2? Cjj?m?,jm?j1m11122由以上两式，得?jj??mm??j1j2j?m?j1j2jm ? ? ??m?m1m2m12??m?jm?;j2m2?j1m1;j2m2 Cjj?mj1m1?,jm?Cj1m1,j2m21122?m?m1m2m12m?jmCjj?m ?,jm?Cj1m1,j2m2?m1m1??m2m?21122m1m2?m? Cjj1?mCjjm1,j2m21m1,j2m2j1m1;j2m2??Cjjmj1j2jm 1m1,j2m2jm?;j2m2??取共轭为：j1m1?Cj?m?j?m??,j2m?j1m12j1j2j?m?

?;j2m2?j1m1;j2m2 由以上两式，得?m1m1?j1m1??m2m?2 ? ? ?证毕。

jmj?m?jmj?m?CC?j1m1?,j2m2?j1m1,j2m2j1j2j?m?j1j2jm

jmj?m??Cjmj?m??,j2m?j1m12?jj??mm? Cjjm1m1,j2m2 Cjjm1m1,j2m2?Cjm?,j2m?j1m12 4

6、请验证下列算符是否对易

（1）一维情形下的平移算符?(d)和?(d?) （2）三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2) （3）?(d)和宇称算符? （4）D(R) 和宇称算符?

答案：（1）对于一维情形下的平移算符?(d)和?(d?)， 有 ?(d)?(d?)?(x)??(d)?(x?d?)??(x?d??d) ??(x?d?d?)??(d?)?(x?d)??(d?)?(d)?(x) 所以一维平移算符?(d)和?(d?)彼此对易。

（2）对于三维情形下的空间转动算符D(R1)和D(R2)， D(R????1)?exp(?-?1in1?L)，D(R2)?exp(-i??2n2?L) 因为?Li,Lj??i??ijkLk?0，所以D(R1)D(R2)? D(R2) D(R1)

（3）对于?(d?)和宇称算符?，

?(d?)??(r?)??(d?)?(?r?)??(?r??d?) ??(d?)?(r?)???(r??d?)??(?r??d?)

所以 ?(d?)??(r?)???(d?)?(r?)，?(d?)和宇称算符?彼此不对易。（4）对于D(R) 和宇称算符?

? D(R)?(r?)? ??(R?1(n?,?)r?)??(?R?1(n?,?)r?)

D(R) ??(r?)?D(r?)?(?r?)??(R?1(n?,?)(?r?))??(?R?1(n?,?)r?) 所以D(R) 和宇称算符?彼此对易

7、根据单粒子算符 n?k??ak?ak?，由产生算符和湮灭算符的对易规则 a?k??a?k????a?k???a?k???0?ak??ak????ak???ak?? a??k??ak????ak???ak????k??k??? 证明?n?,a??kk???a????kk?k??，?nk?,ak?????ak??k?k??，?nk?,(ak?)m??m(a?mk?) 5

??????????,a??a?a?a??a?a?a??a?a?a??a?a?a? 证明：nkkkk?kkkk?k?kkk?k?k?????（a?a??a?a?）?a???? ?akkkk?kk?k?k???n,a??a?k?k???k????a???a?a?a??a?a?a? ak?ak???ak??ak?kkkkkk?k???a??a?a?）a??—a? ?—（ak?kk?kkk?m?m?,(a?)?) nk?m(akk?k?k??

?? 假设m?n时，上式成立

?n?1?n??n??,(a?)?,(a?)a?+(a?)?,a? 则当m?n?1时，nk?nnkkkkkkk?)a?+(a?)a??(n?1?) ?n(ak)(akkkk?n??n??n?1??????

成立。

?,(a?) 所以nkk??m??m(a?m?，得证。 k)

8、（1）请写出连续性Schrodinger方程和连续性Klein-Kordon方程

（2）请推导出Dirac粒子的连续性方程

?????(x,t) ???j(x,t)?0

?tSchrodinger方程

?????(x,t)答案：（1）连续性Schrodinger方程???j(x,t)?0

?t??2?? 其中?(x,t)??(x,t)??*(x,t)?(x,t)

??i?????[?*(x,t)??(x,t)??(x,t)??*(x,t)] j(x,t)??2m(6)

??????j?0 ?ti?????* 其中??(?*??) 2?t?t2mc 连续性Klein-Kordon方程

?i?(?*??????*) j??2m（2）

?????0????????0??9、设B、C是与?对易的算符，但B、C可能彼此不对易，??????，?，?????0??0?????????????是三个2×2的Pauli矩阵。求征（???）（??c)?B?C?i??(B?C)

6

????????0??B0??C?????? ?（???）（??c)??证明：????????0????C0???B??????(??B)(??C)?0? ?? ?????0(??B)(??B)???????????? 因为（???）（??c)?B?C?i??(B?C)

???????0????B?C?i??(B?C)? ??（???）（??c)???? 所以??0B?C_i?(B?C)???????? ?B?CI?i??(B?C)

这里I是4?4的单位矩阵，证毕。

10、证明(cp?eA)?(cp?eA)??ce(A?P?P?A)?ie?c??A?ie?cB(磁感应强度）

????????????????2????2?证明：(cp?eA)?(cp?eA)?cp?p?eA?A?ce(p?A?A?p) ????? ?0?0?ce(?i???A?A?p?A?p)?ieh?c?A

证毕。

11、如果?(1)是已知的证明能量的二级修正可以表示为 证明： 定态Schrodinger方程为 H??E?

考虑微扰情况，令H?H0?H??Ho??W

(0)(0)(0) 假设已知 H0?n?En?n

?2E(2)???(0)H???(1)?

E和?可以表示为 E?E(0)??E(1)??2E(2)??3E(3)??

???(0)???(1)??2?(2)??

将上面两式代入定态Schrodinger方程比较?同次幂的系数，便可得到：

?0:(H0?E(0))?(0)?0 ……①

?1:(H0?E(0))?(1)?(E(1)?W)?(0) ……②

?2:(H0?E(0))?(2)?(E(1)?W)?(1)?E(2)?(0) ……③

取定所考虑的能级和态为k，则③式可写为： (H0?Ek)?k（0）(2)(1)(1)(2)(0)?(Ek?W)?k?Ek?k ……④

(0) 用?k左乘④式得

（0）(2)?k(0)(H0?E?Ek(1)?k(0)?k(1)??k(0)W?k(1)?Ek(2)?k(0)?k(0) k)?k 7

(0)(0) 由①式可知，?k(H0?Ek)?0 (0)(0)?1，?k(0)?k(0)?0 又因为?k?k 所以Ek(2)??k(0)W?k(1) 即 ?2Ek(2)??k(0)?W??k(1)??k(0)H???k(1)

得证。

?E10?12、H??0????a0E10??b0?E2??a??0?b?(E2?E10)，用微扰论（把?a,?b看成小量）计算到能量的

二级近似值，并与直接求解本征方程的结果作比较。 答案：（1）直接求解本证值法 H????

?E10??? ?0???a?0E10????b??a??????b??0 ……① 0?c?E2???????a?bE10?? ①式有解的充要条件是

0E10??o?a?b0E2???0

??a??b000 解这个行列式得 (E1??)(E1??)(E2??)??a?2??b2??0

?E10???0 ?220000??(E?E)??EE????b1212a? 解为：?1?E1

02?0

?2、3??E?E2E?E22?0??()?E10E2??a??b? 22??22010201021200E10?E2E2?E10?4(?a??b?1?? ?022(E2?E10)2??)?? ??12 因为

4(?a2??b)20(E2?E10)2为小量，上式可近似为

020122??2(???E?EE?Eab)?1?? ??00222(E?E)??21??0102 8

2????b?E10?a0?E2?E10 ??2???ba?0?E2?E0?E021?22

（2）微扰法：

0 因为E2非简并，对初始零级近似波函数而言，设E10对应于态?、?，E10二度简并，0对应于态2，因为 E2

??????????22 13、证明[Li,S?L]?0，[J,S?L]?0 [Si,S?L]?0，[Ji,S?L]?0，[L,S?L]?0，??证明：[Li,S?L]?[Li,SjLj]?Sj[Li,Lj]?i??ijkSjLk?0 ?? [Si,S?L]?[Si,SkLk]?[Si,Sk]Lk?i??ikjSjLk?0 ???? [Ji,S?L]?[Li?Si,S?L]?[Li,SjLj]?[Si,SkLk]

?i??ijkSjLk?i??ikjSjLk ?i??ijkSjLk?i??ijkSjLk?0

?? [L,S?L]?[L2,SiLi]?Si[L2,Li]?0

2?? [S,S?L]?[S2,SiLi]?[S2,Si]Li?0

2??????2????22 [J,S?L]?[(L?S),S?L]?L?2L?S?S,S?L?0

2??证毕。

14、用分波法证明光学定理

答案：光学定理将朝前散射振幅的虚部与全截面联系起来，即Imf(??0)?k?tot 4?????d?d?。 这里，，f(??0)?f(k,k)，取k??k意味着朝正前方散射，?tot??d?1115、请分析两个全同的无自旋粒子及自旋、?粒子非极化束的散射情况

22答案：因为空间波函数必须是对称的，所以渐近波函数必须像

9

e??ik?x?e???ik?xeikr?[f(?)?f(???)]

r这里x?x1?x2两个粒子间的相对位置矢量。上式导致微分截面公式为

???d?222?f(?)?f(???)?f(?)?f(???)?2Re[f(?)f*(???)] d?微分截面在???/2附通过相加性干涉增大了。

11对于自旋?自旋粒子的非极化束及V与自旋无关的散射，对自旋单态我们有空

22间对称化的波函数，对自旋三重态我们则有空间反对称化的波函数。如果?射束流是非极化

13的，微分截面就是的自旋单态和的自旋三重态贡献之和，

44d?1322?f(?)?f(???)?f(?)?f(???) d?44

?f(?)?f(???)?Ref(?)f(???) 在??

22?2?2附近，得到相消性干涉。

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