2017 - 18学年高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法

3.2.3 导数的四则运算法则

[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

[知识链接]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答：利用导数的运算法则． [预习导引] 导数运算法则 法则 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 数的导数的和(或差) 续表 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导[f(x)·g(x)]′ 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 二个函数的导数 常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的[Cf(x)]′＝Cf′(x) 导数 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函x?fx?′ ?gx???＝两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上fxgx－fxg2x(g(x)≠0) gx 分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方

要点一 利用导数的运算法则求函数的导数

例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x－1)； (2)y＝3－lgx.

解 (1)∵y＝(x＋1)(x－1)＝x－x＋x－1， ∴y′＝(x)′－(x)′＋x′－(1)′＝3x－2x＋1.

(2)函数y＝3－lgx是函数f(x)＝3与函数g(x)＝lgx的差．由导数公式表分别得出

1

f′(x)＝3xln3，g′(x)＝，

xln10利用函数差的求导法则可得

xx3

2

2

2

3

2

2

xy′＝(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－.

xln10

规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．

跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x；(2)y＝3x＋xcosx；

1x(3)y＝e·lnx；(4)y＝lgx－2.

3

2

1

x解 (1)y′＝－12x；

(2)y′＝(3x＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；

xex(3)y′＝e·lnx＋；

2

2

x(4)y′＝

12

＋3. xln10x要点二 导数的应用

例2 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x－2x相切的直线方程． 解 设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x0－2. 故切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x0－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)．

1

解得x0＝1或x0＝－. 2

3

2

3

2

2

3

5

切线的斜率分别为1和－. 4

5

故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．

4即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．

t－12

跟踪演练2 已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝2＋2t(位移单位：m，时间单位：

ts)，求t＝3s时物体的瞬时速度．

t－1t111222

解 ∵s(t)＝2＋2t＝2－2＋2t＝－2＋2t，

ttttt1112323

∴s′(t)＝－2＋2·3＋4t，∴s′(3)＝－＋＋12＝，

tt92727

323

即物体在t＝3s时的瞬时速度为m/s. 27

1．下列结论不正确的是( ) A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

1

C．若y＝－x＋x，则y′＝－＋1

2xD．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx 答案 D

解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sinx＋cosx， ∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.

cosx2．函数y＝的导数是( )

1－x－sinx＋xsinxxsinx－sinx－cosxA.B. 22

－x－xcosx－sinx＋xsinxcosx－sinx＋xsinxC.D. 2

－x1－x答案 C 解析 y′＝?3．曲线y＝

?cosx?′＝－sinx??1－x?

x－x－cosx2

－x－

cosx－sinx＋xsinx＝. 2

－xx＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝2x＋1B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2 答案 A 解析 ∵y′＝xx＋

2－1＋

－xx＋x＋2

2

＝2x＋

2

，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

1

4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.

2答案 ln2－1

111

解析 设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴＝，

x2x0

1

∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝×2＋b，∴b＝ln2－1.

2

求函数的导数要准确把函数拆分为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式展开运算．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/olx8.html