质点运动学

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一、质点运动学

运动量

1-1质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t，y=2t2+3。求：（1）从t=1s到t=2s这段时间内，

质点位移的大小和方向；（2）从t=1s到t=2s这段时间内，质点的平均速度；（3）t=2s时质点的位矢、速度和加速度；（4）t=2s时质点的速率；（4）写出轨道方程。

1-2一质点在xOy平面内运动，初始时刻位于x =1m，y=2m处，它的速度为vｘ=10t，t２

。试求2秒时质点的位置矢量和加速度矢量。

2

vｙ=

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1-3一质点具有恒定加速度a?6i?4j，在t=0时，其速度为零，位置矢量r0?10i，求

（1）任意时刻质点的速度和位置矢量；（2）质点的轨道方程。

1-4路灯距地面高度为H，行人身高为h，若人以匀速V背向路灯行走，人头顶影子的移

动速度v为多少？ H V h

图1-4

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直线运动

1-5一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为a=3+6x2，若质点在原点处的速

度为零，试求其在任意位置处的速度。

1-6一小球在由静止下落，由于阻力作用，其加速度a与速度v的关系为a=A-Bv，其中A

和B为常数，求t时刻小球的速度。

1-7一质点沿x轴运动，已知速度v=8+2t，当t=8s时，质点在原点左边52m处。求：（1）

质点的加速度和运动方程；（2）初速度和初位置。

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曲线运动

４

1-8质量m=0.1kg的小球沿半径R=1m的圆周运动，角位移?=t-3，求t=1s时小球所受外

力的大小和方向。

1-9一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系为s?bt?12ct，其2中b、c为正常数，且Rc>b2，求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的时间。

1-10一张CD光盘音轨区域的内半径R1=2.2cm，外半径R2=5.6cm，径向音轨密度n=650

条/mm。在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v=1.3m/s的恒定线速度运动的。求（1）这张光盘的全部放音时间是多少？（2）激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的角速度和角加速度各为多少？

相对运动

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1-11一列火车以36km/h的速率向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴在车窗上形

成的雨迹与竖直方向成300角。求（1）雨滴相对于地面的水平分速度多大？相对于列车的水平分速度多大？（2）雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？

1-12飞机A以va=1000km/h的速率相对于地面向南飞行，同时另一架飞机B以vb=800km/h

的速率相对于地面向东偏南300方向飞行。求A机相对于B机速度的大小和方向。

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二、牛顿运动定律

牛顿运动定律

2-1 质量分别为mA=100kg，mB=60kg的A、B两物体，用绳连接组成一系统，装置如图

2-1。三角劈固定在水平地面上，两斜面的倾角分别为? =300，? =600。如物体与斜面间无摩擦，滑轮和绳的质量忽略不计，问（1）系统将向哪边运动？（2）系统的加速度多大？（3）绳中的张力多大？ A B

? ? 图2-1

2-2如图2-2所示，已知m1>m2，不计滑轮和绳子质量，不计摩擦。求（1）图2-2（a）和

（b）中绳子的张力和物体的加速度；（2）图2-2（c）为一电梯加速上升的情形，求绳子的张力和物体相对于电梯的加速度。 ?a ??m m2 m 1F?mg22mm

(b) (a)

(c)

图2-2

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2-3在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环，一个质量为m的小球A以初速度v0靠圆

环内壁作圆周运动，如图2-3所示，小球与环壁的动摩擦系数为? ，求小球任一时刻的速率。 A

图2-3

2-4一物体自地球表面以速率v0 竖直上抛。假定空气对物体阻力的数值为Fr=kmv2，其中

m为物体的质量，k为常数。求（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的大小。

2-5 一线密度为 ? 的均匀柔软链子，上端悬挂，下端刚好触及平台，静止不动。突然放开

后，链子自由下落，求链子落下S距离时（即有长为S的链子落在平台上，如图2-5所示），平台对链子的瞬时向上作用力。 O S

x

图2-5

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惯性力

2-6试以加速运动的电梯为参考系，利用惯性力的概念解题2-2（2）。

?2-7如图2-7所示，三角形劈以加速度a沿水平面向右运动时，光滑斜面上的质量为m的

物体恰能静止在上面，求物体对斜面的压力。

?m a

?

图2-7

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质心 质心运动定律

y 2-8求半径为R的半圆形匀质薄板的质心（如图2-8所示）。 R O x

图2-8

2-9一根长为L，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图2-9所示。开始时，

BC=b，试用质心的方法证明当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速率为

v?

2g22(?L?bL?b2)。 L9B b C 图2-9 10

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三、运动守恒定律

冲量和动量定理

3-1质量m=10kg的物体在力Fx=30+4t N的作用下沿x轴运动，试求（1）在开始2s内此

力的冲量I；（2）如冲量I=300N·s，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速v1=10m/s，在t=6.86s时，此物体的速度v2为多少？

3-2质量m=1kg的物体沿x轴运动，所受的力如图3-2所示。t=0时，质点在坐标原点，试

用牛顿定律和动量定理分别求解t=7s时此质点的速度，此时质点的坐标为什么？

F/N

10 O 5 7 t/s 图3-2

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动量守恒定律

3-3两球质量分别为m1=3.0g， m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy描述

?????运动，两者速度分别为v1?8icm/s，v2?(8i?16j)cm/s，若碰撞后两球合为一体，

?则碰撞后两球速度v的大小为多少？与x轴的夹角为多少？

3-4如图3-4所示，质量为M的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为m的小物

体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。

m

R

M

图3.4

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角动量（动量矩）及其守恒定律

3-5 已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行，其角动量大小为L，求它的动

能、势能和总能量。

3-6质量为m的质点在xOy平面内运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj，其中

???a、b、?为常量，求（1）质点动量的大小；（2）质点相对于原点的角动量。

3-7质量均为m的两个小球a和b固定在长为l的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平面上

绕其中点O的轴自由转动，杆原来静止。现有一个质量也为m的小球c，垂直于杆以

?水平速度vo与b球碰撞（如图3-7所示），并粘在一起。求（1）碰撞前c球相对于O

的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动的角速度。

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c a m O l 图3.7 b m

?v0m

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功和动能定理

3-8一人从10m深的井中提水，已知水桶与水共重10kg，求（1）匀速上提时，人所作的

功；（2）以a=0.1m/s2匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以0.2kg/m的速率漏水，则人所作的功为多少？

3-9质量m=6kg的物体，在力Fx=3+4x N的作用下，自静止开始沿x轴运动了3m，若不计

摩擦，求（1）力Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速度。

3-10质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为Fx=bt，b为常量，求在T s内

此力所作的功。

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保守力的功和势能

3-11质量为m的小球系在长为l的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从

?静止释放，如图3-11所示，当小球下摆?角时，（1）绳中张力T对小球做功吗？合

外力F?T?mg对小球所做的功为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆?角时的速率。 O ?T

? 图3-11 mg

3-12 质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、

大小为 B 的常力，另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x2，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。

功能原理和机械能守恒

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3-13 如图3-13所示，一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为 ? ，

?高度为 h，物块与斜面的动摩擦因数为? ，今有一质量为 m 的子弹以速度v0沿水

平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。

?h v0 ? A 图3.13

3-14 一劲度系数为 k 的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物体A，

放在光滑水平面上，当把弹簧压缩 x。后，再靠着 A 放一质量为 mB 的物体B ，如图3-14所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止状态，若撤去外力，试求 A 与 B 离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。

A B O

x0 x 图3-14

R ?

3-15 如图3-15所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块

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图3.15

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从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。

碰撞

3-16一质量为m0以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2 m0的静止粒子。结果，质量为

m0的粒子偏转了450，并具有末速v0/2。求质量为2 m0的粒子偏转后的速率和方向。

3-17如图3-17所示，一质量为m的小球A与一质量为M的斜面体B发生完全弹性碰撞。

（1）若斜面体放置在光滑的水平面上，小球碰撞后竖直弹起，则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少？（2）若斜面体固定在水平面上，则碰撞后小球运动的速度大小为多少？运动方向与水平方向的夹角为多少？ ?A v

v

B ? 3-17

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四、刚体定轴转动

转动惯量

4-1 有一直棒长为L，其中一半的质量为m1，另一半的质量为m2，如图4-1所示，求此棒

对过端点O，并垂直于纸面的轴的转动惯量。

L/2 L/2

O m2 m1

图4-1

4-2求半径为R，质量为m的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体相切的线为

轴，其转动惯量又为多少？

4-3两个质量为m、半径为R的匀质圆薄板和一根长为l的细杆相连，如图4-3所示，求以

下两种情况时，此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴AA’的转动惯量。（1）忽略细杆质量；（2）细杆质量为M。

A l R R

A’

图4-3

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力矩和转动定律

4-4如图4-4所示，一长为l，质量为m匀质细杆竖直放置，因受到扰动而倒下（设下端不

滑动）。试求当细杆转到与竖直线成 ? 角时的角加速度和角速度。

l ?

图4-4

4-5如图4-5所示，有一质量为m，长为l的均匀细杆，可绕水平轴O无摩擦地转动，杆

的一端固定一质量为3 m的小球A，OA＝l/4。开始时杆在水平位置，试求细杆由静止释放后绕O轴转动的角加速度。（不计小球大小） A l

l/4 O

图4-5

4-6一均匀圆盘，质量为m，半径为R，可绕通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，

如图4-6所示。圆盘与桌面间的动摩擦因数为? ，若用外力推动使其角速度达到 ?0 时，撤去外力，求（1）转动过程中，圆盘受到的摩擦力矩；（2）撤去外力后，圆盘还能转动多少时间？

图4-6

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角动量和角动量守恒定律

4-7水平桌面上放有一根长l=1.0m，质量m=3.0kg的匀质细杆，可绕通过端点O的垂直轴

OO’转动，开始时杆静止。现有100N的力，以与杆成? =30o的角打击杆的中点，打击时间 ?t=0.02s，如图4-7所示。求（1）杆的角动量的变化；（2）杆转动时的角速度。

O'

lmO ??F

图4-7

4-8上题中，用一颗子弹射击细杆代替打击力，如图4-8所示。已知杆与桌面的动摩擦因

数 ?=0.20，子弹的质量m’=20g，射入速度v=400m/s，并以v/2的速度射出。求：(1) 子弹射入前瞬间，子弹相对于端点O的角动量；（2）细杆开始转动的角速度；（3）细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少？（4）细杆转过多大角度后停下来。

O' lmO ??m'v

图4-8

4-9在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通

过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半径为R2（R2＜R1）的圆周，以相对于圆盘的速度为v匀速走动时，则圆盘将以多大的角速度旋转？

功和能

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4-10如图4-10所示。滑轮的转动惯量J＝0. 5kg · m2，半径r＝30 cm，弹簧的劲度系数k

＝2.0 N／m，重物的质量m=2.0 kg，开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动，物体沿斜面滑下1.0m时，求：（1）物体的速率多大？（2）物体滑下1.0m过程中，作用在滑轮上的力矩所作的功。（不计斜面和转轴的摩擦）

J r

m

k

300

图4-10

4-11长l＝0. 40 m的均匀木棒，质量M＝1. 0kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始

时棒自然地竖直悬垂。现有质量m＝8g的子弹，以v＝200m／s的速率从A点射入棒

中，假定A点与O点的距离为（2）棒的最大偏转角。

O 3l，如图4-11所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；43l 4A l 图4-11 21

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