第四章 空间任意力系

第四章 空间任意力系 习题解

第四章 空间任意力系

[习题4-1] 柱子上作有着F1、F2、F3三个铅直力，已知F1?80kN，F2?60kN，

F3?50kN，三力位置如图4-14所示。图中长度单位为mm，求将该力系向O点简

化的结果。

F 1 ? 80kNz F3?50kN A(0,?250,Z?170,150,0)A)C(F2?60kN Oy B(170,150,0) x 图?4?14解:

主矢量: FR?FRz??80??60?50??190(kN) （↓）

竖Mx(F1)?80?0.25?20 My(F1)?0 Mz(F1)?0 向力Mx(F2)??60?0.15??9 My(F2)?60?0.17?10.2 Mz(F2)?0 产生Mx(F3)??50?0.15??7.5 My(F3)??50?0.17??8.5 Mz(F3)?0 的? 3.5 （kN?m） 1.7（kN?m） 0 主矩: M2O?(?Mx)?(?M2y)?(?Mz)2?3.52?1.72?02?3.891(kN?m)

方向余弦:

82

矩 第四章 空间任意力系 习题解

cos???MxM?3.503.891?0.8995 cos???My7M?1.03.891?0.4369 cos???Mz0M?03.891?0 [习题4-2] 求图4-15所示平行力系合成的结果(小方格边长为100mm)。

FO?7kN o(0,0)y

FB?9kNFD?7kN FA?3kN B(400,200)D(300,700) FC?12kN A(500,0)

xC(600,600)解:

图4?15主矢量: FR?FO?FA?FB?FC?FD??7?3?9?12?7?0

作用点 力对x轴之矩 力对y轴之矩 O Mx(FO)?0 My(FO)?0 A Mx(FA)?0 My(FA)?3?0.5?1.5 B Mx(FB)??9?0.2??1.8 My(FB)?9?0.4?3.6 C Mx(FC)?12?0.6?7.2 My(FC)??12?0.6??7.2 D Mx(FD)?7?0.7?4.9 My(7kN)??7?0.3??2.1 ? 10．3（kN?m） -4.2（kN?m） 主矩:

MO?(?Mx)2?(?My)2?10.32?(?4.2)2?11.1(kN?m)

方向余弦:

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M?cos??M0x?10.3?0.9279 11.1cos???MM0y??4.2??0.3784 11.1[习题4-3] 平板OABCD上作用空间平行力系如图4-16所示，问x、y应等于多少才能使该力系合力作用线过板中心C。 解: 主矢量：

A(6,0)xFB?9kNFO?7kNFD?8kNyO(0,0)FC?4kNxD(0,8)FB?5kNFA?6kNyC(3,4)B(6,8)图4?16FR?FO?FA?FB?FC?FD??7?6?5?4?8??30(kN)

由合力矩定理可列出如下方程：

?Fxii?15i?FRxC

4x?5?6?6?6?30?3

x?6(m)

?Fyii?15i?FRyC

?4y?5?8?8?8??30?4 4y?40?64?120 y?4(m)

[习题4-4] 一力系由四个力组成，如图4-17所示。已知F1＝60Ｎ，F2＝400Ｎ，F3＝500Ｎ，F4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。

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解：

主矢量计算表 F1 Fix Fiy Fiz 0 0 500?300?300 5000 400cos300?346.41 60 400sin300?200 ?500?400??400 500F2 F3 0 200 546.41 F4 0 300 0 -140 ? FR?3002?546.412?(?140)2?638.877(N) 方向余弦: cos???FFRx?300?0.4696

638.877546.41?0.8553

638.877?140??0.2191

638.877F?cos??FRcos??

y??FFRz?主矩计算表 85

第四章 空间任意力系 习题解

F1 Mx(F1)??60?0.2??12 My(F1)?0 Mz(F1)?0 F2 Mx(F2)?400sin300?0.2 My(F2)?0 ?400cos300?0.4??98.564 Mz(F2)?0 F3 Mx(F3)?0 Mx(F4)?0 My(F3)?500?0.3?M(F4)?0 400Mz(F3)?0 ?120 500Mz(F4)?0 F4 ? -110.564 120 0 主矩大小:MO?(?110.564)2?1202?02?162.831(N?m) 方向余弦: M?cos??M0x??110.564??0.6790

162.831120?0.7370

162.8310?0

162.831cos???MM0y?M?cos??M0z?[习题4-5] 一力系由三力组成，各力大小、作用线位置和方向见图4-18。已知将该力系向Ａ简化所得的主矩最小，试求主矩之值及简化中心A的坐标(图中力的单位为Ｎ，长度单位为mm)。 解：

力系向A点简化的结果：

Mx'(F1)?0

z'zF1?40N200mmF3?50NMy'(F1)?40?0.2?8(N?mm)

Mz'(F1)?40y(N?m) Mx'(F2)?0

Oxy200mmyAy'My'(F2)?0

Mz'(F2)??30(0.2?x)(N?m)

xx'200mmF2?30N图4?18 86

第四章 空间任意力系 习题解

ROx?F1cos600cos??2?0.5?4?0.8(kN) 5?Fiz?0

ROz?F1sin600?F2?q?6?0

ROz?F1sin600?F2?q?6?2?0.866?4?0.4?6?8.132(kN)

?Mx(Fi)?0

Mx?0.4?6?4?2?0.866?4?0

Mx?0.4?6?4?2?0.866?4?2.672(kN?m)

?My(Fi)?0

My?2?0.866?3?0

My??2?0.866?3??5.196(kN?m)

?Mz(Fi)?0

Mz?0

[习题4－10] 板ABCD的A角用球铰支承， B角用铰链与墙相连（ｘ向无约束力），CD中点E系一绳，使板在水平位置成平衡，GE平行于ｚ轴。已知板重F1＝8ｋＮ，F2＝2ｋＮ，试求A、B两处的约束力及绳子的张力。图中长度单位为m。 解：?Mx(Fi)?0

TE?4?F1?2?F2?1?0

TE?(8?2?2?1)/4?4.5(kN)

RBz?My(Fi)?0

RAzRAyTERBzRBz?2?4.5?1?8?1?2?2.5?0 RBz?(?4.5?8?5)/2?4.25(kN)

?Mz(Fi)?0

RAxRBy?2?0 RBy?0

?F

ix?0

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第四章 空间任意力系 习题解

RAx?0

?Fiy?0

RAy?RBy?0 RAy??RBy?0

?Fiz?0

RAz?RBz?TE?F1?F2?0

RAz??RBz?TE?F1?F2??4.25?4.5?8?2?1.25(kN)

[习题4－11] 均质杆AB，重W，长l，A端靠在光滑墙面上并用一绳AC系住，AC平行于ｘ轴， B端用球铰连于水平面上。求杆A、B两端所受的力。图中长度单位为m。 解：

?Fiz?0

RAyRBz?W?0 RBz?W

TAD

W

?Mx(Fi)?0

lRBz?lcos600sin600?Wcos600sin600?RAylsin600?0

2RAy?0.5RBz?0.25W?0.5W?0.25W?0.25W

RBy?Fiy?0

RBxRBzRBy?RAy?0 RBy??RAy??0.25W

?MAD(Fi)?0

RBylcos600cos600?RBxlcos600sin600?0

13RBy?RBx?0 22RBx?33RBy??(?0.25W)??0.144W 33 93

第四章 空间任意力系 习题解

?Fix?0

TA?RBx?0 TA??RBx?0.144W

[习题4－12] 扒杆如图所示，竖柱AB用两绳拉住，并A在点用球铰约束。试求两绳中的拉力和A处的约束力。竖柱AB及梁CD重量不计。 K

RAz RAy RAx 解：

?MBK(Fi)?0

?RAx?6?0 RAx?0

?MGH(Fi)?0

R0Az6cot60cos450?20?(5?6cot600cos450)?0

2.449RAz?20?7.449?0 RAz?60.833(kN)

?Fix?0

TBHcos600sin450?TBGcos600sin450?0

TBH?TBG

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第四章 空间任意力系 习题解

?Fiz?0

RAz?TBGsin600?TBHsin600?20?0

60.833?1.732TBH?20?0 TBH?23.576(kN) TBG?23.576(kN)

?Fiy?0

RAy?2TBHcos600cos450?0

RAy?23.576?0.7071?16.671(kN)

[习题4－13] 正方形板ABCD由六根连杆支承如图。在A点沿AD边作用水平力F。求各杆的内力。板自重不计。

解：

N6xzBFAN5450aCDaN3?N4N1N2ay?FN4?iy?0

N4cos?sin450?F?0

2a3a?12?F?0

N4??3F??1.732F （拉力）

?MF?z(Fi)?0

F?a?N2cos450?a?0

12N2?0

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第四章 空间任意力系 习题解

N2?1.41F （压力）

?Fix?0

23?cos450?N2cos450?0

N5cos450?N4?N5?N4?N5??N4?23?N2?0 23?N2??3F?23?2F??22F??2.82F （拉力）

?MCD(Fi)?0

zBFAN5450?N6a?N5cos450?a?0

aC2N6?N5?0

N6??N5/2?22F/2?2F（压力）

DaN3?My(Fi)?0

?N1a?N6a?0 N1?N6?0

?N4N1N2ayN6xN1??N6??2F （拉力）

?MAD(Fi)?0

N3a?0 N3?0

[习题4－14] 曲杆ABC用球铰A及连杆CI、DE、GH支承如图，在其上作用两个力F1、

F2。F1力与ｘ轴平行，F2铅直向下。已知F1＝300Ｎ，F2＝600Ｎ。求所有的约束

力。

96

第四章 空间任意力系 习题解

NCNDNG9.7RAz??6.71RAyRAx

解：

?Mz(Fi)?0

?NDcos??3?0 ND?0

?My(Fi)?0

F1?7?NGsin450?3?NDsin??6?0

300?7?2.1213NG?0?0 2100?2.1213NG?0 NG??990(N) (拉力)

?Mx(Fi)?0

F2?3?NC?5?N0Gsin45?4?0

600?3?5NC?2.828NG?0 360?NC?0.566NG?0

NC?360?0.566NG?360?0.566?(?990)??200(N) （拉力）?Fix?0

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第四章 空间任意力系 习题解

RAx?F1?NGcos450cos??0

RAx??F1?NGcos450cos???300?(?990)?0.7071?3?120(N) 5?Fiy?0

RAy?NGcos450sin??0

RAy?NGcos450sin???990?0.7071?4??560(N) 5?Fiz?0

RAz?NGsin450?F2?NC?0

RAz??NGsin450?F2?NC??(?990)?0.7071?600?(?200)?1500(N)

[习题4-15] 一悬臂圈梁如图4-28所示，其轴线为r?4m的直匀布荷载q?2kN/m。求该均布荷的合力及其作用线位置，并求固定端的支座反力及反力偶矩。 解：合力的大小：

1圆弧。梁上作用着垂4载A

FR?q?2?r?0.5?rq 4?0.5?3.14?4?2?12.56(kN)

如图所示，根据对称性，FR的作 用点在OD线上。

?zO450xC?d?ByFR?xC??2(qrd??rcos?)

0?FR?xC?qr2?2cos??d?

0?RAZMAxxAFR?Cy'MAyDFR?xC?qr[sin?]

202qr22?42xC???2.548(m)

FR12.56 98

第四章 空间任意力系 习题解

OC?2xC?1.4142?2.548?3.6(m) A支座为固定端支座。一般有六个约束 反力分量。从AB的受力情况可知：

RAx?RAy?MAz?0

zO450xC?d?ByRAZMAxxAFR?Cy'MAyD?Mx(Fi)?0

MAx?FRxC?0

MAx?FRxC?12.56?2.548?32(kN?m)。方向如图所示。

?My(Fi)?0

MAy?FR(r?xC)?0

MAy?FR(r?xC)?12.56?(4?2.548)?18.237(kN?m)。方向如图所示。

?Fiz?0

RAz?FR?0

RAz?FR?12.56?12.6(kN)。方向与正z方向一致。

[习题4－16] 求下列面积的形心。（ａ）、（ｂ）两图长度单位为ｍｍ；（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）、（ｆ）各图长度单位为ｍ。

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第四章 空间任意力系 习题解

[习题4－16(a)]

20解: xC??Axii?133ci?Ai?1，yC??Ayii?133y20ci。

200I200IIIO150i?Ai?1iIIC1CC220C3x

习题2-19(a)

矩形 I II III sum [习题4－16(b)]

解：给正方形编码为1，四分之一圆为2。则 C1(50,50)，A1?1002?10000mm2 xC22rsin?2?100sin4500?cos45?cos450?42.463

3.143?3?42rsin?2?100sin4500?cos45?cos450?42.463

3.143?3?4100Lh 20 200 20 Lv 200 20 150 Ai 4000 4000 3000 11000 Xci -110 0 110 Yci 0 0 0 AiXci -440000 0 330000 -110000 AiYci 0 0 0 0 Xc -10 Yc 0 y100100OxyC2C2(42.463,42.463)

1A2???3.14?1002??7850mm2

40m2 C2(42.46,42.46) A2??785m 100

第四章 空间任意力系 习题解

xC??Axii?122ci??Ai?1i10000?50?7850?42.463?77.519?77.6(mm)，

10000?7850iyC??Ayi?122ci??Ai?110000?50?7850?42.463?77.519?77.6(mm)

10000?7850i[习题4－16(c)]

解：建立如图所示的坐标系。把图形分为 如图所示的三块。

C1(0.75,0.25)，A1?1.5?0.5?0.75m C2(0.6,1.25)，A2?1.5?0.8?1.2m2

2y1.5IIIII1C3(1.1,1)，A3??0.3?1.5?0.225m2

20.5O0.2I0.80.30.2xxC??Axii?133ci??Ai?1i0.75?0.75?1.2?0.6?0.225?1.1?0.703(m)

0.75?1.2?0.225iyC??Ayi?133ci??Ai?10.75?0.25?1.2?1.25?0.225?1?0.879(m)

0.75?1.2?0.225i

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第四章 空间任意力系 习题解

[习题4-19(b)]

解：从左至右，划分为两个六平体，一个四面体。从左至右，依次编号为1、2、3。

习题4-19(b) 立体 1 2 3 累计 xC?i yC?i zC?i 0.75 0.25 0.25 0.5 2 3.5 0.75 0.75 0.5 Vi 2.25 1.5 1.125 4.875 VixC?i 1.6875 0.375 0.28125 2.34375 ViyC?i 1.125 3 3.9375 8.0625 VizC?i 1.6875 1.125 0.5625 3.375 xC??Vxii?133ci??Vi?1i2.34375?0.481(m)，

4.875iyC??Vyi?133ci??Vi?1i8.0625?1.654(m)， 4.875izC??Vzi?133ci??Vi?13.375?0.692(m)。 4.875i书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

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