浦东新区2009学年度第一学期期末质量抽测高二数学
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浦东新区2009学年度第一学期期末质量抽测
高二数学试卷
(完卷时间90分钟 满分100分)
姓名 班级 学号 成绩
一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.
1. 已知a?(1,2)、b?(3,x),若向量a//b,则实数x的值为 . an2?n?1?1,则实数a的值为 . 2. 若limn??n2?23. 若A(?2,4)、B(2,1),则向量AB的单位向量a0? . 4. 若G为三角形ABC的重心,其中A(2,1)、B(?3,4)、G(?5. 若|a|?3、|b|?4,且a?b,则|a?b|= .
24,),则顶点C的坐标为 . 33??10?5x?ay?10?5a10??6. 若二元一次方程组?(a?R)的增广矩阵A??可以变换为????01?2x?5y?8?258???则实数a的值为 .
开 始 7、若平面向量a、b满足条件:|a|?3、a?b??12,则向量b在向 量a的方向上的投影为 .
8. 数列{an}中,a1?3,a2?7,若当n?2时,an?1等于an与an?1的
乘积的个位数,则a2010? .
9. 根据所给的框图,若将输出的A相加,所得的和为 . 10.已知f(n)?输出A 34??21? 20??21?A?1 N?1 1111**?????(n?N),若k?N, n?1n?2n?32n则f(k?1)?f(k)? (结果用含有k的代数式表示).
*11.在等差数列{an}中,“若m?n?p?q(m、n、p、q?N),
N?N?1 A?A?(1/2) N?10 否 结 束 第9题图
是 则am?an?ap?aq成立”.类比上述性质,在等比数列{bn}中可以写出一个 真命题: .
*12.O为坐标原点,向量OPn?(xn,yn)(n?N)满足条件:
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?xn?1??10??xn??,则OP20的坐标为 . 1?(1,0)?11????y?????y??,若OP??n??n?1??二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有
一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得3分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论代号是否都写在圆括号内),一律得零分.
?的取值范围是??( ) 13. 如图,P1、P2、P是直线l上的不同的三点,且有P1P??PP2,则实数
(A)???1 (B)?1???0 (C)0???1 (D)??1
P1 P2 P
第13题图
l
14. 数列{an}的前n项和Sn?qn?p(p、q?R),则“p??1”是数列{an}为等比数列的 条件?????????????????????????????????????????( )
(A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)非充分非必要
15. 用数学归纳法证明等式1?a?a???a2n?11?an?2*?(n?N,a?R且a?1),在验证n?1成立
1?a时,等式的左边所得的项为?????????????????????????????( )
(A)1 (B)1?a (C)1?a?a2 (D)1?a?a2?a3
16. 下列说法中,正确的是????????????????????????????????( )
(A)0.9?1 (B)若无穷等比数列{an}(n?N*)各项的和为2,则0?a1?4
,则liman?1 (C)若limkn存在,则实数k的取值范围是(?1,1] (D)若an?1(1?n?1010且n?N*)
n??n???三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分10分)
?2x?3y?5z?3?判断三元一次方程组?x?2y?z?0是否有唯一解,若有,求出这个解;若无,说明理由.
?3x?y?3z?7?【解】
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18.(本题满分10分)
如图,三角形ABC是直角三角形,C?90,边AC、BC的中点分别是E、D ,若CA?a,CB?b,且|a|?|b|?2.
(1)分别用向量a、b表示AD和BE;
(2)计算AD、BE所成钝角的大小(结果用反三角函数表示). D 【解】
A E C
19.(本题满分10分)
假定某市2004年新建住房400万平方米,其中250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市 每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价住房的面积均比上一年增加50 万平方米.那么到哪一年底,
(1) 该市历年所建中低价住房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
【解】
20.(本题满分10分)
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?B ?112?已知矩阵A???1?10??
??(1)若矩阵B????231??且3A?X?B,求矩阵X. ??3?41??342???y??1212(2)若矩阵C??54x?、D????20x?y??(x、y?R)且AC?D时,求实数x、y的值.
???221???【解】(1)
(2)
21.(本题满分12分)
数列{an}中,a1?1,an?1?an2n**(n?N),数列{bn}的前n项和Sn?12[1?()](n?N)
32an?1(1)证明:数列{1}成等差数列; an(2)求数列{an}、{bn}的通项公式; (3)设cn?bn**,请你构造一个数列{dm}(m?N),使得对于任意的n?N,数列{dm}的前m项的和an 第 4 页 共 8 页
Tm?cn恒成立.
【解】(1)
(2)
(3)
浦东新区2009学年度第一学期期末质量抽测
高二数学试卷评分参考意见
一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.
1、6 2、1 3、(,?) 4、(?1,?1) 5、 5 6、2 7、?4 8、 9 9、
453510231 10、 512(2k?1)(2k?2)11、若m、n、p、q?N*,且m?n?p?q,则am?an?ap?aq 12、(1,19)
二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只
有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得3分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论代号是否都写在圆括号内),一律得零分. 13、A 14、B 15、C 16、C
三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、(本题满分10分)
2【解】 D?13?51??49?0,所以方程组有唯一一解.????????????????2分
3 第 5 页 共 8 页
?231
33?51??70?????????????????????????????2分 3Dx?0?27123?5Dy?103723x?1??49?????????????????????????????2分 33731Dz?1?20??28?????????????????????????????2分
Dy?49Dx?7010D?284?????????????1分 ??1 ,z?x?,y?D?497D?497D?49所以方程组的解为(104,1,)????????????????????????1分 77B (注:本题解答方法不限,如果运用其他方法,只要结论正确均给分.) 18、(本题满分10分) 【解】(1) AD?CD?CA?1b?a;????2分 21BE?CE?CB?a?b????2分
2?D (2) C?90?a?b?0
C E A
|AD|?5,|BE|?5????2分
11(b?a)?(a?b)AD?BE2AD、BE所成的钝角为?,则cos???2????2分 |AD||BE||AD||BE|44?0,即????arccos. 554所以AD、BE所成钝角的大小??arccos????2分
5??(如学生运用建立平面直角坐标系等方法解答,视情况酌情给分) 19、(本题满分10分)
【解】(1)设中低价住房的面积形成数列{an},由题意可知数列{an}是等差数列.
其中a1=250,d?50????2分 则Sn?250n?21n(n?1)?50?25n2?225n????2分 2*令25n?225n?4750(n?N) 解得,n?10????1分
第 6 页 共 8 页
以2004年为累计的第一年,到2013年,该市历年所建中低价住房的累计面积,将首次不少于4750万平方米. (2)新建住房面积形成等比数列{bn},由题意可知数列{bn}是等比数列.
其中b1?400,q?1.08,则bn?400?1.08n?1(n?N)????2分 若an?0.85bn,即250?(n?1)?50?400?1.08n?1?0.85????2分
*n?4?6.8?1.08n?1
借助计算器,满足上述条件的不等式的最小正整数n?6????1分
所以到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 20、(本题满分10分) 【解】(1)矩阵X?3A?B????????2分
?336??231??105????3?30?????3?41?????01?1?? ??????所以矩阵X???0??105??????????2分 ?1?1??342???12124?x?112???(2)AC???1?10???54x?=???202?x??????????2分
???221?????由??y??12124?x??1212?y?x?4??? 得 ????????2分 ???????202?x???20x?y??2x?y?2?x?6解得???????????2分
y?10?21(本题满分12分) 【解】(1)由an?1?an111得,??2,且?1
an?1ana12an?11}是以1为首项,公差为2的等差数列.????3莞尔分 an11*?1?2(n?1)?2n?1,所以an?(n?N).????2分
2n?1an所以数列{(2)由(1)可得,
当n?1时,b1?S1?4;????1分
n?1当n?2时,bn?Sn?Sn?1?4?()
23所以bn?4?()23n?1(n?N)????2分
* 第 7 页 共 8 页
(3)cn?(8n?4)()23n?1(n?N)????1分
*要使Tm?cn恒成立,只需Tm?(cn)max即可,下求{cn}的最大值: 注意到cn?1?cn?(8n?4)()?(8n?4)()当n?1、2时,cn?cn?1;
23n23n?1?42n?1()(5?2n) 3380 980即c1?c2?c3?c4?c5?c6???,所以cn的最大值为c3?????1分
9802*不妨构造Tm?(m?3)?,知对于任意n?N,均有Tm?cn成立.
9116下求{dm}的通项公式,d1?;m?2时,dm?2m?7.
9当n?3、4、5、6、??时,cn?cn?1;且c2?8,c3??116(m?1)?所以当dm??9时,
?2m?7(m?2,m?N8)?{dm}的前m项的和Tm?cn对于任意的n?N*恒成立.???2分
(第(3)问只要构造合理,如常数列等,就给分数).
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