多元微分方程题库

多元函数微分学习题五

?2z1、设函数z?z(x,y)由方程yz?ln(xyz)?2(yz?1)所确定，求 。 2?y?z??2zx2、设函数z?z(x,y)由方程?ln??所确定，求。

?x?yzy???2z3、设函数z?z(x,y)由方程e?z?xsiny?2所确定，求。

?x?yz?2z4、设函数z?z(x,y)由方程1?x?2y?z?e所确定，求。

?x?yz?2z5、设函数z?z(x,y)由方程e?xz?y?1所确定，求。

?x?yz2?2z6、设函数z?z(x,y)由方程x?y?z?z?x?y?9所确定，求。

?x?y222?2z7、设函数z?z(x,y)由方程e?z?xy?1所确定，求。

?x?yz?2u8、设函数u?u(x,y)由方程u?e?xy所确定，求。

?x?yu232229、设u?xyz,其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?3xyz?0所确定的可微函数，

,)?1,求且z(11?u?yx?1y?1。

10、设函数y?y(x)由方程1?xy?ln(exy?e?xydyd2y和 。 )?0所确定，求 2dxdx11、设函数y?y(x)由方程x?y?ex?ydyd2y所确定，求 和 。

dxdx2d2y12、函数y?y(x)由方程x?2xy?y?1所确定，求 。 2dx2222 13、函数y?y(x)由方程x?xy?y?3所确定，求 y,y??。

?2z14、函数z?z(x,y)由方程z?y?xe?1?cosy所确定，求 。

?x2z?2z15、函数z?z(x,y)由方程z?3xyz?a所确定，求 。 2?x33?2z16、函数z?z(x,y)由方程sin(x?z)?xy?2z?2所确定，求 。 2?y3?2z17、函数z?z(x,y)由方程2x?y?z?xyz所确定，求

?x2335x?1y?2。

?2z18、函数z?z(x,y)由方程z?2x?9(x?1)z?10(1?y)?y所确定，求2?x?2z19、函数z?z(x,y)由方程e?yz?x?e?ln(1?x)所确定，求2?yz2x?1y?0。

x?0y?0。

?2z20、函数z?z(x,y)由方程sin(xz)?3x?z?1?lny所确定，求2?x?2z21、函数z?z(x,y)由方程x?2x?(z?y)?1所确定，求2?xz222x?0y?1。

x?1y?0。

2???z?所确定，求 z。 22、设函数z?z(x,y)由z?x?ytan??x2?y2??x2??23、函数y?y(x)由x?yyxd2y?x?y?所确定，求2。

dx?z?2x2?y2d2z24、函数y?y(x),z?z(x)由方程组?2所确定，求。 222dx?x?y?3z?1222225、设z?x?y，其中y?y(x)由方程x?xy?y?1所确定，求

dz及 dxd2z。 2dx?x?u?v?2u26、函数u?u(x,y)和v?v(x,y)由方程组?所确定，求 。 v2?y?y?uv?e?x?eu?v?2z?u?v27、函数z?z(x,y)由方程组?y?e( u ,v为参数)所确定，求2?x?z?uv?。

x?ey?e?2z28、设x?cos?cos?,y?cos?sin?,z?sin?，求 。

?x2?xu?yv?0?2u?2v29、方程组?确定隐函数u?u(x,y),v?v(x,y)，求。 ,yu?xv?1?x?y?x?y?30、函数z?z(x,y)由方程ez?y?f(xz)所确定，其中 f二阶可导，且

?2zxf??e?0，求 2。

?yz31、函数z?z(x,y)由方程x?f(y2,x?z)所确定，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，

?2zf2?0，求2。

?x32、函数z?z(x,y)由方程z?f(x?y?z)所确定，其中 f二阶可导，且

?2zf?1，求2。

?x 33、函数z?z(x,y)由方程F(x?y,x?z)?1所确定，其中 F有二阶连续偏导数，

?2z且F2?0，求 。 2?y34、设z?z(x,y)由方程z?x?y?(z)所确定，其中 ?二阶可导，且1?y??(z)?0，

?2z求2。 ?x35、设z?z(x,y)由方程y?x?(z)??(z)所确定，其中?,?二阶可导，且

?2zx????0，求2。

?y 36、设z?z(x,y)由方程F(yz,)?0所确定，其中F(u,v)有二阶连续偏导数，求 xx?2z。 2?y37、设u?f(x,y,z)有二阶连续偏导数，z?z(x,y)由方程x?y??(z)所确定，其

?2u中 ?(z)有二阶连续导数，且 ?(z)?0，求 。 2?x'38、设z?z(x,y)由方程f(y?x,yz)?0所确定，其中 f具有二阶连续偏导数，求

?2z。 ?x239、设F(x,y,x?z,y2?w)?0，其中 F具有二阶连续偏导数，F4?0，求

?w?2w。 ,?y?y240、设z?z(x,y)由方程

x?y?????所确定，其中 ?二阶可微，且x?y? ?0，求

?z?z?2z。 2?x41、设u?f(y?z),z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?2z所确定，其中f(v)二阶可

?2u导，且z?1，求2。

?x42、设u?yxf(z),其中f(z)二阶可导，z?z(x,y)由方程x?2y?lnz?1?0所确

?2u定，求2。

?x43、设z?z(x,y)由方程F(x?z,y?z)?0所确定，其中 F有二阶连续偏导数，且

?2z。 F1?F2，试计算

?x?y44、利用全微分计算(0.98)45、计算(101.)2.032.01的近似值。

的近似值(已知：ln10?2.3026)。

3.0146、利用全微分近似计算(09.)的近似值。

的近似值。(已知ln2?0.693)

47、利用全微分近似计算(197.)48、利用全微分计算(0.97)1.051.05的近似值 。

.)?103.49、利用全微分计算(301?2?1/3的近似值 。

.)2?(197.)3的近似值 。 50、利用全微分计算(10251、利用全微分计算4.98?101.的近似值 。

52、利用全微分计算(102.?37.99)的近似值 。

2253、利用全微分计算(4.05)?(3.07)的近似值。

354、利用全微分计算(4.01?898.)2的近似值。

.)3?(197.)3的近似值。 55、利用全微分计算(10256、利用全微分计算398.?3802.的近似值。

2.)2的近似值。 57、利用全微分计算?3(2.01)?(197.)2?(0.02)3的近似值。 58、利用全微分计算ln(10159、计算ln???3103.?30.98?1的近似值。

2?60、设u?x?y，求

2?u?x(1,1),)点沿??1,0?方向的方向导数。 及u在(11,)点沿???4,?3?方向的方向导数。 61、求函数u?x2?y2在(1162、设z?xy，求该函数在点（1,2）沿a??1,?4?方向的方向导数。 63、求z?x?y，在点????22?,?沿单位圆x2?y2?1外法线方向的方向导数。 ?22?64、求z?3x?2y在点?11,?沿单位圆x2?y2?2外法线方向的方向导数。 65、求函数z?x?ln(1?y)在点?11,?沿曲线2x2?y2?1切线（指向 x增大方向）向量的方向导数。

?ex?x66、求函数z?ln?在点沿曲线切线正向（指向 x增大方向）的01,y?e???2?1?y?方向导数。

267、求函数z?x?lnarctany在?11,?点沿a方向的方向导数，其中 a为曲线

??,?点的切向量，方向为 x增大的方向。 y?x2在?1168、求函数z?y?e在?1,e?点沿曲线 y?e切线正向（ x增大方向）的方向导

xx数。

?69、设z??cosx?，l为曲线y?1?sin2x在 x?0处的切向量（指向 x增大

y

方向），求

?z?l(0,1)。

70、求z?arctanxy在点?11,?沿曲线2x2?y2?3外法线方向的方向导数。

71、求函数z?x?2在?11,?点沿a方向的方向导数，其中a为曲线x2?y2?2x在

2y???1,1?点的内法线向量。

72、求函数z??????y?sinx在?1,?点沿a方向的方向导数，其中a为曲线

?2??处的切向量（指向t增大的方向）。 6x?2sint,y??cos2t在t?xy273、求函数z??0dt?在点（1，-1）处沿a???11,?方向的方向导数。 1?t4r?74、求函数u?arctanr,方向导数。

75、求函数u?sinr,导数。

76、求函数r??x2?y2?z2在点（1,1,1）处沿a??1,0,?1?方向的

r??x2?y2?z2在点（1,2,-2）处沿a??111,,?方向的方向

x2?y2?z2在点M0(x0,y0,z0)处沿 M0到坐标原点 O方向

M0O的方向导数。

77、求函数u?xyz在点（1,2,-1）处沿a??1,2,?2?方向的方向导数。

23?78、求函数u?y(x?z)在点（2,1,1）处沿该点向径方向的方向导数。 79、求函数u?z?y在点（1,2,1）处沿a??3,3,?2?方向的方向导数。

x?80、求函数u?zx2?y2x2?y2在点（－3,4,1）处沿a??3,2,1?方向的方向导数。

?81、求函数u?z?e2在点（0,1,－2）处沿a??0,1,?2?方向的方向导数。

2?82、求函数u?x?y?z?xy在点（1,1,2）处沿a??11,,2?方向的方向导数。

2?83、求函数u?exyz在点 P0(1，0，－1)处沿 P1的0P1方向的方向导数，其中 P坐标为 （2，1，－1）。

84、求函数u?x?y?2z在点 P0(1，1，1)处沿 P0O方向的方向导数，其中

222O为坐标原点。

85、求函数u?xyz2在点 P0(1，2，－1)处沿P方向的方向导数，其中 0P1P1(2,?1,3)。

???a?r086、求函数u??在点 P0(1，－2，2)处沿 r方向的方向导数，其中

r???r??x,y,z?， a为常向量 ，r0?OP0。

87、求函数u?xy?3yz?zx在点（1，2，0）处沿与直线的方向导数。

x?1y?2z??平行方向2?1388、求函数u?x2ln(y?3z)在点（1，2，2）处沿平面5x?y?z?1法线方向的方向导数。

89、求函数u?x2?xy?8x?z在点（0，1，1）处沿平面3x?5y?4z?1法线方向的方向导数。

90、求函数u?z?arctan??在点（1，1，2）处沿平面3x?2y?z?3法线方向的方向导数。

91、求函数z?ln(x?y)在点M0(x0,y0)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。

92、求函数z?ex2?y2?y??x?22在点M0(x0,y0)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。

x2y2x2y2???2切线方向（指向 x增大93、求函数z?在点（2，3）沿曲线4949方向）与外法线方向的方向导数。

94、求函数z?x?2y在点（2，1）沿曲线x?2y?6外法线方向的方向导数。 95、求函数u?xyz在点（1，1，1）处方向导数的最大值与最小值。 96、求函数u?xyz在点（1，－2，2）处方向导数的最大值与最小值。 97、求函数u?z?x?2y在点（1，－2，1）处沿与直线?量 a方向的方向导数。

98、求函数u?x?3y?2z在点（1，0，1）处沿与直线?2222232222??3x?z?4平行的向

?5x?y?z?2?x?y?1平行的向量

?y?z?1?a方向的方向导数。

99、求函数z?x2?y2在点p0(3,33)处沿曲线??4(1?cos?)在点p0处切线方向的的方向导数。

,)处沿曲线??2cos?在该点处切线方向的方向导数。 100、求函数z?x?y在点(11101、求由x3?y3?z3?3xyz?2?0确定的隐函数在点（1，1，－1）处沿 x轴反向的方向导数。

102、求由x3?y3?z3?3axyz?0确定的隐函数z?z(x,y)在点（0，－4）处沿

?a??7,?9?方向的方向导数。

z103、求由e?xyz?e确定的隐函数z?z(x,y)在点（0，1）处沿a??3,?5?方向的

?方向导数。

104、求由z3?3xyz?a3(a?0)确定的隐函数z?z(x,y)在点（0，0）处沿

?a???1,?2?方向的方向导数。

105、求函数z?106、求函数z??x0ey2?t2?dt在点（0，0）处沿a???1,2?方向的方向导数。

2?x2?y2的极大值或极小值。

107、求函数Z=x4?2x2y?y2的最大值或最小值。

222108、求由方程x?y?z?2x?4y?6z?13?0所确定函数 z?z(x,y)的极大

值和极小值。

109、求函数z?x?3y?2xy?2y?4的驻点。 110、求函数z?2x?4xy?y?2x的驻点。 111、求函数z?x?2xy?y?x?2的驻点。 112、求函数z?xy(1?x?y)的驻点。 113、求函数z?x?3x?y?2y的驻点。 114、求函数z?ln(1?x?y)?2x的驻点。 115、求函数z?e2x?y24342323222(x2?2y?3)的驻点。

116、求函数z?sin(x?y)?sinx的驻点。

117、求由方程4x2?3y2?2z2?2xy?11yz?36?0所确定的函数z?f(x,y)的驻点。

118、求由方程x2?2y2?4z2?xy?yz?zx?42所确定的函数z?f(x,y)的驻点。 119、求函数z?x2?y3?2xy?y?2的极值。 120、求函数z?2x2?3xy?2y2?4x?3y?1的极值。 121、求函数z?3x2?y2?2xy?10x?2y?7的极值。

122、求函数z?2x3?4y2?3x2?3xy?9x?2y?12的极大值点或极小值点。 123、求函数z?x2?3xy?3y2?2x?3y?4的极值。

124、求函数z?x3?3xy?3y2?6x?12y的极大值点或极小值点。 125、求函数z?x4?y3?2x2?3y的极值。

126、求函数z?4x2?3y2?2xy?12x?14y?4的极值。 127、求函数z?(x?y?2y?1)222214的极值。

128、求函数z?x?2xy?2y?2x?y?1的极值。 129、求函数z?3x?xy?y?3x?33227y?2的极值。 3130、求函数z?x?y?xy的极值。

131、求函数z?x?2y?xy?7y?6的极值。 132、求函数z?x?2xy?2y?3x的极值。 133、求函数z?x?4x?2xy?y的极值。

134、求函数z?x?y?x?y?2xy?x?y?3的极值。 135、求函数z?x?y?xy?x的极大值点或极小值点。 136、求函数z?x?2xy?3y?4x的极值。 137、求函数z?xy?x?11y?y的极值。

138、求函数z?2x?3y?3xy?4x?6y?2的极值。

222322323322322322222139、求函数z?x3?xy?y2?x?1的极值。

140、求函数z?x3?4xy?y2?3x?y?3的极大值点或极小值点。 141、求函数f(x,y)?x3?y3?3xy的极值。 142、求函数z?x2y?2xy2?y3?4xy的极值。 143、求函数z?8112??2x?y的极值。 2y2x144、求函数z?e2x(x?y2?3)的极值。 145、求函数z?x4?2x2?y3?y2的极值。 146、求函数z?x4?y4?2x2?2y2的极值。 147、求函数z?x4?4xy?2y2的极值。

148、求函数z?x4?2x2y?2y2?4y?3的极值。 149、求函数z?2x3?3xy2?y2?6x的极值。 150、求函数z?2x3?3xy2?2xy?2的极值。 151、求函数z?x(y?3y?2x)的极值。 152、求函数z?xesiny的极值。

153、求函数z?sinx?cos(x?2y)的极值点。 154、求函数z?sin(x?y)?cosy的极值。 155、求函数z?sinxcosy的极值。

156、求函数z?xy(2?x?y)在闭域D:0?x?2,0?y?2上的最小值和最大值。 157、求函数z?x?y?xy?2x?最大值。

2158、求函数z?x?2xy?2x在闭域D:0?x?2,?1?y?2上的最小值和最大值。

223x3y在闭域D:?1?x?1,0?y?1上的最小值和2159、求函数z?sinx?sin(x?y)在闭域D:0?x??,0?y??上的最小值和最大值。

160、求函数z?sinx?cosy?cos(x?y)在闭域D:0?x?和最大值。

??,0?y?上的最小值22161、求函数z?x3?y3?3xy在闭域D:0?x?2,0?y?2上的最小值和最大值。 162、求函数z?x?最大值。

163、求函数z?y(x2?y2?2x)在闭域D:?2?x?2,0?y?1上的最小值和最大值。 164、求函数z?x2?2xy?2y2?2y在闭域D:0?x?2,0?y?2上的最小值和最大值。

165、求函数z?x2?y2?xy?2x?4y?2在闭域D:?1?x?1,0?y?3上的最小值和最大值。

166、求函数z?y2?2xy?4x?2y在闭域D:?4?x?0,0?y?4上的最小值和最大值。

167、求函数z?x2?y2?xy?4x?5y?6在闭域D:0?x?2,?4?y??1上的最小值和最大值。

168、求函数z?x2?2xy?3y2?4x?8y在闭域D:?2?x?2,?2?y?2上的最小值和最大值。

2169、求函数z?x(x?2xy?4y)在闭域D:?3?x?1,?1?y?1上的最小值和最大

332y?3xy?6x?3在闭域D:0?x?2,0?y?2上的最小值和2值。

232170、求函数z?xy?y?2x在闭域D:?1?x?1,?1?y?2上的最小值和最大值。 3222171、求函数z?y?xy?x?4y?6x在闭域D:?2?x?2,0?y?3上的最小值

和最大值。

2172、求函数z?xy(2?x?2y)在闭域D:0?x?2,?1?y?1上的最小值和最大值。

173、求函数z?x?2x?小值。

174、求函数z?3x?值和最小值。

24?y?4在闭域D:0?x?2,?3?y??1上的最大值和最y112122?y?y??17在闭域D:1?x?4,?y?2上的最大

2x2y175、求函数z?sinx?siny?sin(x?y)在闭域D:0?x?和最小值。

176、求函数z?xy???,0?y?上的最大值225020在闭域D:1?x?10,1?y?10上的最大值和最小值。 ?xy177、求函数z?2x2?3y2在闭域D:x2?4y2?4上的最大值和最小值。

178、求函数z?x2?y2?2x?4y?10在闭域D:x2?y2?25上的最大值和最小值。 179、求函数z?2x2?3y2?4x?8在闭域D:x2?y2?4上的最大值和最小值。 180、求函数z?x4?x2y2?y4?2y2在闭域D:x2?y2?2y上的最大值和最小值。

y2?1上的最大值和最小值。 181、求函数z?x(y?1)在闭域D:x?4222182、求函数z?x3?3xy2?3y2?3x在闭域D:2x2?y2?1上的最大值和最小值。 183、求函数z?x2?2y2?2x?2在闭域D:x2?4y2?4上的最大值和最小值。

x2y2??1上的最大值和最小值。 184、求函数z?x?3y?2x在闭域D:942222185、求函数z?x?2y?2xy?2y?2在闭域D:x?0,y?0,x?y??2上的最大

值和最小值。

33186、求函数z?x?y?xy在闭域D:x?0,y?0,2x?y?1上的最大值和最小值。

187、求函数z?x?xy?x?值。

21y在闭域D:?1?x?1,?x?y?1上的最大值和最小222188、求函数z?x?2xy?y在闭域D:0?x?1,0?y?x上的最大值和最小值。

2189、求函数z?x?xy?3x?2y在闭域D:x?0,y?0,x?2y?6上的最大值和最小值。

xy190、求函数z?e(2x?y?1)在闭域D:0?y?1,y?1?x?1?y上的最大值和最

小值。

22191、求函数z?3x?4xy?y?x?y?1在闭域D:0?y?1,y?1?x?1?y上的

最大值和最小值。

192、求函数z?x?2y?1在闭域D:x?y?1上的最大值和最小值。

193、求函数z?x3?3xy2?y2在闭域D:?1?x?0,?1?y?1上的最大值和最小值。 194、求点(0,0,1)到曲面z?xy的距离。

195、利用拉格朗日乘数法，求原点到曲面x2?2y2?3z2?4的距离。 196、求函数u?exyz在条件x?y?z?1,x?0,y?0,z?0下的极大值或极小值。

197、利用拉格朗日乘数法，求函数u?x2?y2?z2在条件

x?2y?2z?18,x?0,y?0,z?0下的极大值或极小值。

198、利用拉格朗日乘数法，求函数u?xyz2x2?y2?z?4,z?x2?y2,x?0,y?0,z?0下的极大值或极小值。

199、利用拉格朗日乘数法，求函数u?x2yz2在条件

2x?y?z?10,x?0,y?0,z?0下的极大值或极小值。

200、求点(3,0)到抛物线y?x2的距离。 在条件

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