数学建模作业4

实验四 整数规划和对策论模型

1. 工程安排问题

三年内有五项工程可以施工，每项工程的期望收入和年度费用表如表4.1所示，假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。

解:设c(j)，j=1,2,3,4,5分别代表工程j的收入，即c{j}={20,40,20,25,30} b(i),i=1,2,3分别代表第i年的花费，即b{i}={25,25,25} x(j),j=1,2,3,4,5分别代表工程j的实施情况，x(j)只能取值为0或1的整数，x(j)=0代表第j个工程没有实施，x(j)=1代表工程实施

则目标函数max=x(1)c(1)+ x(2)c(2)+ x(3)c(3)+ x(4)c(4)+ x(5)c(5) 令A= 5, 4, 3, 7, 8, 1, 7, 9, 4, 6, 8, 10, 2, 1, 10;

其中a(i,j)为第i年工程j的花费，则有约束条件a(i,1)x(1)+ a(i,2)x() + a(i,3)x(3) +a(i,4)x(4)+ a(i,5)x(5)<=b(i) LINGO程序及运行结果如图：

则最高总收入为95万元，实施工程1,2,3,4

2. 固定费用问题

一服装厂生产三种服装，生产不同种类的服装要租用不同的设备，设备租金和其他经济参数如表4.2所示，假定市场需求不成问题，服装厂每月可用人工工时为2000小时，该厂如可安排生产可使每月利润最大？

解:设生产西装x1件，衬衫x2件，羽绒服x3件，

则目标函数为：max=120*x1+10*x2+100*x3-5000*x1/x1-2000*x2/x2-3000*x3/x3; 约束条件为：5*x1+x2+4*x3<=2000;

3*x1<=300; 0.5*x2<=300; 2*x3<=300; 程序和运行结果如图：

则最大利润为23000，生产西装100件，衬衫600件，羽绒服150件

3. 串并联可靠性问题

有一台电器由三个部件组成，这三个部件串联，，这三个部件串联，假如有一个部件发生故障，电器就不能工作，可以通过在每个部件里安装1到2个备份原件来提高该电器的可靠性（不发生故障的概率）。表4.3列出了可靠性和成本费用，假设制造该电器共有资金共10万，那么怎样构造元器件呢？

解：设Pia,Pib,Pic,i=1,2,3分别代表第I个部件有1,2,3个原件并联，它们的取值只能为0或1，当P1a=1时，P1b,P1c只能为0 即p1a+p1b+p1c<=1;

p2a+p2b+p2c<=1; p3a+p3b+p3c<=1;

目标函数，即可靠性

max=(0.6*p1a+0.8*p1b+0.9*p1c)*(0.7*p2a+0.8*p2b+0.9*p2c)*(0.5*p3a+0.7*p3b+0.9*p3c)

且有约束条件费用：

1*p1a+2*p1b+3*p1c+3*p2a+5*p2b+6*p2c+2*p3a+4*p3b+5*p3c<=10;

则程序即运行结果为：

则可靠性为0.504，第一个部件2个元件并联，第二个部件1个元件并联，第三个部件三个元件并联。

4. 二选一约束条件

某汽车公司正在考虑生产3种类型的汽车：微型，中型和大型，表4.4给出了每种汽车需要的资源及产生的利润。目前有6000吨钢材和6000小时的劳动力时间，要生产一种 在经济效益上可行的汽车，这种汽车必须至少生产1000辆，试为该公司制定一个使生产利润达到最大的方案。

解：设生产小型的x1辆，中型的x2辆，大型的x3辆 目标函数max=2000x1+3000x2+4000x3 钢材约束条件：1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000 时间约束条件：30*x1+25*x2+40*x3<=60000 数量约束条件：x1+x2+x3>=1000 程序和运行结果如图

则生产小型的571辆，中型的1714辆，利润6285714

5. 最小覆盖问题

某市管辖6个区(区1、区6).这个市必须明确在什么地方修建消防站，在保证至少有一个消防站在每个区的15分钟(行驶时间)路程内的情况下，这个市希望修建的消防站最少.表2.6给出了该市各个区之间行驶需要的时间(单位为分钟).这个市需要多少个消防站，以及它们的所在位置.

解:根据题意有如下程序：

sets:

area/1..6/:x;

link(area,area):t,c; endsets data: t=

0 10 20 30 30 20 10 0 25 35 20 20 20 25 0 15 30 20 30 35 15 0 15 25 30 20 30 15 0 14 20 10 20 25 14 0; enddata calc:

@for(link:c=@if(t#le#15,1,0)); endcalc

min=@sum(area:x); @for(area:@bin(x));

@for(area(i):@sum(area(j):c(i,j)*x*(i))>=1); End

运行结果为：

则只需要在1区和4区建立消防站即可。

6. 对策问题1

在一次野餐会上，两个二人组在玩捉迷藏的游戏，共有四个隐藏地点（A,B,C,D）,隐藏组的两个成员可以分别藏在四个地点的任意两个，搜寻组人有机会寻找任何两个地点，如果他们都找到了隐藏组的两个人，搜寻组就可以得到一份奖励，假如两个人都没有找到，他们就输掉一分，其他情况下平局，将这个问题表示成一个二人零和对策，求出搜寻组最优搜寻

策略和他们的赢得值

解：设搜寻组搜寻的策略为S1（AB,AC,AD,BC,BD,CD）

隐藏组隐藏策略为S2(AB,AC,AD,BC,BD,CD)

则对于搜寻组，A= 1 0 0 0 0 -1

0 1 0 0 -1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0

-1 0 0 0 0 1;

程序为

则搜寻组策略1（AB）和策略6(CD)分别以1/2的概率，赢得分为0

7. 对策问题2

甲手中邮两张牌，各位1和4点，乙手中有两张牌，各位2点和3点，甲乙两人各出一张牌，并依据两人所处牌点数之和决定各自的收益，当点数和为偶数时，甲赢得两张牌的点数和，乙赢得两张牌的点数差；当点数和为奇数时，甲赢得两张牌的点数差，乙赢得两张牌的点数和。求甲乙二人人各自的最优策略和各自的赢得值

解：设甲出1和4分别为策略1和2，乙出2和3分别为策略1和2则他们的分数为：

乙

（1,3）（4,2） 甲

（6,2）（1,7） A=1 4 B=3 2 6 1 2 7 程序为

则甲最优选择策略一，乙最优选择策略二，平均赢得值甲为2.875，乙为2.83333

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