新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题 【含答案】

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1 习题精选精讲圆标准方程

已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()

(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.

一、求圆的方程

例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=

+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()

2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x

解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d

r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).

点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()

(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题

例2 (06安徽卷文) 直线1=+

y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,

0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+

解 化为标准方程222)(a a y x

=-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21

，平方去分母得22212a a a >+-，解得

1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<

点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：?>r d 线圆相离；?=r d 线圆相切；?

三、切线问题

例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x

相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=

(B)x y 3=或x y 3

1-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 3

1= 解 化为标准方程2

5)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251

122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 3

1=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题. 四、弦长问题

例4 (06天津卷理) 设直线03=+-

y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a . 解 由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r . ∵线心距1

12++=a a d ，且222)2(r AB d =+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a .

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2 点评：一般在线心距d 、弦长

AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+. 五、夹角问题

例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x

外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)5

3 (C)23 (D) 0 解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .

设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r 和PC 构成的直角三角形中，52

2cos =θ

，∴

5

312cos 2cos 2=-=θ

θ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和

PC 所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.

六、圆心角问题

例6 (06全国卷二) 过点)2,

1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k . 解 由已知圆4)

2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r . 设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221

=-=PC k k .

点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.

七、最值问题

例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )

(A) 30 (B) 18 (C)26

(D)25

解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r . 设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+

y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).

点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d

+，最小距离

为r d -.

八、综合问题

例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[π

π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2

,0[π 解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r . ∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴222222

2=-≤++=r b a b a d ，即0422≤++b ab a ，由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan -=π，3212

5tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]12

5,12[ππ，故选(B). 点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.

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3 圆的方程

1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.

(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；

(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422F E D -+

2. 直线与圆的位置关系的判定方法.

(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.

消元???=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程??

???????→?相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝??

????>?=?<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：

｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2?两圆外离；

｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2?两圆外切；

｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2?两圆相交；

｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜?两圆内切；

０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜?两圆内含.

●点击双基

1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是

A.－1

71 B.－1

10，得7t 2－6t －1<0，即－71

1 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部?（5a +1－1）2+（12a ）2＜1?

｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是

A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点

B.当a =r 时，圆与y 轴相切

C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b

解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b

●典例剖析

【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.

剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.

又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|

3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为

（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.

夯实基础

1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则

A.D +E =0

B. B.D +F =0

C.E +F =0

D. D +E +F =0

解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上.答案：A

2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有

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4 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条

解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B

3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－

21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.

解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5

|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：1 5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.

（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.

解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.

∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1.

（2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，

∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.

Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2

－6b +1）>0，得2－32

162+-b b . y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2

162+-b b +4b .∵·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0. 解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1. 培养能力

7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）

x

y 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值； （3）x 2+y 2的最大值和最小值. 解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以

3为半径的圆

.

设x y =k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3， 解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.

（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得

2|

02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.

（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+

3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.

8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3

124--=－1，AB 的中点为（2，3）， 故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x y +1=0，

y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.

因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |

的解，即圆心坐标为（－1，0）.

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5

“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：

方法—：先求出两已知圆交点

()()2,6,3,121---A A ，再设圆心坐标为),4(b b B +，根据r B A B A ==21，可求出圆心坐标及半径r ，于是可得所求圆方程。 方法二：先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ，再设所求圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ,其圆心为()22,E D --，代入04=--

y x ，再将A 1,A 2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组，求出D,E,F 的值，这样便可得所求圆的方程。

但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。

经过两已知圆的交点的圆系

设圆C 1与C 2的方程为： C 1:

011122=++++F y E x D y x C 2: 022222=++++F y E x D y x .

并且两圆相交于两点。引进一个参数λ，并令：

11122F y E x D y x +++++λ（22222F y E x D y x ++++）=0 ——① 其中λ≠-1。

引进两个参数1λ和2λ，并令：

1λ（11122F y E x D y x ++++）+2λ（22222F y E x D y x ++++）=0 ——② 其中1λ+2λ≠0

不论参数取何值，方程①与②中的x 2项和y 2项的系数相等，方程没有xy 项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同：

⑴ 当λ=0时，方程①的曲线就是圆C 1;不论λ为何值，方程①的曲线都不会是圆C 2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C 1在内，但不包括圆C 2。

⑵ 当1λ=0时，方程②的曲线就是圆C 2；当2λ=0时，方程②的曲线就是圆

C 1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C 1和圆C 2在内。

下面应用圆系来解本文前面的问题：

设经过已知两圆的交点的圆的方程为：

0)286(462222=-+++-++y y x x y x λ. （λ≠-1）则其圆心坐标为)13,13(λ

λλ+-+- ∵ 所求圆的圆心在直线04=--y x 上∴ λ+-

13+λ

λ+13－4=0， 解得λ=-7 ∴ 所求圆的方程为：4622-++x y x －70)286(22=-++y y x 即：032722=-+-+y x y x 下面再举两例说明圆系的应用

例1． 求经过两已知圆：06422=--+x y x

和06422=--+y y x 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。 解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为： 0)64(642222=--++--+y y x x y x λ （λ≠-1）

其圆心的横坐标为：λ+=12x ，令 λ+12=3 得 3

1-=λ ∴ 所求圆的方程为：0)64(3

1642222=--+---+y y x x y x 即 062622=-+-+y x y x 例2． 设圆方程为：

016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠－4

求证： 不论λ为何值，所给圆必经过两个定点。

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6 证明： 把所给方程写为： 0)48122()4110(42222=-++++-+++y x y x y x y x λ

这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：

048122041102222=-+++=-+++y x y x y x y x 所以，不论λ为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点

直线与圆的位置关系

二、例题选析

例1：求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程；

(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-

解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。

(2)40322>+ ∴点Q 在圆外。

设切线方程为)3(-=x k y 即03=--k y kx

直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴2132=+-k k ，∴552±=k ∴所求切线方程为)3(552

-±=x y 。

(3)设圆的切线方程为b x y +-=，代入圆的方程。整理得，042222=-+-b bx x ，∵直线与圆相切

∴0)4(24)2(22=-?--=?b b ，解得22±=b 。 ∴所求切线方程为022=±+y x 。

小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。 例2：已知点),(00y x P 在圆022

=++++F Ey Dx y x 的外部，过P 作圆的切线，切点为M ，求证

F Ey Dx y x PM ++++=002

020。

证明：如图7-53-1，圆心)2,2(E

D

C --，

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7 半径F E D CM 421

22-+=，

2020)2()2(E

y D x CP +++=

由勾股定理得

22CM CP PM -=

44)2()2(22

2020F

E D E y D x -+-+++=

F Ey Dx y x ++++=002

020

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8 小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。

(2)以CP 为直径的圆与圆C 相交于M 、N 两点，则M 、N 为切点。若圆C 的方程为222r y x =+，则两切点连线所在的直线方程为

200r y y x x =+。 例3：从圆外一点),(b a P 向圆222r y x =+引割线，交该圆于A 、B 两点，求弦AB 的中点轨迹方程。

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9 解：如图7-53-2，设AB 的中点),(y x M ，

连接OM ，),(y x =，),(b y a x --=， ∵PM OM ⊥，∴0=?PM OM ，

即0),)(,(=--b y a x y x

∴0)()(=-+-b y y a x x

∴022=--+by ax y x ，)(r x r <<-

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10 小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。

备选例题：

例4*：已知对于圆1)1(22=-+y x 上任意一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围。

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11

解一：作直线l ：

x y -=，

如图：7-53-3

向下平移与圆相切和相离时有

0≥++m y x 恒成立，

由点到直线的距离公式

得12012

1-≥???

?

??>≥+m m m

。 轴对称

轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。

例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。 分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。 但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。

3=l

，得：3

1-

=BC k ， 解：如图，设点C(x,y)是点B 关于直线L 的对称点，则由D ??

?

??27,23,其中D 为BC ∴直线BC 的方程为：

43

1

+-=x y ，将其与直线y=3x-1联中点，利用中点坐标公式，得C （3,3）。

显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A 、C 、P 三点|PA|-|PB|最大。可求得：

直线AC 方程为：092=-+y x ，与L 方程联立解得P 的坐2,5）。 例2、光线由点C （3，3）出发射到直线L ：y=3x-1上，已知L 反射后经过点A(4,1)，

求反射光线方程。

解：设点B 是点C 关于L 的对称点，则由光线反射的知

识易知：点B 在反射光线上，故

所求的反射光线的方程即为直线AB 所在的直线方程。 由例1知点C 关于L 的对称点为B （0,4）， 故直线AB 的方程易求得为：

44

3

+-=x y 方程。

的分别方程为

02=-y x 和

例3、已知ΔABC 的顶点A 的坐标为(1,4)，∠B、∠C 01=-+y x ，求BC 所在的直线方程。

分析：本题的常规思路是利用L1到L2题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。

解：设∠B 、∠C 的平分线分别为L 1、L 2,则由角平分线的知识可知：AB 与CB 关于L 1对称，AC 与

BC 关于L2对称，故点A 关于L 1、L 2的对称点A1、A2都应该在直线BC 上，故BC 所在的直线方程即为A 1A 2所在的直线方程。

利用对称性可求得：)0,3(),5

8

,519(21--A A （过程略）

于是BC 方程可求得为：012174=++y x

直线和圆

1．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422

=+--+y x y x

相切，求光线L 所在直

线方程．

解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2

＝1。 设光线L 所在直线方程是：y －3＝k(x ＋3)。

由题设知对称圆的圆心C ′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2

=++=

k

k d ．

整理得,01225122

=++k k

解得3443-=-=k k 或．故所求的直线方程是)3(433+-=-x y ，或)3(3

4

3+-=-x y ，

即3x ＋4y －3＝0，或4x ＋3y ＋3＝0．

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12

2．已知圆C ：044222

=-+-+y x y x

，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出

直线L 的方程，若不存在说明理由．（14分）

．解：圆C 化成标准方程为:222

3)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ） 由于CM ⊥L ，∴k CM ?k L =－1 ∴k CM =11

2-=-+a b ，即a +b+1=0，得b= －a －1 ①

直线L 的方程为y －b=x －－，即x －y+b －a =0 ∴ CM=2

3+-a b ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==

2

)3(922

22+--

=-=a b CM

CB MB ，222

b a OM +=

∴222

2)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ，∴12

3-==a a 或

当2

5,23-==b a 时此时直线L 的方程为：x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线L 的方程为：x －y+1=0

故这样的直线L 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y+1=0．

3．（12分）求过点P （6，－4）且被圆2

220x

y +=

截得长为

解：设弦所在的直线方程为4(6)y k x +=-，即640kx y k ---=①

则圆心（0，0

）到此直线的距离为d =

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt △，

所以2220+=．

由此解得7

17

k =-

或1k =-． 代入①得切线方程776()401717

x y ---?--=或

6(1)40x y ---?--=，即717260x y ++=或20x y +

-=．

4．（12分）已知圆C :()()25212

2=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈

（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；

（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．

．解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线

04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组??

?=-+=-+04,072y x y x 解得?

??==1,

3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.

(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此

时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54.

又直线AC 的斜率2

1

-

=AC k ,所以直线BD 的斜率为2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即 5（12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值． 解：由01220503206222=++-????=-+=+-++m y y y x m y x y x ??

???+==+∴51242121m y y y y 又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5

274-m

∴05

125274=++-m

m 解得m =3.

6.已知圆C ：(x+4)2+y 2

=4和点A(-2

3，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C 外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N. ∠MAN 是否为定

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13 值？若为定值，求出∠MAN 的弧度数；若不为定值，说明理由.

【解】设圆D 的方程为),0()(222>=-+r r b y x 那么).,0(),,0(r b N r b M -+

因为圆D 与圆C 外切, 所以.124162222-=-?+=+r r b b r

又直线NA MA ,的斜率分别为 .3

2,32r b k r b k MB MA -=+= .3343412343

23213232tan 22π=∠?==-+=-++--+=

∠∴MAN r r r b r r b r b r b r

b MAN 为定值 7．（14分）已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．

解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．

设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5

m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．

∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－

12

，3），半径52r =． 8．（14分）求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程． 解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组

22222102402280x y x y x y x y ?+-+-=?+++-=?，

解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）． 因所求圆心在直线0x y +=上，故设所求圆心坐标为(,)x x -，则它到上面的两上交点

（－4，0）和（0，2

=

即412x =-，∴3x =-，y x =-=，从而圆心坐标是（－3，3）．

又r =， 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）

同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为230x y ++=，

它与直线0x y +

=交点（－3，3

）就是圆心，又半径r = 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法三：（用待定系数法求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）． 设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=，因两点在此圆上，且圆心在0x y +=上，所以得方

程组 222222(4)(3)0a b r a b r a b ?--+=?+-=??+=?

，解之得33a b r ?=-?=??=?，

故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）

设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-，

即 222(1)2(5)8(3)0111x y x y λλλλλλ-+++-+-=+++． 可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++． 因圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-． 将2λ=-代入所设方程并化简，求圆的

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14 方程226680x y x y ++-+=

9．(12分) 已知一个圆截y 轴所得的弦为2，被x 轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a ，b ），求实数a ，b 满足的关系式；（2）

当圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小时，求圆的方程．

⑴设圆心P （a ，b ），半径为r ，则 |b |＝r 2

，2b 2＝r 2．又|a |2＋1＝r 2，所以a 2＋1＝r 2，所以2b 2＝a 2＋1； (2)点P 到直线x －2y ＝0的距离d ＝|a －2b |5

，5d 2＝a 2－4ab ＋4b 2≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1． 所以??? a ＝b ， 2b 2＝a 2＋1，所以??? a ＝1， b ＝1， 或??? a ＝－1， b ＝－1．

所以（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2．

10 已知圆C 与圆0222=-+x y x

相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程

设圆C 的圆心为),(b a ， 则6234004231)1(33322==????-==???==????

????++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或

11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为5

5，求该圆的方程. .解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2.令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0. |y 1－y 2|=

222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1 ①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2

②由①、②，得2b 2－a 2=1 又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为

55，得d =555

|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得???=-=-;12,1222b a a b 或???-=-=-121222b a a b 解得???-=-=11b a 或???==11b a 于是r 2=2b 2=2. 所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2.

12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y =0的距离最小的圆的方程.

.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |.

由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为

2r ，故r 2＝2b 2， 又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，从而有2b 2－a 2＝1

又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5

|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1

当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，

由此有???=-=1222a b b

a 解方程得???==11

b a 或???-=-=1

1b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，

于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2

13.（2002北京文，16）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ．

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15 .答案：2

解析：圆心到直线的距离d ＝5

|843|++＝3∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 经过两已知圆的交点的圆系及应用

在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆04622=-++x y x

和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：

方法—：先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ，再设圆心坐标为),4(b b B +，根据r B A B A ==21，可求出圆心坐标及

半径r ，于是可得所求圆方程。 方法二：先求出两已知圆交点

()()2,6,3,121---A A ，再设所求圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ,其圆心为()22,E D

--，代入04=--y x ，再将A 1,A 2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组，求出D,E,F 的值，这样便可得所求圆的方程。

但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。

弦长

【例题】 已知直线l ∶x+2y-2=0与圆C ∶x 2+y 2=2相交于A 、B 两点，求弦长AB.

【思考与分析】 一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.

解法一：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则A 、B 坐标即方程组

的解，

从方程组中消去x 可得：5y 2-8y+2=0，

又A 、B 在直线l ∶x+2y-2=0上，即x 1+2y 1-2=0，x 2+2y 2-2=0，A

解法二：作CM ⊥AB 于M ，M 为AB 中点，在Rt △CMA 中，∣AM ∣

=

∣AB ∣，∣CA ∣

=，∣CM ∣为原点到直线l ∶x+2y-2=0的距离，即∣CM ∣＝，

【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A 、B 两点，求∣AB ∣的一般办法，设已知直线为l ∶y=kx+b ，与已知曲线C 的交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有y 1=kx 1+b ，y 2=kx2+b ，即y 1-y 2=k （x 1-x 2），

这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率k 及交点的坐标（x 1，y 1）、（x 2，y 2）有关，而与曲线C 本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用.

解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和运用（例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距）往往会找到解题的捷径

圆的方程例析

. 求圆心坐标和半径

华师大家教中心专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-******** 钟老师【例1】求下列各圆的圆心坐标和半径:

（1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；（3）x2+y2+2ay－1=0.

【思考与分析】我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解：（1）配方

∴圆心为半径为r=.

（2）配方得（x+a）2+y2=a2，

∴圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）.

（3）配方得x2+（y+a）2=1+a2，

∴圆心为（0，-a），半径为r=

【拓展】讨论方程x2+y2+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状.

解：配方得x2+（y+a）2=a2-1，

当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=的圆；

当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）；

当-1

2. 求圆的标准方程

【例2】已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程.

【思考与分析】求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐标，再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得圆的方程.

解：设点C为圆心，∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，

∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）.

又∵该圆经过A、B两点，∴|CA|=|CB|.

解得a＝－2，

∴圆心坐标为C（－1，－2），半径r ＝.

故所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2=10.

3. 求圆的一般方程

【例3】△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圆的方程.

【思考与分析】本题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点都在其外接圆上，所以可以联立方程组，从而求得圆的方程.

解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得方程组

解得D＝－4，E＝－2，F＝-20.

∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－4x－2y-20=0.

【小结】通过这部分知识的学习，我们要掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径；掌握圆的一般方程及圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径

如何确定圆的方程

已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程.

【思考与分析】根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P1P2的坐标已知，且P1P2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：

解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r.

由中点坐标公式，得a ＝＝5，b ＝＝6.

∴C（5，6），再由两点间距离公式，得

∴所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10.

解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3），

∴圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，

化简得（x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求.

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华师大家教中心专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-******** 钟老师解法3：设P（x，y）是圆上任意一点.

由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形，

∴（x－4）2＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2，

化简得x2＋y2－10x－12y＋51＝0.

∴（x－5）2＋（y －6）2＝10，即为所求的圆的方程.

解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点.

∵直径上的圆周角为直角，∴PP1⊥PP2.

（1）当PP1、PP2的斜率都存在时，

（2）当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，PP1、PP2的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）.

又P1（4，9）、P2（6，3）也满足方程（*），

所以，所求圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10.

【小结】本题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是90°”这一结论；解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路

圆的切线方程

在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？

【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.

解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，

过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.

又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4.

将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.

解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.

∵圆心（0，0）到切线的距离是2，

∴＝2，解得k＝－.

∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.

当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.

故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.

∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.

∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.

又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.

故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

【小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上.

【警示】大家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点

17

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18 A （2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y －1＝k （x －2），即kx －y －2k ＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k

＝－，故所求切线方程为－x －y

＋＋1＝0即3x ＋4y －10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存

例题】 求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．

错解1：由题设，所求圆与直线y ＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a ，4）.

又已知圆的方程化为标准式为：（x －2）2＋（y －1）2＝9，其圆心（2，1），半径R ＝3．

（1）若两圆外切，则圆心距＝r ＋R ＝4＋3＝7．

即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±

2

， ∴ 所求圆方程为：（

x-2-2

）2+（y-4）2=16

或（

x-2+2）2+（y-4）2=16.

（2）若两圆内切，则圆心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1．

∴ （a －2）2＋（4－1）2＝1，这个方程无解．

故讨论（1）中，两个方程均是所求圆的方程．

错解2：由题设，所求圆与直线y ＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a ，±4）.

又已知圆的方程化为标准式为：（x －2）2＋（y －1）2＝9，其圆心（2，1），半径R ＝3． 由于两圆相切，则圆心距＝r ＋R ＝4＋3＝7．

即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±

2，

或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±

2

. ∴ 所求圆方程为：（

x-2-2）2+（y-4）2=16

或（

x-2+2）2+（y-4）2=16.

或（x-2-2）2+（y ＋4）2=16

或（

x-2+2）2+（y ＋4）2=16.

【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方：其一是只考虑了所求圆的圆心在x 轴（y ＝0）上方，疏忽了圆心在直线y ＝0下方的可能，遗下了漏解的隐患，如错解1．其二，只考虑了两圆外切，没有考虑两圆内切的情况，解题是不严密的，如错解2．因此在审题、解题时，一定要全面、细致地分析研究，努力克服粗心大意、主观片面．

正解：由题设，所求圆与直线y ＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a ，±4）.

又已知圆的方程化为标准式为：

（x －2）2＋（y －1）2＝9，其圆心（2，1），半径R ＝3．

（1）若两圆外切，则圆心距＝r ＋R ＝4＋3＝7．

即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±

2

， 或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±

2

. ∴ 所求圆方程为：（

x-2-2）2+（y-4）2=16

或（

x-2+2）2+（y-4）2=16.

或（x-2-2）2+（y ＋4）2=16.

或（

x-2+2）2+（y ＋4）2=16.

（2）若两圆内切，则圆心距＝R-r ＝4－3＝1．

∴ （a －2）2＋（4－1）2＝1，或（a －2）2＋（－4－1）2＝1，

这两个方程都无解．故讨论（1）中，4个方程均是所求圆的方程

正确判断两圆的位置关系

已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系.

【思考与分析】 要判断两圆的位置关系，我们通常有两种方法：一种是判断两圆的交点个数，如果它们有两个交点，则相交；有一个交点则外切或内切；没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝对值的大小关系，来判断两圆的位置关系.

解法一： 将两圆的方程联立得，

由（1）－（2）得x ＋2y ＋1＝0 （3）

由（3）得x ＝－2y －1，把此式代入（1），

并整理得y 2－1＝0 （4） 方程（4）的判别式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0，

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19 所以，方程（4）有两个不同的实数根y 1，y 2，把y 1，y 2分别代入方程（3），得到x 1，x 2.

因此圆C 1与圆C 2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系.

解法二： 把圆C 1的方程化为标准方程形式为（x ＋2）2＋（y ＋2）2＝10，圆C 1的圆心坐标为（－2，－2），半径长r 1＝

.

把圆C 2的方程化为标准方程形式为（x －1）2＋（y －4）2＝25.圆C 2的圆心坐标为（1，4），半径长r 2＝5.

圆C 1和圆C 2的连心线的长为：

圆C 1与圆C 2的两半径之和是r 1＋r 2＝5＋，两半径之差r 2－r 1＝5－. 而5－＜3＜5＋.即r 2－r 1＜

3＜r 1+r 2.

【小结】 在解法1中，我们只要判断出圆C 1与圆C 2有几个公共点即可，不需要求出公共点的具体坐标，也就是说只需要判断出方程

（4）的判别式大于0，而不需要求解方程

直线与圆的位置关系解析

【例1】 如果曲线C ：x 2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a 的取值范围是 ．

【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求.

解法一：

（代数法）由消去y 得2x 2+2（a-1）x+a 2-2a=0，

由Δ=4（a-1）2-8（a 2-2a ）≥0，即（a －1）2≤2得1-

≤a≤1+. ∴ 实数a 的取值范围是1-≤a≤1+.

解法二：（几何法）圆C 与直线x+y+a=0有公共点，

圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径，

∴实数a 的取值范围是1-≤a≤1+.

【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法：依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.

【例2】 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.

A ． 相切

B ． 相交且过圆心

C ． 相离

D ． 相交不过圆心

【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，

圆心到直线的距离为d ＝

从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D

求圆的切线方程的几种方法

在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。

例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线的方程。

解法一：利用斜率求解

同样适用。在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M .

.

.

)(,.

112002202020200000000

00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--

=--=∴=-=? 解法二：利用向量求解

图1

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.

.

.

)(0

),(),,,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-?+-?∴=?∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（∵的坐标，设切线上的任意一点如图 （这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）

解法三：利用几何特征求解

用。

重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM

PM

OM y x P y x M .

.

.

)()()

,(),(2200220202020002

22020202022200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥ 解法四：用待定系数法求解

1、 利用点到直线的距离求解

程同样适用。当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得　　代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为　　⑵化简整理得：　　　　到切线的距离等于半径

原点　　⑴

即：则直线方程为：

为设所求直线方程的斜率.

.

.

202)(1)0,0(O 0),(,200220202020000020

002202

20202020022022

00000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-

2、 利用直线与圆的位置关系求解：

程同样适用。

当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得　　代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为　　⑵

整理得：得　　消去　　　　由）

（即：则直线方程为：

为设所求直线方程的斜率.

.

.

202)(0

)2)(1(4)(40

2)(2)1(010),(,200220202020000020002202

202020200220220020220220022002

02200022222000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r x ky x k y k kx y k r x ky x k y x kx y k x k y r y x kx y y kx kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=--++--=?=--++-++?

??=+=-+-=-+--=- 这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。

同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。

《圆的方程》的经典问题聚焦

1 直线和直线的位置关系问题 图2

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21

1（北京 ）若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b ) (ab ≠0)共线,则11

a b

+的值等于 . 2（上海） 已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____.

【思维展示】

1 合理选择截距式，利用点在曲线上的意义切入，设过点B (a ,0),C (0,b ) 的直线方程为1x y

a b +=,由于点A (2,2)在此直线上,所以221a b

+=,则

1112

a b +=.

2 直线和直线的位置关系研究方法，构建方程求解，12//l l ，则2,0126=∴=-a

a ；

【学习体验】

认识直线的方程和方程的直线的一一对应关系，学会用代数的方法研究直线和直线的位置关系。 2利用几何法简化研究直线和圆的位置关系. 1（江苏）圆1)3()1(22

=++-y x 的切线方程中有一个是

（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0

2（湖南）若圆2

244100x

y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=

的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( B ) A.[,124ππ] B.[5,

1212ππ] C.[,]63

ππ

D.[0,]2π 3（江西） 已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：

A 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；

B 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；

C 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切

D 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） 【思维展示】

1本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径. 直线

ax+by=022(1)(1x y -+=与相切

1=，由排除法，选C ；

2 注意到圆圆心

()23

,2,2=R ，直线0ax by +=恒过原点的直线系，圆上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=

的距离为特值验证，倾斜角为0或不存在时圆上只有两个点满足，排除D ，注意到直线过圆心时此时倾斜角为4

π

，由图形的对程性知圆上有4个点满足到直线l :0ax by

+=

的距离为，则倾斜角含

4

π；当倾斜角为

12

5π时，此时，3212

5tan -==-πb

a ，圆心到直线的距离

()()()

2,23213284844,2222222222

2

22=∴=??

?

???-+--+=++=++=∴++=

d b b b a ab b a b a d b a b

a d ，于是，此时与倾斜角为125π平行有两直线与圆相

切和相交，且它们到过原点倾斜角

12

5π之间的距离都为3个点满足题设，故选B ；

3 本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

若直接思维求解油，圆心坐标为（－cos θ，sin θ

）d

|sin |1

θ?≤＝（＋）故选（B ）（D ）；

【学习体验】

直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.

3 圆的第二定义的应用 （四川）已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π

【思维展示】

解析法探究轨迹，若有圆的第二定义的意识，所求为员的面积。设()()[]

()4

2,)1(42,,22

2222=+-∴+-=++y x y x y x y x P 为动点P 的轨迹，选C ；